三十岁的男人-图形设计

六年奥数综合练习题十二答案（比和比例关系）
比和比例，是小学数学中的 最后一个容，也是学习更多数学知识的重要基础.有了“比”这个概念和表达方
式，处理倍数、分数等问 题，要方便灵活得多.我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法、分数、比例实质上
是一回事，但各有 用处”有所理解.
这一讲分三个容：
一、比和比的分配；
二、倍数的变化；
三、有比例关系的其他问题.
一、比和比的分配
最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比.
例1 甲、乙两 个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽之比是7∶5.求甲与乙的
面积之比 .
解：设甲的周长是2.

甲与乙的面积之比是

答：甲与乙的面积之比是864∶875.
作为答数，求出的比最好都写成整数.
例2 如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的 面积之比是10∶
7.

求上底AB与下底CD的长度之比.
解：因为E是中点，三角形CDE与三角形CEA面积相等.
三角形ADC与三角形ABC高相等，它们的底边的比AB∶CD=三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积
=（10-7）∶（7×2）= 3∶14.
答：AB∶CD=3∶14.
两数之比，可以看作一个分数，处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这 一节讲
述的重点.
例3 大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小 杯.如果记号表示2大杯、3中杯、4
小杯容量之和，求与之比.
解：大杯与中杯容量之比是5∶2=10∶4，
中杯与小杯容量之比是4∶3，
大杯、中杯与小杯容量之比是10∶4∶3.
∶
=（10×2+4×3+3×4）∶（10×5+4×4+3×3）
=44∶75.
答：两者容量之比是44∶75.
把5∶2与4∶3这两个比合在一起，成为三样东西之比10∶ 4∶3，称为连比.例3中已告诉你连比的方法，
再举一个更一般的例子.
甲∶乙=3∶5，乙∶丙=7∶4，
3∶5=3×7∶5×7=21∶35，
7∶4=7×5∶4×5=35∶20，
甲∶乙∶丙=21∶35∶20.

花了多少钱？
解：根据比例与乘法的关系，

连比后是
甲∶乙∶丙=2×16∶3×16∶3×2
=32∶48∶63.

答：甲、乙、丙三人共花了429元.
例5 有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙

，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？
解：设甲的长度是6份.










∶x=5∶4.

乙与丙的长度之比是
而甲与乙的长度之比是 6∶5=30∶25.
甲∶乙∶丙=30∶25∶26.
答：甲、乙、丙的长度之比是30∶25∶26.


于利用已知条件6∶5，使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段.
例6 甲、 乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱
数一 样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？
解一：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是

答：这些糖果每千克平均价是27.5元.
上面解法中，算式很容易列 出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数
330，乘这个繁分 数的分子与分母，就有：

事实上，有稍简捷的解题思路.
解二：先求出这三种糖果所买数量之比.
不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.
平均数是（15+11+10）÷3=12.
单价33元的可买10份，要买12份，单价是

下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问 题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量
之比，我们就能求出这些数量.
例7 一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32，

解：新的分数，分子与分母之和是（10+23+32），而分子与分母之比2∶3.因此



例8 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟， 现有1825个零件要加工，为尽早完成任
务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？
解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按 比例
分配工作量.
三人工作效率之比是

他们分别需要完成的工作量是

所需时间是
700×3=2100分钟）=35小时 .
答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时.
这是三个数量按比例分配的典型例题.
例9 某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比 是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两
组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比 是：
甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，
那么丙有多少名男会员？
解：甲组的人数是100÷2=50（人）.

乙、丙两组男会员人数是 56-24=32 （人）.



答：丙组有12名男会员.
上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔


例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶3.小龙走各段路程所用时间之

比依次是4∶5∶6.已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米 .问小龙走完全程用了多少时间？
解一：通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.
上坡、平路、下坡的速度之比是


走完全程所用时间


答：小龙走完全程用了10小时25分.
上面是通常思路下解题.1 ∶2∶3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上，灵活运用
比例有简捷解法.
解二：全程长是上坡这一段长的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的时

设小龙走完全程用x小时.可列出比例式

二、比的变化
已知两个数量的比 ，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化.通过变化的描述，如何求出原来的
两个数量呢？这 就是这一节的容.
例11 甲、乙两同学的分数比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22 .5分，则他们的分数比是5∶7.甲、
乙原来各得多少分？
解一：甲、乙两人的分数之 和没有变化.原来要分成5+4=9份，变化后要分成5+7=12份.如何把这两种分法
统一起来？这 是解题的关键.9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算.
5∶4=（5×4）∶（4×4）=20∶16.
5∶7=（5×3）∶（7×3）=15∶21.
甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20-15=5份.因此原来
甲得22.5÷5×20=90（分），
乙得 22.5÷5×16=72（分）.
答：原来甲得90分，乙得72分.
我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程.
解二：设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根据得分变化，可列出比例式.
（5x-22.5）∶（4x+22.5）=5∶7
即 5（4x+22.5）=7（5x-22.5）
15x=12×22.5
x=18.
甲原先得分18×5=90（分），乙得18×4=72（分）.

解：其他球的数量没有改变.
增加8个红球后，红球与其他球数量之比是
5∶（14-5）=5∶9.
在没有球增加时，红球与其他球数量之比是
1∶（3-1）=1∶2=4.5∶9.
因此8个红球是5-4.5=0.5（份）.
现在总球数是

答：现在共有球224个.
本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把1∶2写成4.5∶ 9，就是充分利用这一特点.本题也可以
列出如下方程求解：
（x+8）∶2x=5∶9.
例13 家与家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3 ，结果家结余240元，家结余270元.问每
家各收入多少元？
解一：我们采用“假设”方法求解.
如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结余的钱数之比也应是8∶5.家结余240元，家应结余x元.有
240∶x=8∶5，x=150（元）.
实际上家结余270元，比150元多1 20元.这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷（5-3）
=60.（元）.因此可 求出

答：家收入720元，家收入450元.
解二：设家收入是8份，家收入是5份.家开支的3倍与家开支的8倍的钱一样多.
我们画出一个示意图：

家开支的3倍是（8份-240）×3.
家开支的8倍是（5份-270）×8.
从图上可以看出
5×8-8×3=16份，相当于
270×8-240×3=1440（元）.
因此每份是1440÷16=90（元）.
家收入是90×8=720（元），家收入是90×5=450（元）.
本题也可以列出比例式：
（8x-240）∶（5x-270）=8∶3.
然后求出x.事实上，解方程求x 的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量
关系也直观些.
例14 A和B两个数的比是8∶5，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数.
解：减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点.
8∶5，就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2∶1，两者相差1. 将前项与后项
都乘以3，即2∶1=6∶3，使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2（份）或 5-3=2（份）.因此，每份是34∶
2=17.
A数是17×8=136，B数是17×5=85.
答：A，B两数分别是136与85.

本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的2∶1，改写成8∶4.
例15 小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15.小强用掉了8，现有的图画纸之比是5∶2.问
原来两人各有多少图画纸？
解一：充分利用已知数据的特殊性.
4+3=7，5+2=7，15-8=7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7，因此，
新的1份=原来1份+1
原来4份，新的5份，5-4=1，因此
新的1份有15-1×4=11（）.
小明原有图画纸11×5-15=40（），
小强原有图画纸11×2+8=30（）.
答：原来小明有40，小强有30图画纸.
解二：我们也可采用例13解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）
4∶3=20∶15
5∶2=20∶8.

但现在是20∶8，因此这个比的每一份是



当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法.
解三：设原来小明有4“份”，小强有3“份”图画纸.
把小明现有的图画纸数乘2，小强现有的图画纸数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图：

从图上可以看出，3×5-4×2=7（份）相当于图画纸15×2+8×5=70（）.
因此每份是10，原来小明有40，小强有30.
例11至15这五个例题是同一类型的问题.用 比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法，却可以充分利
用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法， 也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学
生说来是超前的，不容易熟练掌握. 例13的解一，也是一种通用的方法.“假设”这一思路是很有用的，希望读
者能很好掌握，灵活运用. 从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数
据的特殊性.因此我 们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维.
例16 粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以 点5小时，细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛，点了
一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍. 问这两支蜡烛点了多少时间？

我们把问题改变一下：设细蜡烛长度是2，每小时点



等需要时间是

答：这两支蜡烛点了3小时20分.
把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2，使原来要考虑 的“2倍”变成“相等”，思考就简捷了.解这
类问题这是常用的技巧.再请看一个稍复杂的例子.

例17 箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍 多2只.每次从箱子里取出7只白球，15只红球，
经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球， 那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？
解：因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只， 最后剩下53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最
后应剩51只.
因为白球每次取7只，最后剩下3只，所以对3倍的白球，每次取 7×3＝21只，最后应剩 3×3＝ 9只.
因此.共取了（51- 3×3）÷（7×3-15）＝ 7（次）.
红球有 15×7＋ 53＝ 158（只）.
白球有 7×7＋3＝52（只）.
原来红球比白球多 158-52＝106（只）.
答：箱子里原有红球数比白球数多106只.
三、比例的其他问题









，这里必须用分数来说，而不能用比.实际上它还是隐含着比例关系：
（甲-7）∶乙= 2∶3.
因此，有些分数问题，就是比例问题.


加33，他们两人取的画片一样多.问这些画片有多少？





答：这些画片有261.


解：设最初的水量是1，因此最后剩下的水是











样重，就有
因此原有水的重量是

答：容器中原来有8.4千克水.
例18和例19，通 常在小学数学中，叫做分数应用题.“比”有前项和后项，当两项合在一起写成一个分数

后，才便于与其他数进行加、减运算.这就是把比（或除法）写成分数的好处.下面一个例题却是要把分 数写成
比，计算就方便些.
例20 有两堆棋子， A堆有黑子 350个和白子500个， B堆有黑子

堆中拿到 A堆黑子、白子各多少个？

子100个，使余下黑子与白子之比是（40-100）∶100＝3∶1.再要从 B堆拿出黑子与白子到A堆，拿出的
黑子与白子数目也要保持3∶1的比.
现在 A堆已有黑子 350＋ 100＝ 450个），与已有白子500个，相差

从B堆再拿出黑子与白子，要相差50个，又要符合3∶1这个比，要拿出白子数是
50÷（3-1）＝25（个）.
再要拿出黑子数是 25×3＝ 75（个）.
答：从B堆拿出黑子 175个，白子25个.









人，问高、初中毕业生共有多少人？
解一：先画出如下示意图：





6-5＝1，相当于图中相差 17-12＝5（份），初中总人数是 5×6＝30份，因此，每份人数是
520÷（30-17）= 40（人）.
因此，高、初中毕业生共有
40×（17＋12）＝ 1160（人）.
答：高、初中毕业生共1160人.

计算出每份是

例21与例14是完全一样的问题，解一与例14的解法也是一样的.（你是否发现？）解二是通常分数应用题的解法，显然计算不如解一简便.
例18，19，20，21四个例题说明分数与比例各有 好处，你是否从中有所心得？当然关键还是在于灵活运用.












下的钱共有多少元？
解：设钢笔的价格是1.

这样就可以求出，钢笔价格是
剩下的钱数是

剩下的钱数

答：、两人剩下的钱共28元.
题中有三个分 数，但它们比的基准是不一样的.为了统一计算单位，设定钢笔的价格为1.每个人原有的钱
和剩下的钱 都可以通过“1”统一地折算.解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧.
作为这一讲最后的容，我们通过两个例题，介绍一下“混合比”.

用100个银币买了100头牲畜，问猪、山羊、绵羊各几头？
这是十八世纪瑞士大数学家欧拉（1707～1783）提出的问题.


们设1头猪和5头绵羊为A组，3头山羊和2头羊绵为B组.A表示A组的数，B表示B组的数，要使
（1＋ 5）× A＋（3＋ 2）× B＝100，
或简写成 6A＋5B＝100.
就恰好符合均价是1.
类似于第三讲鸡兔同笼中例17，很明显，A必定是5的整数倍.A＝5， B＝ 4， 6×5＋ 5×4＝50，50是 100
的约数，符合要求.
A＝5，猪 5头，绵羊 25头，
B=4，山羊12头，绵羊8头.
猪∶山羊∶绵羊=5∶12∶（25＋8）.
现在已把1∶5和3∶2两种比，组合在一起通常称为混合比.

要注意，这样的问题常常有多种解答.
A= 5， B＝14或 A＝15，B＝2才能产生解答，相应的猪、山羊、绵羊混合比是5∶42∶53或15∶6∶79.
答：有三组解答.买猪、山羊、绵羊的头数是10，24，66；或者5，42，53；或者15，6，79.
求混合比是一种很实用的方法，对数学有兴趣的小学同学，学会这种方法是有好处的，会增加灵活运 用比
例的技巧.
通常求混合比可列下表：

下面例题与例23是同一类型，但由于题目的条件，解法上稍有变化.
例24 某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件，买 1件按定价，买2件降价 10％，买 3
件降价 20％.最后结算，平均每件恰好按原定价的 85％出售，那么买3件的顾客有多少人？
解：题目已给出平均数 85％，可作比较的基准.
1人买3件少 5％×3；
1人买2件多 5％×2；
1人买1件多 15％ ×1.
1人买3件与1人买1件成A组，即按1∶1比例，2人买3件与3人买2件成B组，即按2∶3的比例.
A组是2人买4件，每人平均买2件.
B组是5人买12件，每人平均买2.4件.
现在已建立了一个鸡兔同笼型问题：总脚数76，总头数33，兔脚数2.4，鸡脚数2.
B组人数是
（76-2×33）÷（24-2）＝ 25（人），

A组人数是 33-25＝8（人），其中买 3件4人，买 1件4人.
10＋ 4＝ 14（人）.
答：买3件的顾客有14位.
建立两种比的A组和B组，与例 23的解题思路完全一致，只是后面解法稍有不同.因为对A组和B组，不
仅要从人数考虑满足2A+5 B＝33，还要从买的件数考虑满足 4A＋12B＝76.这已完全确定了A组和B组的数，不
必再求混合比.