(完整版)容斥问题
十二生肖配对-方框内打钩
十三、复习容斥问题
容斥问题其实比较好理解，我们可以试着看一个例题：
“学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已
知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种
都会拉的还有8人。这个文艺组共有多
少人？”（课本60页例一）。我们来分析：试着画一个如上面的
两个圆圈图，其中左边圆圈内代表
会拉手提琴的一共有24人，右边圆圈代表会弹电子琴的一共有17人
，然后图中C的部分是两个圆
圈的重叠部分，代表两种乐器都会演奏的人，注意，这部分人它既属于A会
拉手提琴，也属于B会
弹电子琴，那么要求文艺组多少人，就是求会演奏的人加起来，这些人正好是都包
括在圈里的，那
么就是24+17-8，因为24+17的话会把两种乐器都会的人全算上，所以要把重
复多计算的公共重叠部
分减去，减去8就可以得到圈内总数，也就是24+17-8=33人。那么我们
可以根据这个题推导出一个
适合我们使用的容斥问题公式：
A+B-C=圈内总数
其中，A代表符合A条件的数量A，B代表符合B条件的数量B，C代表既符合A也符合B条件的C，
同
学们要注意我们要求的圈内总数指的就是符合A，符合B，还有两种都符合的加起来，不能有重复，
如果
你仔细看图会发现这个图其实分成三块。第一块是左边，它的数量是A-C，中间是C，右边是B-C，
加在一起求圈内总数，就是A-C+C+B-C，就等于A+B-C，同学们清楚了么。那么根据这个式子，其实
我们可以推出3个式子，也就是分别求A、B、C的式子：
A+B-圈内总数=C
圈内总数+C-A=B
圈内总数+C-B=A
也就是根据：被减数-减数=差 这
样推导出来的么。以上就是简单一些的容斥问题。再多一点条件的，
比如：一个旅行社有36人，其中会
英语的有24人，会俄语的有18人，两种语言都不会的有4人，
两种语言都会的有多少人？（课本61
页例二）
其实这个咱们就能看出来 圈内总数+两种语言都不会的=旅行社
全部人数，我们可以先求圈内总数
36-4=32人，也就是说会说外语的 ，不管是会1种还是2种，
都算起来，共有32人，然后根据上面
我们总结的式子，这是求C的，那么就用
A+B-圈内总
数=C
求就可以：
36-4=32（人）
24+18-32=10（人）
两种语言都会的有10人。
练习题：
1、四（1）班有38名学生，其中有18人
参加音乐小组，有16人参加手工制作小组，这些学生每人
至多只参加了一个小组。两个小组都没有参加
的有多少人？
2、某班有40人订
了报纸，其中有28人订了《小学生报》，有16人订了《数学报》，两种报纸都订
的人有多少人？
3、某班有54人，每人至少订阅一
种读物，订阅《作文》的有45人，同时订阅《作文》和《数学》
的有13人，问订阅《数学》的有多少
人？
4、五四班有学生46人，其
中会骑车的有17人，会游泳的有14人，既会骑车又会游泳的有10人，
那两种运动都不会的有多少人
？
5、
某班同学共有70人，其中48人参加了数奥社团，24人参加了垒球社团，其中有8个人两种社团
都参
加了，问两种社团都没有参加的同学有几个人？