数学讲义-比和比例的应用
感同身受造句-affable
比和比例
一、重要知识点
比和比值:两个数相除又叫做两个数的比。比的大小叫比值。
比的性质:比的前项和后项同乘以或除以相同的数(0除外),比值不变。
按比例分配:把一个量按一定比例分为几份,叫做按比例分配。
比例及其性质:表示两个比相等的式子叫做比例。
a:b=c:d
或
ac
= ,则ad=bc。
bd
比例尺:图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
正比例:①两种相关联的量,一
种量变化,另一种量也随着变化,②这两种量中相对应的两
个数值的比值(商)一定,这两种量就叫做成
正比例的量,他们的关系叫正比例关系。[字
母表示:xy=к(一定)]
反比例:①两种相
关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,②这两种量中相对应的两
个数值的积一定,这两种量就叫
做成反比例的量,他们的关系叫反比例关系。[字母表示:
ху=к(一定)]
二、经典例题
知识点1、比和比的应用
1
1
例1:王军行走的路程比陈晨多,而陈晨行走
的时间却比王军多
10
,求王军与陈晨的速
4
度比。
学生自测:
甲、乙两个长方形的周长相等,甲的长与宽的比是3:2,乙的长与宽的比是7:
5,它们的
面积的比是多少?
②甲仓有粮100吨,乙仓有粮80吨,
从甲仓取出多少吨给乙仓,使甲、乙两仓粮食的吨数
比是2:3?
<
br>③A、B两地相距320千米,甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行,2小时相遇,已
知甲
乙速度比是3:5,乙每小时行多少千米?
④有一块铜锌合金,其中
铜和锌的比是2:3,现在加入锌6克,共得新合金36克。求新合
金中铜与锌的比。
知识点2、比与比例的基本性质
例.甲商品的价钱是乙商品价格的
73,如果这两种商品的价格分别上涨70元,那么它们的
价格比就是7:4,这两种商品原来的价钱各
是多少元?
学生自测:
①小明和小强原有的图纸之比是4:3,小
明又买来15张,小强用掉了8张,他们现有的图
纸之比是5:2,原来两人各有多少张图画纸?
②学校原有跳绳36根,其中短跳绳根数与长跳绳根数比为7:2,又买进一批
短跳绳后,
短跳绳根数与长跳绳根数比是23:4,现在学校一共有跳绳多少根?
③分数4797,分子、分母分别加上、减去同一个数以后,约分后的最简分数为
35,求分
子加上、分母减去的这个数。
④北京西路小学合唱队与舞蹈
队人数之比为3:2,如果将合唱队的队员调10名到舞蹈队,那
么这时合唱队与舞蹈队人数之比为7:
8,原来合唱队有多少人?
知识点3、
按比例分配
例3:育英小学六年级学生分三批去参观科技馆。第一批和第二批的人数比是5:4,第二批
与第三批
的人数比是3:2.已知第一批比第二、三批人数的总和少15人。六年级参观科技馆
的共有多少人?
学生自测:
小明家养的鸡与猪的数量比为26:5,养的羊与马的数量比为25:
9,猪与马的数量比为10:3,
如果养羊50只,小明家养鸡、猪、马各多少?
②一堆黑、白围棋子,从中取走白子15粒,余下的黑子数与白子数之比为2:1,此后,又
取
走黑子45粒,余下的黑子数与白子数之比为1:5,那么这堆围棋子原来共有多少粒?
③一种混凝土是由水泥、沙子和石子按照2:3:5配置而成。
(1)配置这种混凝土30吨,水泥、沙子、石子各要多少吨?
(2)运来水泥、沙子、石子
各30吨,当沙子用完时,水泥还剩下多少吨?还需运进石子多
少吨?
④甲、乙两袋大米共重88千克,已知甲袋大米的
大米各重多少千克?
24
与乙袋大米的一样多,求甲、乙两袋
35
知识点4、
比例尺 <
br>例4、在一张图上距离3厘米代表实际距离360千米地地图上,量得AB两地相距12厘米,
A
B两地的实际距离是多少千米?
学生自测:
①在一张比例尺是1:2500的平
面图上,量得一个长方形运动场的长为4.8厘米,宽为3.6
厘米,这个运动场的实际面积是多少平方
米?
②在一幅比例尺为1:2500000的地图上,量得甲,乙两
地的距离为25cm,如果在另一幅地
图上,甲乙两地的距离是20cm,那么另一幅地图的比例尺是多
少?
知识点5、
正比例与反比例
例5:一辆汽车
原计划每小时行驶70千米,从甲地到乙地需要行驶6小时,实际上这辆汽
车1.5小时就行驶了120
千米。照这样的速度,从甲地到乙地需行驶多少小时?
学生自测:
①判断以下两种量成什么比例?说明理由。
1、一个不为0的数和它的倒数。
2、圆的周长和半径。
3、圆柱侧面积一定,它的底面周长和高。
4、正方体的棱长和体积。
5、等底等高的圆柱体积和圆锥体积。
6、15x
= y , x 和 y
7、0.4a=0.5b , a 和 b
8、
3A÷7=B,A和B
9、车轮的直径一定,所行驶的路程与车轮的转数。
<
br>②某单位买甲、乙两种钢笔共100枝,已知甲钢笔每枝3元,乙钢笔每枝2元,且甲、乙两
种钢
笔所用钱数一样多。求:甲、乙两种钢笔各买了多少枝?
③甲、乙两辆汽车各以
一定的速度从A地开往B地。甲的速度每小时比乙快20千米,甲比
乙晚出发0.5小时,出发又过了1
.5小时在终点处追上了乙,求A地到B地的路程为多少千
米?
④A、B、C三个人100米赛跑,他们三人都是匀速前进,当A
到终点时,B离终点有20
米,C离终点有30米,当B到终点时,C还有几米才到?
⑤一辆汽车沿高速公路从甲地到乙地,每小时可以行80千米。司机估算了一下,如果提速<
br>百分之二十,则可以少用0.5小时,甲、乙两地之间相距多少千米?
⑥
华华从甲地到乙地,去时每小时走5千米,回时每小时走7千米,来回共用了1.2小时。
华华来回共走
了多少千米?
知识点6、
比例法解答行程应用题
例6、甲、
乙两车分别从A、B两地出发相向而行,甲车每小时行50千米,乙车的速度是
甲车的45。当甲车行至
全程的25时,乙车距中点还有36千米。甲、乙相距多少千米?
学生自测:
①甲、乙两车分别从A、B两地出发相向而行,当甲车行了全程的14时,乙车行了全程的
13
。当乙车行完全程时,甲车距终点还有20千米。A、B相距多少千米?
②一条路全长60千米,分成上坡、平路、下坡三段,各段路程长的比为1:2:3,某人走各段
路
所用的时间依次是4:5:6,已知他上坡的速度为每小时3千米,此人走完全程用多长时间?
③小红骑自行车从甲地到乙地,前一段路是上坡路,后一段路是下坡路。已知小红
上坡每小
时行8千米,下坡每小时行22千米,来回一趟共用了3小时。甲、乙两地相距多少千米?
④一辆汽车和一辆摩托车同时从A、B两地相对开出,相遇后两车继续
向前行驶。当摩托车
到达A地、汽车到达B地后,两车立即返回,已知第二次相遇点距A地130千米。
汽车与
摩托车的速度比是3:2。A、B两地相距多少千米?
⑤如图,有一只老鼠沿着平行四边形A-B-
C的方向逃跑,同时有一只猫也从A点出发沿着
A-D-C的方向抓捕老鼠,在E点将老鼠抓住。已知老
鼠的速度是猫的58,且CE长9米。
求平行四边形ABCD的周长?
D
A
●
C
E B
知识点7、
比例法解答工程应用题
例7:加工一个零件,甲需3分钟,乙需3.5分钟,丙需4分钟。现在有1825个零件要加
工,为尽早完成任务,甲、乙、丙各加工多少个零件?所需时间是多少?
学生自测:
师徒两人共加工零件168个,师傅加工1个零件用5分钟,徒弟加工一个零件用
9分钟,
完成任务时,两人各加工了零件多少个?
②化肥厂原计划生产
化肥1400吨,由于改进技术5天就完成了计划的25%,照这样计算,
剩下的任务还需要多少天完成
?
③甲、乙、丙三村准备合修一条公路,他们原计划按9:8:3派工,后因为
丙村不出工人,将
他承担的任务请甲、乙村分担,由丙村出工资360元,结果甲村共派出45人,乙村
共派出
35人,完成修路任务。问:甲、乙两村各应分得丙村工资多少元?
1
例8.师徒两人共同加工一批零件,2天加工了总数的
。已知师傅和徒弟的工作效率比是
3
3:2。如果全由徒弟单独加工,需几天完成?
学生自测:
①一批手工,如果甲单独做10天完成。甲4天的工作量乙要2天完成
。两人合作2天后,
由乙单独做,乙还需做多少天才能完成?
②一份文
件,甲先打2600字,由于时间较紧,乙也加入进来。甲、乙的打字速度比是4:5。
完成时,甲打了
文件的
5
。这份文件一共多少个字?
8
③甲、
乙两人做一件工程,在一段时间内甲、乙两人的工作效率比是3:5,。两人共同工作
3天后,乙有事离
开,甲又用2天完成任务。如果这件工程,从一开始两人就合作完成,需
要多少天?
7
1
④、某项工程,甲、乙两队合作6天完成工程的
8
,已知单独做,甲完成工程的 和乙
1
4
完成工程的
的时间相等。求甲、乙单独做各需要多少天完成?
3
知识点8、
比例法解答图形问题
例9.例2:如图,平行四边形ABCD的周长为54厘米,AE BC,AF
CD,AE=8
厘米,AF=10厘米,求平行四边形ABCD的面积。
学生自测:
①如图,在梯形ABCD中,E是AD的中点,直线CE分梯形为甲、
乙两部分,它们的面积
比是11:7,求AB与DC的比。
② 如图,四边形被AC、BD分成甲、乙、丙、丁四个三角形。已知AE=15
厘米,EC=30
厘米,BE=40厘米,ED=20厘米。问丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个
三角形面积
之和的几倍?