个性女名-咬文嚼字的意思

比和比例应用题
【例题精讲】
[例题1]两块一样重的合金，一 块合金中铜与锌的比是2：5，另一块合金中铜与
锌的比是1：3，现将两块合金融合成一块，新合金中 铜与锌的比是多少？
【解析】假设每块合金重28，那么第一块铜占合金的
2
，根据 一个数乘分数的
7
25
1
意义，则铜有
28×=8
，锌有< br>28×=20
；第二块铜占合金的，根据一个数乘
77
4
13
分数的意义，则铜有
28×=7
，锌有
28×=21
；则合成一块，铜
8+7=15
，锌
44
20+21=41
，进而求比即可.
< br>[变式训练1]一块铜和锡的合金中，铜与锡的重量比是7：4，已知铜比锡多840
克，这块合 金有3080克．
【解析】铜比锡多840克，相当于7﹣4＝3份的质量，然后用除法求出每份的质
量，再乘总份数7+4＝11份即可．

[变式训练2]有两块同样重的合金，一块 合金中铜与锌的比是1：5，另一块合金
中铜与锌的比是2：3，现将两块合金合成一块，新合金中铜与 锌的比是17:43
【解析】假设每块合金重30，那么第一块中铜占合金的
1
，根 据一个数乘分数
6
的意义，则铜有30×
12
＝5，锌有30﹣5＝25；第 二块中铜占合金的，根据一
65
2
＝12，锌有30﹣12＝18；则合成一块，铜5 +12
5
个数乘分数的意义，则铜有30×
＝17，锌25+18＝43，进而求比即 可．

[变式训练3]甲乙两块合金的质量比是8：7，甲合金中铜与锌的质量比是5：3，
乙合金中铜与锌的质量比是9：5现将两块合金熔成一块，新合金中铜与锌的比
是19:11
【解析】把甲的质量看作单位“1”，则乙的质量为甲的
7
，那么在甲中，铜就是8

537
，锌就是；再把乙的质量看作单位“1”，那么在乙中 ，铜就是甲的质量的
888
×
7
95
，锌就是甲的质量的×；两块合 在一起之后，每块合金中铜与锌的质
8
1414
57
9
量是不会变的 ，那么铜的质量就是两块中铜的质量相加得到的：（+×），
88
14
37
5
锌是（+×），从而可以求新合金中铜和锌的比．
88
14

[例 题2]一批零件按5∶3分给师徒两人加工，结果师傅加工了1440只，超额完
成20％，徒弟只完成 了80％，徒弟加工了多少只？请根据题意先判断：师傅超
额完成的部分是同属于这一批零件吗？
【解析】把分配给师傅的零件数看成是单位“1”，则有关系式：师傅实际加工的
个数=分配的 个数×
(
1+20%
)
，先求出分配给师傅多少零件：
3
1 440÷
(
1+20%
)
=1200
个，然后求出分配给徒弟多少零 件：
1200×=720
个，徒
5
弟实际加工的个数：
720×80 %=576
个.

[变式训练1]一批零件，原计划按5：3分配给师徒两人加工， 结果师傅加工1200
个，超过分配任务的20%，而徒弟因病只完成了他原定任务的60%，徒弟实际 加
工了
360
个．
【解析】把加工的零件任务按5：3分配给师徒两人 加工，则师傅原来分得了总
任务的
55
=
，实际加工了1200个，超过原分 配任务的20%，则师傅实际加工
5+38
53
3
了全部任务的
×< br>(
1+20%
)
=
，则加工的总零件数为
1200÷=160 0
个，所以原
84
4
计划徒弟加工的个数为
1600×
36 0个．


3
=600
个，徒弟实际加工的个数为600×60% ＝
5+3

[变式训练2]一批零件，平均分给师徒两人加工．师傅和 徒弟每小时加工零件个
数的比是7：5．当师傅完成任务时，徒弟还有24个没有完成．这批零件一共有
多少个？
【解析】把这批零件的个数看作单位“1”，已知师傅和徒弟每小时加工零件个数< br>的比是7：5．当师傅完成任务时，徒弟还有24个没有完成．也就是徒弟已经加
工的个数是师傅 加工个数的
55
，那么24个相当于师傅加工个数的
1-
，根据已
7 7
知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出师傅加工了多少个，然后乘
2即可求出这 批零件一共有多少个．

[变式训练3]一批零件平均分给师徒两人加工，当师傅完成任务的
3
时，徒弟完
4
4
成了任务的，这时师傅比徒弟少做60个．这批零 件共有多少个？
5
【解析】把这批零件的一半看成单位“1”，60个零件对应的分数是此用除法求出零件的一半；然后再乘2即可．

4
3
-，由
5
4
[例题3]加工一批零件，单独做，甲要8小时，乙要12小时。如果两人同时做，
完成任务时，甲比乙多做200个。这批零件一共有多少个？
1
【解析】把这批零件的总数看 成单位“1”，甲的工作效率就是，乙的工作效率
8
1
，再用工作总量除以两人的效率 和，求出合作需要的工作时间，再分别
12
用两人的工作效率乘以工作时间，求出两人各完成了 工作总量的几分之几，进而
求出甲比乙多完成了工作总量的几分之几，它对应的数量是200个，再根据 分数
除法的意义求出零件总数.
就是

[变式训练1]有一批零件，单独完 成，甲要8小时，乙要6小时，如果两人同时
做，完成任务时甲比乙少做200个．这批零件一共有多少 个？
1
【解析】把这批零件的总数看成单位“1”，甲的工作效率就是，乙的工作效率
8
1
就是，再用工作总量除以两人的工作效率和，求出合作需要的工作时间，再分
6

别用两人的工作效率乘上工作时间，求出两人各完成了工作总量的几分之几， 进
而求出甲比乙少完成了工作总量的几分之几，它对应的数量是200个，再根据分
数除法的意 义求出零件总数．

[变式训练2]一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，都做了5天，共 完成这批
2
零件的。已知甲与乙的工作效率比是5：3，乙还要几天才能完成分配的加工
3
任务？
【解析】把这批零件的总数看成单位“1”，先依据工作效率=工作总量÷工作 时
间，求出两人的效率之和，又知甲与乙的工作效率比是5：3，求出乙的工作效
率，进而求出 乙剩余的工作总量，最后依据工作时间=工作总量÷工作效率即可
解答.

[变式训 练3]加工一批零件，甲、乙两人合作需24天完成．现甲、乙两人同时
1
工作4天后，乙单独 工作2天，共完成这批零件的．已知甲每天比乙多加工4
5
件．问这批零件共有多少个，甲单独 完成剩下的任务还需几天？
111
（-×4）÷2=
，求出乙的效率，进一步求出甲 的效率，再运用【解析】用
52460
剩下的工作总量÷甲的工作效率，就是甲完成剩下的工作 量需要的天数，即
1111
（1-）÷
，
（-）
再用4除以甲乙工作 效率的差就是零件的总数，列式为
4÷
5404060
即可．

[ 例题4]某次1+1数学俱乐部招生测试，参加的男生和女生人数之比是4：3，结
果录取91人，其中 男生与女生的人数之比是8：5，在未被录取的学生中，男生
与女生人数之比是3：4，那么报考的学生 共有多少人？
【解析】先依据“录取91人，其中男生与女生的人数之比是8：5”，利用按比
例分配的方法求出男生与女生的人数，再根据未被录取的男女生人数比和参加的
男生和女生人数之比， 列比例方程即可求解.

[变式训练1]师大附中招生考试中，报名参加考试的男、女生人数 之比是1：2，
录取的男、女生人数之比是3：8，未录取的男、女生之比是5：2，有14人未录取，一共录取了
88
人．

【解析】根 据“未录取的男、女生之比是5：2，有14人未录取，”把男生的人
数看作5份，女生的人数是2份， 由此求出一份是多少，进而求出未录取的男生
与女生的人数；假设被录取的男生有3x人，女生8x人， 再根据“报名参加考试
的男生与女生的人数之比为1：2”，写出比例，即可求出x的值，进而求出被录
取的男、女学生的人数，继而求出总人数．

[变式训练2]某学校有若干名学生参 加《走进数学王国》电视邀请赛，其中男生
人数与女生人数的比为8：5．后来又有20名女生报名参赛 ，这时女生人数占参
5
赛总人数的．现在参赛的学生共有
176
人． < br>11
【解析】在这里，男生人数没变，把男生人数看作单位“1”，原来女生人数占男
5 5
生人数的，又转来20名女生后，女生人数占男生人数的，也就是说20
811-5
名女生是总人男生人数的
55
与之差，根据分数除法的意义，用20除以
11-58< br>（
555
-）就是男生人数．最后参赛的是男生人数的（1+），根据分数乘
1 1-5811-5
5
）就是最后的参赛人数．
11-5
法的意义，用20乘 （1+
[变式训练3]一家饲养场里鸡、鸭、鹅三种家禽中的公禽与母禽数量之比是2：3，
已 知鸡、鸭、鹅数量之比是8：7：5，公鸡和母鸡数量之比是1：3，公鸭和母鸭
数量比是3：4.公鹅 和母鹅的数量之比是多少？
【解析】设一共有
x
只家禽，根据鸡、鸭、鹅三种家禽中 的公禽与母禽数量之比
是2：3，知道公的数量为
2233
x=x
，母的数量 为
x=x
；再根据鸡、鸭、
2+352+35
82
x=x
， 鸭的数量为
8+7+55
鹅数量之比是8：7：5，知道鸡的数量为
7751
x=x
，鹅的数量为
x=x
；最后根据公母鸡和公母鸭的数量
8+7+520 8+7+54
比，分别求出公母鸡和公母鸭的数量，由此求出公母鹅的数量，进而写出它们的
比 .

[例题5]完成一项工作任务，A、B两组的工作量比是5:7，A、B两组的人数比是
3:4。工作2天后，B组恰好完成任务，A组超额完成2个人干1天的工作量。A、
B两组的 人数各是多少？

【解析】设A、B两组的人数分别是
3x、
每人每天的工作量为1，根据题意“工
4x
，
作2天后，B组恰好完成任务，A组超 额完成2个人干1天的工作量”可列方程：
(
3x×2-2
)
:
(< br>4x×2
)
=5:7
，解答求出
x
，进而求出A、B两组的人 数.

[例题6]猎狗发现在离它9米远的前方有一只奔跑着的兔子，立刻追赶，猎狗的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但兔子动作快，猎狗跑2步的时间，
兔子跑3步。猎狗至 少跑多少米才能追上兔子？
【解析】由猎狗跑5步的路程，兔子要跑9步可知，当猎狗每步a米，则兔 子每
5
步
a
米；由猎狗跑2步的时间，兔子跑3步可知，同一时间里猎狗跑< br>2a
米，兔
9
555
子跑
a×3=a
米，从而可知猎 狗的速度与兔子的速度比是
2a:a=6:5
，在同
933
一时间里面，路程 比等于速度比为
6:5
，所以当猎狗追上兔子的时候距离相差
6-5=1
份， 正好是9米，那6份就是
6×9=54
米，即猎狗至少跑54米才能追上
兔子.

[变式训练1]猎狗追赶前方30米处的野兔。猎狗步子大，它跑4步的路程野兔
要 跑7步，但是兔子动作快，猎狗跑3步的时间野兔可以跑4步。猎狗至少跑出
多远才能追上野兔？ 【解析】由猎狗跑4步的路程，兔子要跑7步可知，当猎狗每步a米，则兔子每
4
步
a
米；由猎狗跑3步的时间，兔子跑4步可知，同一时间里猎狗跑
3a
米，兔
7
41616
子跑
a×4=a
米，从而可知猎狗的速度与兔子的速度比是< br>3a:a=21:16
，
777
在同一时间里面，路程比等于速度比为
21:16
，所以当猎狗追上兔子的时候距离
相差
21-16=5
份，正好是 30米，1份就是
30÷5=6
米，那21份就是
21×6=126
米即猎狗 至少跑126米才能追上兔子.

[例题7]装配自行车，6个工人4小时能装配车架44个 ，4个工人3小时装配20
个车轮。现有96个工人，使车架，车轮装配成整车出厂，应该怎样安排这9 6
个工人最合理？
【解析】要合理安排，则应该在同样的时间内车轮是车架的两倍，6个工人 4小
时装配车架44个，则1个工人1小时装配车架
44÷6÷4=
11
个； 4个工人3小时
6

55
装配车轮20个，则1个工人1小时 装配车轮
20÷4÷3=个=套
，装配套数车
36
架与车轮之比为
1 15
:=11:5
，那分配装配车架与车轮的人数比就为
5:11
，装配66
车架的人数为：
96÷
(
5+11
)
×5=30人
，装配车轮的人数为：
96÷
(
5+11
)
×11=66人


[变式训练1]服装厂里一共有42名工人，每个工人每天可以生产6件上衣或8
条裤子，怎样分配任务，才能使生产的服装套数最多？一天最多可以生产多少
套？
【 解析】根据题意，要使生产的套数最多，必须使生产上衣与生产裤子的数量相
等，每人每天生产上衣和裤 子的数量比是
6:8=3:4
，那么现有工人的数量应该
按生产数量的反比进行分配， 即生产上衣与生产裤子的工人人数比为
4:3
，所以
生产上衣的工人数为：
4 2÷
(
4+3
)
×4=24
人，生产裤子的工人数为：
42 ÷
(
4+3
)
×3=18
人

[变式训练2]一 个瓷器加工厂有48名工人，每个工人平均每天可以加工3个瓷
茶壶或者6个瓷茶杯．为了满足市场需要 ，一个瓷茶壶配四个瓷茶杯成为一套磁
具出售．那么怎样安排加工瓷茶壶和瓷茶杯的人数，才能不会造成 浪费，又能尽
量满足供货？
【解析】根据题意，“一个瓷茶壶配四个瓷茶杯成为一套磁具出售 ”，瓷茶壶和瓷
茶杯的比例是1：4，而“每个工人平均每天可以加工3个瓷茶壶或者6个瓷茶
杯”说明1个工人加工3个瓷茶壶，2个工人可以生产6×2＝12个瓷茶杯，3：
12＝1：4刚好满 足市场需要，所以要使在出售时配套不浪费，则只要把工人总
数分成3份，1份生产瓷茶壶，2份去生产 瓷茶杯，即可．

[例题8]下图中，四边形被AC、BD分成甲、乙、丙、丁四个三角形。 已知AE=30
厘米，CE=60厘米，BE=80厘米，DE=40厘米。求丙、丁两个三角形面积之 和是
甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？
【解析】根据题意用丁的面积分别表示出甲、乙、丙的面积，再分别找出丙、丁两个三角
形面积和与甲、乙两个三角形面积和，即可
求解 .

[变式训练1]图中的四边 形ABCD被AC和BD分成甲、乙、丙、丁四个三角形，
如果AE＝80，BE＝60，CE＝40， DE＝30，那么丙、丁二个三角形面积和是甲、
乙二个三角形面积和的__
5
__倍 ．
4

【解析】根据题意用丁的面积分别表示出甲、乙、丙的面积，再分别找出丙、 丁
二个三角形面积和与甲、乙二个三角形面积和，写出对应比即可．

[变式训练2 ]在图中，平行四边形的面积是20平方厘米，图中甲、乙两个三角
形的面积比是
5：3



【解析】由题意可知：甲和乙是等高不等底的三角形，它们的面积比就 等于底的
比，它们的底可求，进而可求二者的面积比．
[变式训练3]如图所示，P是长方形 ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，长方
形被分成甲、乙、丙、丁四个三角形，已知甲的面 积占长方形面积的15%，比丙
的面积少30平方厘米，长方形ABCD的面积是多少平方厘米？

【解析】由题意可知：
S
甲
+S
丙
＝S
乙
+S
丁
＝S
长方形
ABCD
，
又因
S< br>甲
占长方形的面积的
15%，则
S
丙
占长方形的面积的50% ﹣15%＝35%，且甲比丙的面积少30平方厘米，
则30平方厘米是长方形的面积的35%﹣15% ＝20%，从而利用已知一个数的几分
之几或百分之几时多少，求这个数，用除法计算即可求出长方形的 面积．

【课后作业】

[作业1 ]在一块铜与锡的合金中，铜锡质量之比为3：2，已知铜重460克，锡重
多少克？列式为（ B ）
A．460×
2

2+3
B．460×
2

3
C．460×
3

2+3
D．460÷
3
5

2
【解析】
把 这块铜的克数看作单位“1”，铜锡质量之比为3：2，那么其中锡占铜的，再
3
根据分数乘法 的意义，求锡的克数列式为460×
2
．

3
[作业2]一块合金， 铜与锌的比是2：3，现在加入铜60克，锌40克，得合金
600克．求新合金中铜与锌的比． 【解析】由题意可知，原来这块合金的质量是（600﹣60﹣40）克，其中铜占
2
，< br>2+3
锌占
3
，根据分数乘法的意义，用这块合金的质量分别乘铜、锌所点的分 率，
2+3
即可求原来这块本金中铜、锌的克数；原来铜的克数加60克是新合金的中铜的克数，原来锌的克数加40克是新合金的中锌的克数，再根据比的意义，写出这
种新合金铜与锌的比 ，化成最简整数比即可．
【答案】解：600﹣60﹣40＝500（克） 2+3＝5
500×
23
＝200（克） 500×＝300（克）
55
（200+60）：（300+40）＝260：340＝13：17
答：新合金中铜与锌的比是13：17．
[作业3]师徒两人共同加工一批零件，两人按5： 3的任务量进行分配．由于师
傅技术熟练，师傅完成任务后又帮徒弟做了几个零件，加工完这批零件时， 师傅
加工了144个，超额完成了20%，徒弟实际加工了
48
个零件．
【解析】把分配给师傅的零件数看作单位“1”，则有关系式：师傅实际加工的个
数＝分配的个数×（ 1+20%），先求出分配给师傅多少零件：144÷（1+20%）＝120
（个）．然后求出分配给 徒弟的零件数：120÷5×3＝72（个），再用分配给徒弟
的零件数减去师傅多加工的个数，就是徒 弟实际加工的个数：72﹣（144﹣120）
＝48（个）．

[ 作业4]一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作了5天，共完成这批
零件的
2
．已知甲与乙工作效率的比是5：3，问甲还要几天才能完成分配给自
3
己的任务？

【解析】把这批零件个数看作单位“1”，先依据工作效率＝工作总量÷工作时间，
求出两人合做的工作效率，再求出甲单干工作效率，进而求出甲剩余的工作总量，
最后依据工作时间＝工 作总量÷工作效率即可解答．

[作业5]一批零件，平均分给甲、乙两人加工，甲已加工的 与剩下的比是2：1，
乙已加工的与剩下的比是5：2，这批零件已加工了几分之几？
【解析】把这批零件的总个数看作单位“1”，甲、乙加工完时，各加工这批零件
112
的 ，甲已加工的与剩下的比是2：1，就是甲已加工了这批零件的的，
222+1
13
根 据分数乘法的意义，甲已加工了这批零件的×，同理，乙已加工这批
22+1
5
1零件的×，就是求甲、乙二人已加工的分率之和．
2
5+2
[作业6]某校参加 数学竞赛的男生与女生的人数比是4：5，后来又增加了14名
8
女生，这时女生人数是男生人 数的．原来参加数学竞赛的女生有多少人？
5
【解析】由题意知，男生人数没有变，可将男生 人数看作单位“1”，原来的女生
8
5
人数就是男生的，增加14名女生后，女生人数 变为男生的，由此求出男生
5
4
8
5
有：14÷（﹣）求出男生人数 根据原来人数比就能求出原来女生人数．
5
4
[作业7]某校男生占全校学生总数的 60%还少63人，男生比女生多26人，六年
级中男生与女生人数的比是35：31，男生比女生多8 人，其他年级中女生有多
少人？
【解析】设全校女生为
x
人，男生比女生多 26人，则全校男生有
(
x+26
)
人，全
校人数有
(x+x+26
)
人，又男生占全校学生总数的60%还少63人，
(
x+ x+26
)
×

60%﹣63也是男生人数，由此可得等量关 系式：
(
x+x+26
)
×60%﹣63＝
x
+26．解< br>此方程即能求出全校女生人数．六年级中男生与女生人数的比是35：31，即男
生是女生的353535
，则男生比女生多﹣1，所以六年级女生有8÷（﹣1）人．求
313131
出全校女生人数与六年级女生人数后，即能求得其他年级女生有多少人．

[作业8 ]猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，
猎犬的步子大，它跑5步的路程 ，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2
步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追 上兔子．
【解析】由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子
5< br>每步
a
米．由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同一时间，猎犬跑
2 a
9
555
米，兔子可跑
a
×3＝
a
米．从而可知 猎犬与兔子的速度比是
2a
：
a
＝6：5，
933
在同一时 间里，路程比就是速度比：6：5，当猎狗追上兔子时，它们运动距离相
差6﹣5＝1倍，正好是相差1 0米，从而求出1倍的，再乘以6就是 猎犬追上兔
子的时间．

[作业9]飞鹰电 动自行车厂要安装两轮电动自行车，实行流水线作业．经过实践
测算：3个工人2小时能装配车架11个 ，4个工人3小时能装配车轮20个．现
有工人192人，为了使车架、车轮及时装配成辆出厂，如果你 是厂长，你应安排
装配车架、车轮的工人各多少人？

【解析】由于每辆电动自行车 要装1个车架，2个车轮．因此，在安排人数分工
时，应根据他们的效率比合理安排人数，使他们能同时 完工：
方法一：由于3个工人2小时能装配车架11个，则每人每小时装一辆车车架的：
11 ÷（3×2）＝
115
，每人每小时装一辆车车轮的：20÷（4×3×2）＝，所以
66
115
）：（1÷ ）＝5：11，
66
要及时装配成辆，装车架与装 车轮人数的比是：（1÷
由此可知，应安排装车架的工人人数为192×
数．
5人，进而求出安排车轮的人
11+5
方法二：设应安排装车架的工人x人，安排装车轮的工 人（192﹣x）人．由于安

装的自行车辆数是一样的，可得方程：
1120
x＝×（192﹣x）
3× 24×3×2
[作业10]服装厂的工人每人每天可以生产4件上衣或7条裤子，一件上衣与一
条裤子为一套，如果服装厂有77名工人，他们每天最多可生产多少套服装？

【解析】根据 题意，每人每天生产上衣和裤子数量的比是4：7，那么把现有工
人数应该按生产数量的反比进行分配， 才能达到每天生产套是最多．