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学生： 科目： 数学 年级 六年级
教师： 闫闪闪 时间：2016 年 月 日
第一讲比和比例



1、比和比例的联系与区别：

1、意义不同
比的意义
比例的意义
比的名称
比
与
比
例
的
3、性质不同
区
别
比例的性质
应用比的意义
应用比的性质
4、应用不同
应用比例的意义
应用比例的性质

一 步 领 先

1

步 步 领 先
比的性质
2、名称不同
比例的名称
两个数相除又叫做两个数的比。
表示两个比相等的式子叫做比例。
两点读作比，比号前面的数叫做比的前
项，比号后面的数叫做比的后项。
组成比例的 四个数叫做比例的项，两端的
两项叫做比例的的外项，中间的两项叫做
比例的内项。
比 的前项和后项同时乘或者除以相同的
数（0除外），比值不变。
在比例里，两个外项的积等于两个内项的
积。
求比值。
化简比。
判断两个不能否组成比例。
不但可以判断两个比能否组成比例，还可
以解比例。
一、比和比例

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2、比同分数、除法的联系与区别：
比
前项
联

系
比号
后项
比值
比的基本性质
区
别

3、求比值与化简比的区别：

求比值
一 般 方 法
根据比值的意义，用前
项除以后项。
结 果
是一个数。可以是整数、小
数或分数。
是一个比。它的前项和后项
都是整数，并且是互质数。
比表示两个数之间
的关系。
分数
分子
分数线
分母
分数值
分数的基本性质
分数表示一个数。
除法
被除数
除号
除数
商
除法的商不变性质
除法表示一种运算。
根据比的基本性质，把
化简比 比的前项和后项都乘或除
以相同的数（零除外）。

4、化简比：
（1）整数比的化简方法是：用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。
（2）小数比的化简方法是：先把小数比化成整数比，再按整数比化简方法化简。
（3）分数比的化简方法是：用比的前项和后项同时乘以分母的最小公倍数。
5、比例尺：我们把图上距离和实际距离的比叫做这幅图的比例尺。
6、比例尺=图上距离︰实际距离
比例尺=
图上距离

实际距离
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2

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二、正比例、反比例

① 正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着 变化，（即一个量增大另一个量
也增大；一个量减小另一个量也减小）。如果这两种量中相对应的两个数 的比值（也就是
商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。
用字母表示yx=k(一定）
② 反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，（即 一个量增大另一个量
减小；一个量减小另一个量增大）。如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两 种量
就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。
用字母表示x×y=k(一定)
3、正比例与反比例的区别：

相 同 点
正 比 例 反 比 例
都有两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随
着变化。
商一定
不 同 点
y
=k（一定）
x

积一定
x×y=k（一定）
4、 比和比例
比的意义和性质
（1） 比的意义
1
两个数相除又叫做两个数的比。 ○
2
“：○”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的 前项，比号后面的数叫做比的后项。比
的前项除以后项所得的商，叫做比值。
3
同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。 ○
4
比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。 ○
5
比的后项不能是零。 ○
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6
根据分数与除法的关系，○可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。
（2）比的性质
比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值的大小不变，这叫做比的基本
性质。
（3） 求比值和化简比
1
求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数 ○
或分数。
2
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、 ○
后项是互质的数。
（4）比例尺
1
） 图上距离：实际距离=比例尺 ○
2
要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距○
离。
3
线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。 ○
（5）按比例分配
1
在农业生产和日常生活中，○常常需要把一个数量按照一定 的比来进行分配。这种分配的方
法通常叫做按比例分配。
2
方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。 ○


三、比例的意义和性质



内项
（1） 比例的意义 a ：b = c ：d
1
表示两个比相等的式子叫做比例。 外项 ○
2
组成比例的四个数，叫做比例的项。 a×d=c×b ○
3
两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 ○
（2）比例的性质
在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。
ac
=
bd
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a×d=c×b
（3）解比例
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以 求出这个数比例中的另外一个未
知项。求比例中的未知项，叫做解比例。



典型例题
例1、（把图形按某个比相应放大或缩小，形状没有改变，只是大小变了）
A B
C


（1）长方形A的长是1.5厘米，宽是1厘米；长方形B的长是3厘米，宽是2厘米。这< br>两个长方形的长有什么关系？宽呢？
（2）如果要把长方形A按 1:2的比缩小，长和宽应是原来的几分之几？各是多少？
分析与解：（1）长方形B的长是长方形A 的2倍，宽也是长方形A的2倍。或者说长方
形B和长方形A长的比是2:1，宽的比也是2:1。 < br>把长方形的每条边放大到原来的2倍，放大后的长方形的长和宽与原来
长方形的比是2:1，就是 把长方形A的长和宽按2:1的比进行放大。
（2）把长方形A按1:2的比缩小后为长方形C，长、 宽缩小为原来的
1
，图
2
C的长是0.75厘米，图C的宽是0.5厘米。
由此可见，放大或缩小前后图形形状没有改变，还是长方形，只是大小变了。

例2、（根据指定的比，将图形按要求放大或缩小）
先按3:2的比画出长方形A放大后的图 形B，再按1:2的比画出长方形A缩小后的图形
C。（1）图B的长、宽各是几格？（2）图C呢？（ 3）观察这三幅图形，你有什么发现？












































































A
B
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C
分析与解：（1）按3:2的比 将长方形A放大，即将长方形A的长与宽分别扩大1.5倍，
那么图B的长为6×1.5 = 9格，宽为4×1.5 = 6格。（2）按1:2的比将长
方形A缩小，即将长方形A的长与宽分别缩 小到原来的
1
，那么图C的长为
2
6÷2 = 3格，宽为4÷2 = 2格 。（3）从这三幅大小不同的图形上可以看出，
放大或缩小后的图形与原来的图形比较，大小虽变了，但 形状不变，而且各
条边长度的变化都符合指定的比。

点评：按比例放大图形或缩小 图形，关键是要先根据比确定是放大还是缩小，然后确定
好每条边的长度，画出图形就行了。

例3、（将两个相等比写成一个等式）
图B是由图A放大后得到的，你能分别写出这两幅图中 各自的长与宽的比吗？比较写出
的两个比，你有什么发现？

B
A
3厘米
6厘米
4厘米
8厘米

分析与解：（1）图A中长与宽的比是4:3；图B中长与宽的原始比是8 :6，而8:6化简
后就是4:3。
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（2）这两个比化简后都是4:3，比值相等，说明这两个比可以写成一个等式。
即
4:3 = 8:6或
48
= ，都读作：4比3 等于 8比6。
36

例4、（认识比例）下面哪几组中的两个比能组成比例，把组成的比例写下来。
（1） 5 ：6 和15 ：18 （2） 0.2 ：0.1 和 3 ：1
（3）
1131
： 和 1.2 ：0.8 （4） 6 ：2 和 ： 2388
分析与解：分别求出每组中两个比的比值，如果相等就能组成比例，不相等就不能组成比例。
（1） 因为5 ：6 =
55
，15 ：18 = ，所以5 ：6 = 15 ：18。
66
（2） 因为0.2 ：0.1 = 2， 3 ：1 = 3，所以 0.2 ：0.1 和 3 ：1不能
组成比例。
113311
： = ， 1.2 ：0.8 = ，所以 ： = 1.2 ：0.8。
232223
3131
（4） 6 ：2 = 3， ： = 3，所以6 ：2 = ：。
8888
（3） 因为
点评：判断两个比能不能组成比例，可以像题目中的方法 一样，求出两个比的比值，比
值相等就能组成比例，否则就不行。这样解题的依据是比例的意义。

例5、（比例的各部分名称和比例的基本性质）
一台织布机3小时织布3.6米，4小时织布4.8米。你能根据数量间的关系写出比例吗？

分析与解：（1）这台织布机织布米数和织布时间的比相等。 3.6 ：3 = 4.8 ：
4
（2）这台织布机织布米数的比和织布时间的比相等。 3.6 ：4.8 = 3 ：
4
（3）这台织布机织布时间和织布米数的比相等。 3 ：3.6 = 4 ：
4.8
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介绍“项”：组成比例的四个数， 叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的
两项叫做比例的内项。例如：
3.6 ：3 = 4.8 ：4
内项
外项
观察题中的三个比例，你有什么发现？
3.6 ：3 = 4.8 ：4 3.6 ：4.8 = 3 ：4 3 ：3.6 = 4 ：4.8

（1）3.6和4可以同时做比例的外项，也可以同时做比例的内项。
（2）3.6 × 4 = 3 × 4.8，可见在比例中两个外项的积等于两个内项的积。
（3）如果把3.6 ：3 = 4.8 ：4改写成分数形式
3.6
4.8
= ，等号两边的分子、
3
4
分母分别交叉相乘，结果也相等。
（4）如果用字母表示比例的四个项，即 a : b = c : d，
那么这个规律可表示成ad = bc 或 bc = ad。
（5）在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。




例6、（比例基本性质的应用）根据2 × 7 = 1.4 × 10这个等式写出几个比例。

分析与解：根据比例的基本性质，可以得出2和7、1.4和 10这两组数要么同时是比例
的外项，要么同时是比例的内项。
1.4 : 2 = 7 : 10 1.4 : 7 = 2 : 10
10 : 2 = 7 : 1.4 10 : 7 = 2 : 1.4
2 : 1.4 = 10 : 7 2 : 10 = 1.4 : 7
7 : 1.4 = 10 : 2 7 : 10 = 1.4 : 2

点评：像这样的比例一共可以写8个。但它们不变的是2和7要么同时为内项，要么 同
时为外项，而1.4和10这一组数也一样。写的时候可以一组一组地写了。
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例7、（按比例放大的含义）
王叔叔在电脑上将下面的图片按比例放大，放大后的图片的长是12.5厘米，你有什么
发现？

4厘米

5厘米

分析与解：按比例放大就是把原图 形中的各部分线段都按相同的比放大，放大前后的相
关线段的厘米数是可以组成比例的。两张图片长的比 与宽的比可以组成比
例，两张图片中各自长、宽的比也可以组成比例。
12.5 : 5 = 宽 : 4 或 12.5 : 宽 = 5 : 4
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