七年级生物教案-孙开林

第二讲 比和比例
学习目标：
1、比例的基本性质
2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题
3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；
4、单位“1”变化的比例问题
5、方程解比例应用题
知识点拨：
比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活 中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考
试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容 有：
一、比和比例的性质
性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；
性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；
性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数)
性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积)
正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；
反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．
二、主要比例转化实例
xaab
ybxy
①





；

；

；
ybxy
xaab
xamxa
xma

；

②



(其中
m0
)； < br>ybmyb
ymb
xa
xaxyab
xyab
< br>③



； ； ；

yb
x yabxyab
xa
xa
ycxac
④

，





；
x:y:zac:bc:bd
；
yb
zdzbd
c
dadbc
⑤
x
的等于y
的，则
x
是
y
的，
y
是
x
的．
a
bbcad
三、按比例分配与和差关系
⑴按比例分配
例 如：将
x
个物体按照
a:b
的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两 个人各自分配到的物体数量与
x
axbx
的比分别为
a:

ab

和
b:

ab

，所以甲分配到个，乙 分配到个.
abab
⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题
ax
例如：两个类别
A
、
B
，元素的数量比为
a:b(这里
ab
)，数量差为
x
，那么
A
的元素数量为，
B
的
ab
bx
元素数量为，所以解题的关键是求出
ab

与
a
或
b
的比值．
ab
四、比例题目常用解题方式和思路
解答分数应用题关键是正确理解、运用单位 “l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，
将不同的单位“1”，转化成统一的单 位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题
时，要注意以下几点：
1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。
2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。
3. 应用正、反比例性质 解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成
反比例。找出这些具体数量 相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧
的解法。
4. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。
5. 赋值解比例问题
例题精讲：模块一、比的基础
例1 已知3∶(x-1)=7∶9，求x。

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2 六年级一班的男、女生比例为3∶2，又来了4 名女生后，全班共有44人。求现在的男、女生
人数之比。
例3 配制一种农药，其中生石灰 、硫磺粉和水的重量比是1∶2∶12，现在要配制这种农药2700
千克，求各种原料分别需要多少千 克。
例4 师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分 钟。
完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件
练习1 某高速公路收费站对于过往车辆收费 标准是：大客车30元，小客车15元，小轿车10元。某日通过
该收费站的大客车和小客车数量之比是 5∶6，小客车与小轿车之比是4∶11，收取小轿车的通行费
比大客车多210元。求这天这三种车辆 通过的数量。
2.一块长方形的地，长和宽的比是5∶3，周长是96米，求这块地的面积。

3.一个长方体，长与宽的比是4∶3，宽与高的比是5∶4，体积是450分米
3
。 问：长方体的长、
宽、高各多少厘米？
4.一把小刀售价6元。如果小明买了这把小刀，那么 小明与小强的钱数之比是3∶5；如果小强
买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是9∶11。问： 两人原来共有多少钱？
5.甲、乙、丙三人分138只贝壳，甲每取走5只乙就取走4只，乙每取走5 只丙就取走6只。
问：最后三人各分到多少只贝壳？
6.一条路全长60千米，分成上坡、平 路、下坡三段，各段路程的长度之比是1∶2∶3，某人走
各段路程所用的时间之比是3∶4∶5。已知 他走平路的速度是5千米时，他走完全程用多少时
间？
模块二、比例转化
1
1
【例 1】 已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的，乙等于甲、丙两数 和的，丙等于甲、乙两
2
3
5
数和的，求
甲:乙:丙
.
7
22
【例 2】 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的
2
倍 也等于丙的，那么甲的、乙的
2
倍、丙的一半
33
这三个数的比为多少？
4
【例 3】 如下图所示，圆
B
与圆
C
的面积之和等于圆
A
面积的，且圆
A
中的阴影部分面积占圆
A
面积的
5
1
11
，圆
B
的阴影部分面积占圆
B
面积的，圆
C
的阴影部分面积占圆
C
面积的．求圆
A
、圆
B< br>、
6
53
圆
C
的面积之比．
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A
B
C

【例 4】 某俱乐部男、女会员的人 数之比是
3:2
，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数比是
10:8:7
，
甲组中男、女会员的人数之比是
3:1
，乙组中男、女会员的人数之比是< br>5:3
．求丙组中男、女会员人
数之比．


【巩固】 一 项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的
一段时间后， 分别剩下
60%
、
40%
的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率(建设 速度)之比
3:1
，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比.

【例 5】 某团体有
100
名会员，男女会员人数之比是
14:11
，会员分成三 组，甲组人数与乙、丙两组人数之
和一样多，各组男女会员人数之比依次为
12:13
、
5:3
、
2:1
，那么丙组有多少名男会员？

【例 6】 (2007年华杯赛总决赛)
A
、
B
、
C
三项工程的 工作量之比为
1:2:3
，由甲、乙、丙三队分别承担．三
个工程队同时开工，若干天 后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量
是丙未完成的工作量的三分之一， 丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作
效率的比是多少？


【巩固】 某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一等奖
的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为
5:6
；③甲、乙两校获 二等奖的人数
总和占两校获奖人数总和的
20%
；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人 数的
50%
；⑤甲校获二等奖
的人数是乙校获二等奖人数的
4.5
倍 ．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于
多少？



模块三、按比例分配与和差关系
（一）量倍对应
【例 7】 一些苹果平均分给甲 、乙两班的学生，甲班比乙班多分到
16
个，而甲、乙两班的人数比为
13:11，
求一共有多少个苹果？



【巩固】 在抗洪救灾区活动 中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资
的和与乙、丙所捐资的和之 比是
10:7
，则甲捐 元，乙捐 元，丙捐 元．



1
1
【巩固】 有
120
个 皮球，分给两个班使用，一班分到的与二班分到的相等，求两个班各分到多少皮
2
3
球 ？


【例 8】 一班和二班的人数之比是
8:7
，如果将一班 的
8
名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为
4:5
．求原来两班的人 数．


488742
人.
【例 9】 幼儿园大班和中 班共有32名男生，18名女生．已知大班男生数与女生数的比为
5:3
，中班男生数
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与女生数的比为
2:1
，那么大班有女生多少名？


【巩固】 参加植树的同学共有
720
人，已知六年级与五年级人数的比是
3:2
，六年级比四年级多
80
人，
三个年级参加植树的各有多少人 ?


【巩固】 圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用 71．5元．问圆珠笔的单价是每
支多少元?


【例 10】 甲、乙两 只蚂蚁同时从
A
点出发，沿长方形的边爬去，结果在
甲
距
B
点
2
厘米的
C
点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的
1.2
倍， 求
A
这个长方形的周长．


C
乙

B

【例 11】 甲乙两车分别从 A， B两地出发，相向而行．出发时，甲、< br>乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：A，B两地相距多少千米？
【解析】 甲、乙原来的速度比是5∶4 ，相遇后的速度比是：[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）]＝4∶4．8
54
和 。设全程x千米，剩下的部分甲行的长度和乙行的
99
48
长度之比为5：6，其中相 遇后甲行驶了全长的49，所以乙行驶了全长的
56
，所以乙一
915
4844441

共行了全长

，还剩1-＝，没有走所以A、B全长为45 0千米.
915454545
＝5∶6．相遇时，甲、乙分别走了全程的
【例 12】 师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？


【巩固】 师徒二人共加工零件
400
个，师傅加工一个零件用
9
分 钟，徒弟加工一个零件用
15
分钟．完成
任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？


【例 13】
A
、
B
、
C
三个水桶的总容积是
1440
公升，如果
A
、
B
两桶装满水 ，
C
桶是空的；若将
A
桶水的
11
全部和
B
桶水的，或将
B
桶水的全部和
A
桶水的倒入
C
桶，
C
桶都恰好装满．求
A
、
B
、
C
三
53
个水桶容积各是多少公升？


12
【巩固】 学而思学校四五 六年级共有615名学生，已知六年级学生的，等于五年级学生的，等于四
25
3
年级 学生的。这三个年级各有多少名学生学生？
7



4
【例 14】 一块长方形铁板，宽是长的．从宽边截去
21
厘米，长边截 去
35%
以后，得到一块正方形铁板．问
5
原来长方形铁板的长是多少厘米?
【巩固】 一个正方形的一边减少
20%
，另一边增加
2
米，得到一 个长方形，这个长方形的面积与原正方
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形面积相等．原正方形的边长是多少米?


【例 15】 一把小刀售价
3
元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是
2:5
；如果小强买
了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为
8:13
．小明原来 有多少钱？


【巩固】 甲、乙两人原有的钱数之比为
6:5
， 后来甲又得到180元，乙又得到30元，这时甲、乙钱数之
比为
18:11
，求原来 两人的钱数之和为多少？


【例 16】 一项机械加工作业，用4台
A
型机床，5天可以完成；用4台
A
型机床和2台
B
型机床3天可以完
成；用3台
B
型机床和9台
C
型机床，2天可以完成，若3种机床各 取一台工作5天后，剩下
A
、
C
型机床继续工作，还需要______ 天可以完成作业．




【例 17】 某水果批发市场存放的 苹果与桃子的吨数的比是
1:2
，第一天售出苹果的
20%
，售出桃子的吨数 与
所剩桃子的吨数的比是
1:3
；第二天售出苹果
18
吨，桃子12
吨，这样一来，所剩苹果的吨数是所剩
4
桃子吨数的，问原有苹果和桃子各有 多少吨？
15
x(120%)184

【解析】 法一：设原来苹果 有
x
吨，则原来桃子有
2x
吨，得：，解得
x37
．所以 原有
3
15
2x12
13
苹果37吨，原有桃子
37 274
(吨)．
法二：原来苹果和桃子的吨数的比是
1:2
，把原来的 苹果的吨数看作1，则原来桃子的吨数为2，第
433
一天后剩下的苹果是
1(1 20%)
，剩下的桃子是
2
，所以此时剩下的苹果和桃子的重
513 2
43
量比是
:8:15
．现在再售出苹果18吨，桃子12吨，所剩的苹 果与桃子的重量比是
4:15
．这就
52
832
相当于第一天后剩下 的苹果和桃子的重量比是
8:15
，先售出桃子12吨，苹果
12
吨，此 时
155
3258
剩下的苹果和桃子的重量比还是
8:15
，再售出
18
吨苹果，剩下的苹果和桃子的重量比变为

55
585815 87
4:15
，所以这相当于
844
份，最后剩下的桃子有

吨，那么第一天后剩下的桃子
5542
871111113
有
12 
吨，原有桃子
74
吨，原有苹果
74237
吨．
22213
（二）利用不变量统一份数
【例 18】 有一个长方体，长和宽的比 是
2:1
，宽与高的比是
3:2
．表面积为
72cm
2，求这个长方体的体积.



【巩固】 有一个长方体，长与宽的比 是
2:1
，宽与高的比是
3:2
．已知这个长方体的全部棱长之和是
220
厘米，求这个长方体的体积．





.
【例 19】 （2009年第七届“希望杯”二试六年级）某高速公路收费站对于过往车 辆收费标准是：大型车
30
元，中型车
15
元，小型车
10
元．一天，通过该收费站的大型车和中型车数量之比是
5:6
，中型车与
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小型车之比是
4:11
，小型车的通行费总数比大型车多
270
元．（1）这天通过收费站的大型车、中型
车、小型车各有多少辆？（2）这天 的收费总数是多少元？


6
枚壹分硬币摞在一起与
5
枚 贰分硬币摞在一起一样高，
4
枚壹分硬币摞在一起与
3
枚伍分硬币摞【例 20】
在一起一样高．用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了< br>124
枚
硬币，问：这些硬币的币值为多少元？
【解析】 由题目条件壹分硬 币和贰分硬币的数量比为
6:5
，壹分硬币和伍分硬币的数量比为
4:36:4.5
，所
以壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比为
6:5:4.5
，即12:10:9
，因此壹分硬币的数量为
1210
12448
枚，贰 分硬币的数量为
12440
枚，伍分硬币的数量为
1210912109
9
12436
枚，这些硬币一共有
48140236530 8
分，即币值为
3.08
元．
12109
【例 21】 某工 地用
3
种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为
10:7:6< br>，速度比为
6:8:9
，运送土方的路程之比为
15:14:14
，三 种车的辆数之比为
10:5:7
．工程开始时，乙、丙两种
车全部投入运输，但甲种车 只有一半投入，直到
10
天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了
25
天< br>完成任务．那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？
14∶14
，速度之比 为
6∶∶89
，所以它们运送
1
次【解析】 由于甲、乙、丙三种卡车运送土 方的路程之比为
15∶
49
所需的时间之比为
∶∶∶∶
，相同时间 内它们运送的次数比为：
∶∶
．在前
10
天，
6892495714
甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为
5∶5∶7
．由于三种卡车载重 量之比为
10∶7∶6
，
∶3∶542
所以三种卡车的总载重量之比为
50
．那么三种卡车在前
10
天内的工作量之比为：
2

4

9


50

∶

35

∶

42

20∶20∶27
．在后
15
天，由于甲车全部投入使用，所以在后
15
天里的
5
 
7

14

工作量之比为
40∶20∶27
．所以在这
25
天内，甲的工作量与总工作量之比为：
2010401532< br>．

(202027)10(402027)1579
【例 22】 将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友．原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为
5:4: 3
．实
际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为
7:6:5
，其中有一位小朋 友比原计划多得了
15
块糖果．那
么这位小朋友是 (填“甲”、“乙”或“丙”)，他实际所得的糖果数为 块．



【例 23】 一个周长是
56
厘米的大长方形，按图⑴与图⑵所示意那样，划分为四 个小长方形．在图⑴中小长
方形面积的比是
A:B1:2
，
B:C1:2
．而在图⑵中相应的比例是
A':B'1:3
，
B':C'1:3
.又知
长方形
D'
的宽减去
D
的宽所得到的差与
D'的长减去
D
的长所得到差之比为
1:3
．求大长方形的面
积．
A
C
A'C'
BD
B'
D'
（1） ⑵
208160
．
【例 24】 北京中学生运动会男女运动员比例为
19:12
，组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男女运动员
比例变为
20:13
；后来又决定增加男子象棋项目，男女比例变为
30:19
,已知男子象棋项目运动员 比
女子艺术体操运动员多
15
人，则总运动员人数为多少？




【巩固】 袋子里红球与白球的数量之比是
19:13
．放入若 干只红球后，红球与白球数量之比变为
5:3
；再
放入若干只白球后，红球与白球数量 之比变为
13:11
．已知放入的红球比白球少
80
只．那么原来袋
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子里共有 只球．


（三）利用等量关系列方程解比例
【例 25】 某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是
4:3
． 结果录取91人，其中男生与女生人 数之比
是
8:5
．未被录取的学生中，男生与女生人数之比是
3:4
． 问报考的共有多少人？


【例 26】 有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲 块重
6
千克，乙块重
4
千克，现在从甲、乙两块合金上各切下
重量相 等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块的剩余的部分一起熔炼，再将乙块上切下的部分与
甲块的剩余的 部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率相同，求切下的重量为________．
课后练习：
36
练习1. 右图是一个园林的规划图，其中，正方形的是草地；圆的是竹林；竹林比草地多 占地450平方
47
米． 问：水池占多少平方米?
练习2. 乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的
甲、乙两个班各种树多少棵?
1
1等于乙班种的棵数的，且乙班比甲班多种树
24
棵，
4
5

5
3
练习3. 甲本月收入的钱数是乙收入的，甲本月支出的钱数是乙支出的，甲节余 240元，乙节余480元．甲
4
8
本月收入多少元？
练习4. 甲、乙两 车分别从
A
、
B
两地同时相向开出，甲车速度是
50
千米／ 小时，乙车速度是
40
千米／小
1
时，当甲车驶过
A
、B
距离的多
50
千米时与乙车相遇，
A
、
B
两 地相距 千米．
3
月测备选
【备选1】甲、乙、丙三个数，已知< br>甲:

乙丙

4:3
，
乙:丙2:7
，求
甲:乙:丙
。
【备选2】有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放人16块水果糖 后，奶糖就只占25％那么，这堆糖果中有奶
糖多少块?
11
【备选3】甲 、乙两个工人上班，甲比乙多走的路程，而乙比甲的时间少，甲、乙的速度比是 ．
5 11
【备选4】一堆围棋子有黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为
2 :1
；再拿走45枚黑
棋子后，黑子与白子的个数比为
1:5
，求开始时黑棋 子与白棋子各有多少枚？
【备选5】加工某种零件，甲
3
分钟加工
1
个，乙
3.5
分钟加工
1
个，丙
4
分钟加工
1< br>个．现在三人在同样的时
间内一共加工
3650
个零件．问：甲、乙、丙三人各 加工多少个零件?

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