初一入团申请书-红烧鸽子的做法

课题五 比和比例应用题
比和比例在统计、测量、绘图、实验、建造、计算 等等方面有着广泛的应用。反映在考试当中，工程问题，
行程问题，按比例分配，解比例，比例尺，正比 例和反比例的其他应用都可能对本部分知识有所涉及。比和比例
的知识是初中数学中一次函数、反比例函 数、相似图形等课题的知识基础，属于重点知识。作为小学数学最后一
个知识模块，同学们接触不久便将 其应用于解决实际问题存在一定的困难，同学们更熟悉的是分率计算、算术法
解题。但正如上面所讲，很 多实际问题中用到了比例的思想，建议同学们在学习时，将分数与比的思想多比照，
多联系；在应考之前 ，再次把六年级数学书上册的“比和比的应用”及下册的“正比例和反比例的意义”、“比例的应用”
等 内容贯通在一起复习一遍（包括思考课后习题），将人教版课本和北师大版课本互相参照地复习，着重从课本上简单而熟悉的例子中体悟比和比例的思想，以更好地应用于解决问题。
做练习时需要注意以下三个方面：
一、学会运用比和分率的联系解题及将比看成“份数”解题 。另外，填空题或应用题求比是多少时，一定要
化成最简整数比（比的前项和后项化成互质的整数），要 理解最简比（比是两个数量之间的一种关系）和比值（比
值是一个数）之间的区别。
二、能够根据题意找出成比例的量，并建立比例式，解比例得到答案。注意理解成比例的量是变化的量。
三、通过成比例将一种量的比转化成另一种量的比，这是解决问题的关键思想。如匀速行驶的两辆汽车同 时
出发，其速度比等于路程比（成正比例）；如工程总量一定，工作时间与工作效率成反比，如在一个题 目中，知
道甲工作3天完成的任务等于乙工作两天完成的任务，则二者的工作效率比是2：3（自己推导 一下），如果再有
二者的总工作量都相同，工作的总时间比是3：2；侧面积相等的两个方柱，其底边长 与高成反比，底边长乘高
等于（侧面积÷4），从而结合其他已知条件计算两方柱体积比；再如一类典型 的按比例分配的题目，一个零件的
两道工序，专做第一道工序的每人每小时可完成4个，专做第二道工序 的每人每小时可完成5个，现工厂里有
36名工人，如何分配，我们可以用以下思路解题：每道工序所占 用的工时比等于每道工序所分配的人数比（成
正比），第一道工序占用每人
4。
知识纲要如下（看完书再看以下内容）：
1、比、分数和除法之间的联系与区别：
1111
小时，第二道工序占用每人小时，：=5：4，从而人数的分配也是5：
45451 6

2、比和比例的基本性质
比表示两个数相除的关系 ；比例表示两个比的关系。任意两个数都能组成比，但任意四个数不一定能组成比
例。
根据比和比例的基本性质，我们还可以推导出，如果a:b=c:d(a、b、c、d四个数均不为0),那 么b:a=d:c；
a:c=b:d；c:a=d:b,例如，3：5=15：25，则5：3=25： 15； 3：15=5：25； 15：3=25：5，同学们开动脑筋
想一下，如果a:b= c:d,则c=a×m,而d=b×m,也就是说c和d是a和b扩大或缩小了若干倍得到的，自然也就有
了比例的基本性质ad=a×b×m=a×m×b,以上推论也是据此得出，在学习时，同学们要注意前后知识 点的联系，
重视思考过程，懂得活学活用。
3、化简比的方法：
2 6

（1）根据比的基本性质，把比的前项和后项都乘以或除以同一个数（0除外）进行化简。
（2）把前项除以后项所得的比值，改写成最简整数比。
注意：有单位名称的同类量的比化简时，要先化成相同的单位，然后再计算。
4、解比例的方 法：已知比例中的任意三项，根据比例的基本性质，可求出其余的一项（未知项），注意写成
以下形式时 ，用交叉相乘法：
，4x=5×5 。
5、判断两个比是否可以组成比例的方法：
（1）分别求出两个比的比值，如果比值相等，就可以组成比例；
（2）将两个比都化简成最简整数比，如果得到的最简整数比相同，则可以组成比例；
（3） 假设两个比能组成比例，那么两个内项的积和两个外项的积一定相等。如果积不相等，则说明假设不
成立 ，也就不能组成比例。
6、正比例和反比例：

判断正、反比例时，先分析数量关 系，确定哪两种量是相关联的量。根据两种相关联的量与那个一定的量列
出数量关系式。两种相关联的量 之间的关系若是商一定，则成正比例关系，若是积一定，则成反比例关系，若商
和积都不是定量，则不成 比例。
一些常用的正比例和反比例：
图形问题中，例如三角形，面积一定，底和高成反比例 ；底一定，面积和高成正比例（注意：
面积
1
=底
高
2
边长 ）；高一定，面积和底成正比例。又如圆锥的体积一定，高和底面积成反比例；底面积一定，体积和高成
正比例（注意
体积
1
=底面积）；高一定，体积和底面积成正比例。
高3
在工程问题中，工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。工作效率一定，工作总量和工作时 间成正
比例；工作时间一定，工作总量和工作效率成正比例。
例：(1)加工一批零件，若单 独做，甲可比规定的时间提前2天完成，乙则要超过规定时间3天完成。
如果甲乙两人合作2天后，剩下 的由乙单独做，那么刚好在规定时间完成。规定完成的时间是多少天？
解题思路：根据条件可知，甲工 作两天完成的零件数是乙工作三天完成的零件数，也就是说工作量
3 6

一 定时，甲乙的工作时间比是2：3。单独做，甲、乙各自所需的天数的比与2：3成比例，若设规定时
间 是x天，则甲的工作天数是(x-2)天，乙的工作天数是（X+3）天，则有：
天数x=12
(2)小张单独加工一批零件会比规定时间晚三天完成任务，王师傅帮小张做了两天，恰好在规定时间
完成，现在若有150个零件需要加工，让小张和王师傅同时开始做同时完工，应如何分配？
解题思路 ：根据已知条件，王师傅工作两天完成的零件数是小张工作三天完成的零件数，即加工相
同个数的零件， 王师傅与小张所需的时间比是2：3，也就是说，工作量相同时，王师傅所需时间是小张
x22
=，解得规定完成的
x33
232
，工作量一定，工作效率与工作时间成反比，则 王师傅的工作效率是小张工作效率的（x
323
33
×y=k,k为相同的工作量，x 为工作天数，y为工作效率），两人工作效率比为3：2（1：）如此可
22
所需时间的
按两人的工作效率比将工作总量“150个零件”进行分配，应分配给小张零件数：150÷（2+3）×2= 60（个），
应分配给王师傅零件数：150-60=90（个）
解题过程：
由题意知：加工相同个数的零件，王师傅与小张所需的时间比是2：3，
则王师傅与小张的工作效率比是3：2。
150÷（2+3）×2=60（个） ； 150-60=90（个）
答：应分配给小张60个零件，应分配给王师傅90个零件。
在行程问题中：路程一定，速度 和时间成反比例；速度一定，路程和时间成正比例；时间一定，路程和速
度成正比例。
例：上 午8时8分，小明骑自行车从家里出发。8分钟后，爸爸骑摩托车去追他。在离家4千M的地方追
上了小 明，然后爸爸立即回家。到家后，爸爸又立即回头去追小明。再追上他的时候，离家恰好是8千M，这
时 是几点几分？
解法：下图中实线是爸爸从第一次追上小明到第二次追上小明所走的路线，虚线是同时间 小明走的路线。从线段
图中我们可以看出爸爸走了3个4千M的时间，小明只走了1个4千M，小明所行 路程是爸爸所行路程的
同时间内，路程与速度成正比，则小明的速度是爸爸速度的
1
， 相
3
1
。
3
4千M 4千M


爸爸
小明
4 6

家
第一次追上时离家4千M第二次追上时离家8千M
我们再来看第一次爸爸追上小明时的情况， 由于小明的速度是爸爸速度的
1
，从爸爸第一次开始追小明到追
3
上小明的这 段时间内，爸爸行出4千M，小明行出4千M的（同样是根据相同时间内，路程与速度成正比），
小明必 须先行出4千M的
小明先用8分钟时间
走出4千M的
1
3
312 28
=，也就是说，小明用8分钟的时间先行出4×=千M。
3333
2
小 明

3


爸 爸
进而我们求出小明的速度是
明共行8千M，8÷
解题过程：
①4÷ （4+8）=
④8÷
81
÷8=千M分钟，小明8点8分从家里出发，到爸爸二次追上 小明时，小
33
1
=24分钟，从而求得第二次追上的时间是8点32分。
3
11881
②4×（1-）= （千M） ③÷8=（千M分钟）
33333
1
=24（分钟） ⑤8+24=32（分） 答：这时是8点32分。
3
在价格问题中：总价一定，单价和数量成反比例；单价一定，总价 和数量成正比例；数量一定，总价和单价
成正比例。
7、比例尺：图上距离：实际距离= 比 例尺（
图上距离
=比例尺），为了计算简便，通常把地图上的比
实际距离
例尺 的前项化简成“1”，精密零件的图纸，实际距离很小，一般是把比例尺的后项（实际距离）化成“1”。
典型习题：
1、用一条长108厘M的铁丝，做成一个长方体模型，要求长宽高的比为2：3 ：4，如果每个面都用铁皮包
上做成铁盒，这个铁盒的表面积和体积各是多少？
2、学校篮球 场的长是26M，宽是14M，用1：1000的比例尺画出这个篮球场的平面图，并求这个平面图
的面 积。
3、某种机器零件要经过三道工序，专做第一道工序的每人每小时可完成10个，专做第二道工序 的每人每
小时可完成5个，专做第三道工序每人每小时可完成4个。现有88个人怎样分配才合适？ < br>4、有一种零件，每个主件上要配两个附件，而且每个主件要分两道工序，装附件只需要一道工序。专做主
5 6

件第一道工序的每人每小时可完成3个，专做主件第二道工序的每完 成1个需要一个人2小时的时间，专装配
件每人每小时可装4个配件。工厂里有170个工人，每道工序 应如何分工？
5、从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，三段的路程之比依次为1：2：3 ，王强走这三
段路所用时间比是4：5：6。已知他上坡时的速度是每小时4千M，路总长36千M。则 王强走完全程
要多少小时？
6、甲、乙、丙三人同时从A地向B地跑，当甲跑到B时，乙离B 地还有35M，丙离B地还有68M；当乙
跑到B时，丙离B地还有40M，设甲、乙、丙的跑步速度都 是匀速，则A、B两地相距多少千M？
7、甲、乙两种糖的单价比是4：5，质量比是4：1，把这两 种糖混合成100千克的什锦塘，单价为8.4元，
原来每种糖的总钱数各是多少元？
8、制 造一个零件，甲需要6分钟，乙需要5分钟，丙需要4.5分钟。现在有1590个零件的制造任务分配
给他们三个人，要求在相同的时间内完成，每个人应该分配到多少个零件？
9、加工一个零件，甲、乙 、丙所需的时间比为6：7：8。现在有3650个零件要加工，如果规定3人用同
样的时间完成任务， 那么各应加工多少个零件？

*附加课程：自行车中的数学
（一）研究普通自行车的速度与内在结构的关系：
通过车轮的周长乘以后齿轮转的圈数来计算 蹬一圈车子走的距离。后齿轮转的圈数×后齿轮的齿数=前齿轮转的圈数×前齿轮
的齿数，从而在已知前 齿轮齿数与后齿轮齿数（或已知二者齿数比）的情况下，求出蹬一圈（前齿轮）转一圈，后齿轮转的圈数。
从而推倒出：蹬一圈自行车走的距离＝车轮的周长×（前齿轮的齿数∶后齿轮的齿数）
（二）研究变速自行车的能变化出多少种速度：
研究有多少中组合方式（详见小学三年级上册数学广角，加法与乘法原理）

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