上课铃声-exploited

http:
容斥原理之三者容斥问题

浙江行测答题技巧：容斥原理之三者容斥问题

中公教育考试研究院宋丽娜：容斥 原理是行测数学运算中常考知识点。容斥原理是指在
计数时，必须注意无一重复，且无遗漏。这种方法的 基本思想是：先不考虑重叠的情况，把
包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重 复计算的数目排斥出去，
使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
例1：一个班级的学生数学和语文每人至少喜欢其中一种，其中喜欢数学课的有49人，
喜欢语文课的有 52人，二者都喜欢的有21人，则这个班级有多少人?
中公点拨：本题就是一个容斥问题，解决此问 题的方法就是先算：49+52=101(把含于某
内容中的所有对象的数目先计算出来)，然后再把计 数时重复计算的数目排斥出去即：
101-21=80人，则整个班级的人数就有80人。
三 者容斥问题是行测数学运算中常考也相对较复杂的容斥问题。所谓三者容斥是指在题
干中有三种集合(集 合就是具有共同属性所以元素的的整体，例如上题中喜欢数学的人构成
一个集合)。

三者容斥问题有一个基本公式：A，B，C代表三个集合，则有
A∪BUC=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C
这个公式表达的含义是， A+B+C再减去两两相交之后，中间E(即A∩B∩C)这部分被减
没了。而容斥原理的基本思想是计 数时不重复不漏掉，故要再加回来，所以又加了一个
A∩B∩C。
例2. 实验小学的小记者 对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、
排球)的与否。结果显示：他们都至 少喜欢三种大球中的一种，其中有58人喜欢篮球，有68
人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球 和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有
33人，三种球都喜欢的有12人。篮球和排球都喜欢 的多少人?

http:
中公教育解析：由题意可画图如下：

则有上述公式可知：
58+68+62-45-33-篮球和排球都喜欢+12=100人
故喜欢篮球和排球的人有22人。
例3. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查， 调查他们对三种大球(篮球、足球、
排球)的与否。结果显示：其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足 球，有62人喜欢排球，而且，
篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都 喜欢的有12人，还有5
人三种球都不喜欢，则篮球和排球都喜欢的多少人?

中公 教育解析：本题和上题相比，较一般的三者容斥更为复杂。因为，题干中所出现的
喜欢篮球、喜欢足球、 喜欢排球的三种集合都是在全集100人中考查，且题干中出现了同时
不属于这三种集合的元素。
中公点拨：此类型题的做法大家只要记住构造全集即可，题干中不知道的设为未知数。
外框的 长方形代表全集，用I来表示，D代表同时不属于集合A，B，C三个集合的元素。
构造全集I= A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C+D
由此可得本题：设篮球和排球都喜欢的有x人，则有

http:
100=58+68+62-45-33-x+12+5
解得x=27。 中公教育专家提醒考生：容斥问题的关键在于计数时不能重复，不能漏掉。如三者容斥
这种比较复杂 的容斥问题可以现根据题意画出其图形(叫文氏图)，然后再根据公式及题干所
求问题计算。

本文来源：金华中公教育