欧美情-美国面积

第五讲：比和比例的复习

基本内容及知识点
1. 比的意义和性质
2. 按比分配
3. 比例和比例的性质
4. 比例尺
5. 正比例的意义
6. 反比例的意义
7. 应用题

二. 教学重点
知识要求：
1. 理解正、反比例的意义，抽象概念并运用概念进行判断。
2. 比的意义，比的写法和读法，比号，比的各部分名称，比与除法，分数的联系与区别，比值的意义，
求比 值；比的基本性质，化简比，求比的未知项。
3. 理解按比分配的意义，会解答按比分配的应用题。
比例的意义，比例各部分的名称，比例的性质，解比例。
4. 比例尺的意义，用途。会求图上距离和实际距离。
5. 正比例的意义，会判断两种相关联的量是否成正比例。
6. 反比例的意义，会判断两种相关联的量是否成反比例。
7. 用比例知识解答基本的应用题和较难应用题。

能力要求：
1. 能正确、迅速地求比值和化简比，会求比的未知项。
2. 会根据有关条件求图上距离、实际距离或比例尺。
3. 能运用按比例分配的方法解决实际问题。
4. 会解最基本的正比例应用题和反比例应用题。
5. 使学生进一步受到事物是相互联系的教育，初步接触函数思想。

知识教学
（一）比的意义和性质
1. 比的意义：
什么是比？两个数相除又叫两个数的比。
（一种比是同类量的比，如：长和宽的比是3比2， 结果是长是宽的几分之几,是2分之3；另一种比
是不同类量的比，如：路程和时间的比是100：2， 结果可以得到一个新的量是速度50，50千米小时）
2. 比的读写法，各部分名称。
（1）3比2记作（3：2） 2比3记作 （2:3） 100比2记作（100:2）
（2）比的各部分名称


例 题1：足球比赛中比分“2：0”是比吗？（不是，它只是用了比的这种形式，它的意思是一个队进了
两 个球，得2分，另一个队没进球得0分，而比表示两个数相除。）

小明今年12岁 ，是六（1）班学生，该班共有42名学生；小明爸爸今年38岁，在保险公司上班，年
薪150000 元，小明妈妈每月工资1200元，她所在的单位有职工24人。
看谁能根据题目中提供的信息，寻找 合适的量，提出多种多样的问题，并说说这些量之间的比（年龄
比12：38、年薪比150000：（ 1200×12）、人数比42：24、月薪比等）
3. 什么是比值？
比的前项除以比的后项所得商叫做比值
比值是一个数，一般用整数或分数表示。

例题2：求比值
105
105：35＝ ＝3
35
1.2：
2
2
1
＝12：24＝
2
5
注意比值的读法：二分之一。
4. 比与除法、分数的关系
比
除法
分数
前项
被除数
分子
比号
除号
分数线
后项
除数
分母
比值
商
分数值

想一想：比的后项能不能是零？为什么？
小结：因为除法中除数不能为0，分数中分母不能为0，所以比的后项也不能是零。
例题3：求下面各比的未知项。
3
（1）120：x＝24 （2）x： ＝30
5
3
x＝120÷24 x＝ ×30
5
x＝5 x＝18
师：根据什么可以求出比的未知项？
5. 比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数（零除外），比值不变。
为什么“零除外”。
6. 化简比：
应用比的基本性质，可以把比化成和它相等的最简单的整数比。
把比化成最简单的整数比，叫做化简比。
例题4：（1）24：144＝
（2）
241
＝
1446
63
＝（63÷9）：（18÷9）＝7：2
18
2.7
273
练一练：（1）2.7：18＝＝＝
18
18020

（2）
5
3
5
3
：＝（×8） ：（×8）＝6：5“为什么要同乘8”
8
4
8
4
想一想：把整数 比、小数比或分数比化成最简单的整数比的一般方法是什么？
①整数比写成分数约分后得最简比。
②小数比先化成整数比，再化简。
③分数比先同乘分母的最小公倍数化成整数比，再化简。

（二）按比分配
同学们 ，老师买了奖品，准备奖给数学竞赛获一、二、三等奖的同学，怎样分配比较合适？（平均分
合适吗？不 合适。也就是按一定的比进行分配）
师：举出生活中你见过的实例。
现在，咱们就研究按比分配问题。
例题5：学校有一块200平方米的卫生区，把卫生区分给 六·三班和三·三班，他们负责的面积比是3：
2，两个班各分得多少平方米？
题里的哪句话告诉我们应该怎样分？
“他们负责的面积比是3：2”，是什么意思？
六·三班负责的面积占3份，三·三班负责的面积占2份，200平方米的卫生区占5份，
3＋2＝5
3
＝120（平方米）
5
2
200×＝80（平方米）
5
200×
答：六·三班分得120平方米，三·三班分得80平方米。
一般的，我们把这样的应用题，叫“按比分配应用题”，按比分配应用题的解题步骤是什么？
（1）确定总份数。
（2）把比转化成分数。
（3）求一个数的几分之几是多少？
练习：甲乙丙三个修路队，合修一条200千米的公路。已知甲队修了50千米，乙丙两队修路千米数< br>的比是2：3，丙队修多少千米？
200－50＝150（千米）
2＋3＝5
150×
3
＝90（千米）
5
答：丙队修90千米。

例题6：一个容积是1064立方厘米的瓶子，瓶中饮料高度h
1
为15厘米，h2
为6厘米，求瓶中饮料有多
少立方厘米。

h
1
：h
2
＝15：6
15＋6＝21

1064×
155
＝1064×＝760（立方厘米）
217
答：瓶中饮料有760立方厘米。

（三）比例和比例的性质
1. 比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。
只要两个比的比值相等，就能组成比例。
2. 比例的基本性质
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫比例的基本性质
如：1.5：3＝1：2
1×3＝1.5×2＝3
3. 解比例
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项就可以求出另外一个未知项，求比例的未知项，叫
做 解比例。
例题7：27：x＝4.5：6
你能利用我们学过的知识解这个比例吗？
方法一：解：27：x＝4.5：6根据是什么？
27×6
x＝
4.5
x＝36
4.5
27
方法二：解： ＝
6
x
27
＝0.75
x
x＝27÷0.75
x＝36
你喜欢哪种方法？
解比例的过程就是解方程的过程，解方程要验算，所以解比例也要验算。
验算：方法1： 方法2：
36×4.5＝162 27：36＝27÷36＝0.75
27×6＝162 4.5：6＝4.5÷6＝0.75
∴ x＝36正确。 ∴x＝36正确。

（四）比例尺
图上距离与实际距离的比，叫这幅图的比例尺。
图上距离

比例尺

实际距离
1. 数字比例尺 如：1：3000 000 图上1厘米表示实际3000 000厘米。注意统一单位。
2. 线段比例尺 如：


3. 比例尺的应用
比例尺的关系式：

图上距离＝（实际距离）×（比例尺） 公式变形
实际距离＝（图上距离）÷（比例尺）
例题8：在一幅比例尺是1：7000 000的地图上，量出 北京到井冈山的距离是21厘米，照这样计算，北
京到井冈山的实际距离是多少千米？
分析：①实际距离＝图上距离÷比例尺
②问题单位是千米，已知单位是厘米，注意结果中单位的处理
③21÷
1
＝147000000（厘米）＝1470（千米）
7000000
答：北京到井冈山的距离是1470千米。

（五）正比例、反比例的意义
1. 正比例的意义
两种相关联的量，一种量变化， 另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就
是商）一定，这两种量就叫做成正比 例的量，他们的关系叫做正比例关系。
如果用字母x、y表示两种相关联的量，用k表示比值（一定），数量关系可以概括成
y
＝k（一定）y和x叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。
x
例如，总价随着数量的变化而变化，总价和数量的比的比值（单价）是一定的，我 们就说，总价和
数量是成正比例的量。


工总
＝工效（一定） 工总和工时是成正比例的量
工时
路程
＝速度（一定） 所以路程与时间成正比例。
时间
2. 反比例的意义
两种相关联的量，一种量变化 ，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，
这两种量就叫做成反比例的量，他 们的关系叫做反比例关系。
如果用字母x、y表示两种相关联的量，用k表示比值（一定），数量关系可以概括成
x·y＝k（一定） y和x叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
例如，长×宽＝面积（一定） 长和宽是成反比例的量
每本的页数×装订的本数＝纸的总页数（一定） 每本的页数和装订的本数是成反比例的量
3. 判断成正比例 还是反比例的方法:
（1）判断两种量是否是相关联的量，
（2）如果是，再看这两种量对应的数的比值或积是否一定，
（3）如果比值一定，这两种量成正比例；如果积一定，这两种量成反比例。

例题9：判断下列各题的两种量是否成比例？如果成，成什么比例？
（1）工作效率一定，工作时间和工作总量。（ 正比例 ）
（2）货物总数一定，每次运货吨数和运货次数。（ 反比例 ）
（3）路程一定，已走路程和剩下路程。 （ 不成比例 ）
（4）圆的半径和面积。（ 不成比例 ）
（5）平行四边形的底和面积。（ 不成比例 ）
（6）在太阳照射下，同时同地的竿高和影长。（ 正比例 ）
（7）煤的总量一定，每天烧煤量和可烧的天数。（ 反比例 ）
（8）a·b＝c，c一定，a和b。（ 反比例 ）
（9）分数值一定，分子和分母。（ 正比例 ）
（10）路程一定，车轮的直径和转动的周数。（ 正比例 ）

（六）正比例、反比例应用题
例题10：
（1）用 一批纸装订练习本，如果每本30页，可以装订600本。如果每本少用5页，可以装订多少本？
分析：这批纸的总页数不变，也就是积不变，每本页数和装订本数成反比例，列成乘积式
解：设：可以装订x本？
30－5＝25（页）
25x＝30×600
25x＝18000
x＝720
答：可以装订720本。

（2）用同样砖铺地，如果铺15平方米要用165块，如果铺50平方米要多用多少块砖？
分析：同样砖铺地，每平方米用块数一定，商一定，平方米数和块数成正比例，列成比例式
解：设：如果铺50平方米要用x块砖。
15：165＝50：x
15x＝50×165
x＝550
550－165＝385（块）
答：如果铺50平方米要多用385块砖。
（3）一项工程，10人做24天可以完成。如果 每人的工作效率不变，现在要提前4天完成，需要多少
人？
分析：一项工程不变，每人的工作效率不变，前后的总工时数是相等的，所以
解：设：需要x人。
（24－4）x＝10×24
20x＝240
x＝12
答：现在要提前4天完成，需要12人。
【模拟试题】
一、填空：
1、有三种量，A B C，它们之间的关系可以用A×B＝C表示。
（1）如果A一定，BC成（ ）比例；
（2）如果B一定，AC成（ ）比例；
（3）如果C一定，AB成（ ）比例。
2、有三种量，A B C，它们之间的关系可以用A÷B＝C表示。
（1）如果A一定，BC成（ ）比例；
（2）如果B一定，AC成（ ）比例；
（3）如果C一定，AB成（ ）比例。
3、在一个比例式中，两个比的比值都是5，这个比例式的内项分别是3.5和2，这个比例式为
或 。

二、判断下面各题中两种量成不成比例，成什么比例？
（1）圆柱的侧面积一定，底面周长与高。 （ ）
（2）三角形面积一定，它的底和高。 （ ）
（3）天数一定，总产量和每天的产量。 （ ）
（4）圆柱体积一定，底面半径和高。 （ ）

（5）比的前项一定，后项和比值。 （ ）
（6）出粉率一定，原料和面粉。 （ ）
（7）一幅设计图，图上距离和实际距离。 （ ）
（8）每页书的字数一定，书的页数和这本书的总字数。 （ ）
（9）长方形长一定，周长和宽。 （ ）
（10）和一定，两个加数。 （ ）
（11）平形四边形面积一定，底和高。 （ ）
（12）装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数。 （ ）
（13）正方形的周长和边长。 （ ）
（14）水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间。 （ ）
（15）房间面积一定，每块砖的面积和砖的块数。 （ ）
（16）每块砖的面积一定，砖的块数和铺地面积。 （ ）
（17）在一定时间里，加工每个零件所用时间和加工零件数。 （ ）

三、判断，对的打√，错的打×。
1、比的后项不能是0。 （ ）
2、一个圆的半径和它周长的比为1:2л （ ）
3、A与B的比是5:3，A比B多40% （ ）
4、圆锥体体积一定，底面积和高成反比例 （ ）

四、求比值
6.3：1.8＝
1
1:0.25

4

五、化简比

15
＝
75
5
7
：＝
8
24
1
1
：0.75＝
4

六、用1.4、10、7和2这四个数组成比例。你组成了多少个比例？

七、选择
长方形周长14米，长和宽的比是6：1。长与宽各多少米？（ ）
（1）6＋1＝7 （2）6＋1＝7
66
＝12（米） 7×＝6（米）
77
11
14×＝2（米） 7×＝1（米）
77
14×

八、应用题
1、人的血液与体重的比是1：13。小明体重52千克，他的血液有多少千克？

2、配制黑色火药的原料是火硝、硫磺和木炭，这三种原料的重量比是15：2：3 ，水利专业队要配制黑
色火药80千克，需要这三种原料各多少千克？

3、一种药 水中药和水的比是1：300，现要配制药水1204千克，需要水多少千克？加药多少千克？

4、长方形周长是56厘米，如果长方形长与宽的比是4：3，这个长方形的面积是多少平方厘米？

5、甲、乙两地相距360千米，客车和货车同时从两地相对开出，4小时后相遇，客车和货 车的速度比是
5：4，求客车和货车的速度？

6、甲、乙、丙三个修路队，合修一 条长200千米的公路，已知甲队修路的千米数是50，乙、丙两队修
路的千米数的比是2：3，丙队修 了多少千米？

7、甲与乙生产零件个数的比是5：3，乙比甲少生产40个，甲、乙各生产多少？

8、装订练习本，装订200本要用6000张纸。有15000张纸可以装订同样练习本多少本？

9、安装一条下水管道，计划每天安装120米，15天完成，实际只用了10天就完成 了。实际每天安装多
少米？

10、运一堆煤，计划每天运150吨，20天运完。 实际2天就运了400吨，照这样计算，实际几天运完？










【试题答案】

一、填空：
1、有三种量，A B C，它们之间的关系可以用A×B＝C表示。
（1）如果A一定，BC成（ 正 ）比例；
（2）如果B一定，AC成（ 正 ）比例；
（3）如果C一定，AB成（ 反 ）比例。
2、有三种量，A B C，它们之间的关系可以用A÷B＝C表示。
（1）如果A一定，BC成（ 反 ）比例；
（2）如果B一定，AC成（ 正 ）比例；
（3）如果C一定，AB成（ 正 ）比例。
3、在一个比例式中，两个比的比值都是5，这个比例式的内项分别是3.5和2， 这个比例式为17.5:3.5
＝2:0.4或10:2＝3.5:0.7。

二、判断下面各题中两种量成不成比例，成什么比例？
（1）圆柱的侧面积一定，底面周长与高。 （ 反 ）

（2）三角形面积一定，它的底和高。 （ 反 ）
（3）天数一定，总产量和每天的产量。 （ 正 ）
（4）圆柱体积一定，底面半径和高。 （ 不成 ）
（5）比的前项一定，后项和比值。 （ 反）
（6）出粉率一定，原料和面粉。 （ 正 ）
（7）一幅设计图，图上距离和实际距离。 （ 正 ）
（8）每页书的字数一定，书的页数和这本书的总字数。 （ 正 ）
（9）长方形长一定，周长和宽。 （不成 ）
（10）和一定，两个加数。 （ 不成 ）
（11）平形四边形面积一定，底和高。 （ 反 ）
（12）装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数。 （ 反 ）
（13）正方形的周长和边长。 （ 正 ）
（14）水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间。 （ 反 ）
（15）房间面积一定，每块砖的面积和砖的块数。 （ 反 ）
（16）每块砖的面积一定，砖的块数和铺地面积。 （ 正 ）
（17）在一定时间里，加工每个零件所用时间和加工零件数。 （ 反 ）

三、判断，对的打√，错的打×。
1、比的后项不能是0。 （√）
2、一个圆的半径和它周长的比为1:2л （√）
3、A与B的比是5:3，A比B多40% （×）
4、圆锥体体积一定，底面积和高成反比例 （√）

四、求比值
6.3：1.8＝
63
＝3.5
18
1
1:0.251.25
÷0.25＝5
4

五、化简比

15
1
＝
75
5
55
77
：＝（×24）：（×24）＝15：7
8
24
8
24
1125
5
1
：0.75＝125： 75＝＝
475
3

六、用1.4、10、7和2这四个数组成比例。你组成了多少个比例？
（1）1.4：2＝7：10 （2）1.4：7 ＝2：10
（3）2:1.4 ＝10:7 （4）7：1.4＝10：2
（5）2：10 ＝1.4：7 （6）10：2 ＝7：1.4
（7）7：10 ＝1.4：2 （8）10:7 ＝2:1.4

七、选择
长方形周长14米，长和宽的比是6：1。长与宽各多少米？（ 2 ）
（1）6＋1＝7 （2）6＋1＝7

66
＝12（米） 7×＝6（米）
77
11
14×＝2（米） 7×＝1（米）
77
14×

八、应用题
1、人的血液与体重的比是1：13。小明体重52千克，他的血液有多少千克？
52×
1
＝4（千克）
13
答：他的血液有4千克。
2、配制黑色火药的原料是火硝、硫磺和木炭，这三种原料的重量比是15：2：3，水利专业队要配制黑
色火药80千克，需要这三种原料各多少千克？
15＋2＋3＝20
15
＝60（千克）
20
2
硫磺：80×＝8（千克）
20
3
木炭：80×＝12（千克）
20
火硝：80×
验算：①60＋8＋12＝80（千克）
②60：8：12＝15：2：3
答：需要火硝60千克，硫磺8千克，木炭12千克。
3 、一种药水中药和水的比是1：300，现要配制药水1204千克，需要水多少千克？加药多少千克？
300＋1＝301
1
＝4（千克）
301
300
药：1204×＝1200（千克）
301
水：1204×
答：需要水4千克。加药1200千克。
4、长方形周长是56厘米，如果长方形长与宽的比是4：3，这个长方形的面积是多少平方厘米？
56÷2＝28（厘米）
4＋3＝7
4
＝16（厘米）
7
3
宽：28×＝12（厘米）
7
长：28×
面积：16×12＝192（平方厘米）
答：这个长方形的面积是192平方厘米。
5、甲、乙两地相距360千米，客车和货车同时 从两地相对开出，4小时后相遇，客车和货车的速度比是
5：4，求客车和货车的速度？
360÷4＝90（千米）
5＋4＝9
5
＝50（千米）
9
4
货车：90×＝40（千米）
9
客车：90×

答：客车和货车的速度分别是50千米，40千米。
6、甲、乙、丙三个修路队，合修一条长200千米的公路，已知甲队修路的千米数是50，乙、丙两队 修
路的千米数的比是2：3，丙队修了多少千米？
（200－50）×
3
3
＝150×＝90（千米）
23
5
答：丙队修了90千米。
7、甲与乙生产零件个数的比是5：3，乙比甲少生产40个，甲、乙各生产多少？
5＋3＝8
53
1
－）＝40÷＝160（个）
88
4
5
160×＝100（个）
8
3
160×＝60（个）
8
40÷（
答：甲、乙各生产100个，60个。
8、装订练习本，装订200本要用6000张纸。有15000张纸可以装订同样练习本多少本？
15000÷（6000÷200）
＝15000÷30
＝500（本）
答：有15000张纸可以装订同样练习本500本。
9、安装一条下水管道，计划每天 安装120米，15天完成，实际只用了10天就完成了。实际每天安装多
少米？
120×15÷10
＝1800÷10
＝180（米）
答：实际每天安装180米。
10、运一堆煤，计划每天运150吨，20天运完。实际2天 就运了400吨，照这样计算，实际几天运完？
解：设：实际x天运完。
150×20＝400÷2×x
3000＝200x
x＝15
答：实际15天运完。