小学奥数教案——容斥问题
造谣惑众-三八节祝酒词
教案
容斥问题
一 本讲学习目标
理解并掌握容斥问题。
二 重点难点考点分析
容斥问题涉及到一个重要原理——包
含和排除原理。也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含
时，为了不重复的计数，应从它们的和中排
除重复部分。
三 概念解析
容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同的分类标准
，按性质1和性质2分类，那么具有性质1
或性质2的事物个数等于性质1加上性质2减去它们的共同性
质。
四 例题讲解
一班有48人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业？请举手”有3
7人举手，又问：“谁做完了
数学作业？请举手”有42人举手，最后问：“谁语文、数学作业都没做完
？请举手”结果没有人举手。
求这个班语文、数学作业都做完的人数是多少个？
四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有1
3人，订阅《小学
生优秀作文》的有45人，每人至少订阅一种读物，订阅《数学大世界》的有多少人？
某班有36个同学在
一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有
15人。问多少个同学
两题都答的不对？
某班有56人，参加语文竞赛的有28
人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，
那么参加语文、数学两科竞赛的有多少
人？
在1到100的全部自然数中，既不是5的倍数，也不是6的倍数的数有多少个？
光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中
有24幅不是五年
级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品一共有10幅，其他年级参
展的书法作品共有
多少幅？
学校文艺组每人至少
会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两
样都会的有8人。这个文
艺组一共有多少人？
一个班有55名学生
，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种都订
阅的有25人。两种报
纸都没有订阅的有多少人？
一个俱乐部有103人，其中
会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下
的有12人。问这个俱乐部里两
种棋都会下的有多少人？
100个人参加测试
，要求回答五道试题，并且规定凡答对3题或3题以上的为测试合格。测试结果是：
答对第一题的有81
人，答对第二题的有91人，答对第三题的有85人，答对第四题的79人，答对第五
题的有74人，那
么至少有多少人合格。
五 课堂练习
在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数，也不是5的倍数的数有多少个？
实验小学举办学生书法展，学校
的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级
的，有24幅不是六年级的，五、六
年级参展的书法作品共有20幅。一、二年级参展的作品总数比三、
四年级参展的作品总数少4幅。一、
二年级参展的书法作品共有多少幅？
六 课后作业
六（一）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有2
5幅不是三年级的，
有19幅不是四年级的，三、四年级参展的图画共有8幅，其他年级参展的画共有多
少幅？
五年级有22名学生参加语
文、数学考试，每个至少有一门功课取得优秀成绩，其中语文成绩优秀的
有65人，数学成绩优秀的有8
7人。语文、数学都优秀的有多少人？
七
励志或学科小故事——阿契塔
阿契塔（Archytas）
希腊数学家。公元前约420年生于意大利塔伦通（现塔兰托）；公元前约350
年卒。 阿契塔是毕达
哥拉斯学派的成员，居住在塔伦通，那里是当时保留到最后的一个纺织毕达哥拉斯
学派的活动中心。阿契
塔象公元前四世纪的许多希腊学者那样，致力于说服希腊各城邦联合起来反对日
效力增长
的外来势力。可是，同所有其他希腊学者一样，他也失败了。希腊人坚持彼此之间的自相残杀，
直到被马
其顿所征服。
阿契塔的洒趣在于希腊的三大问题之一——立方倍积，即给定一个立方体，仅用圆规和直
尺作另一
个立方体，使这个立方体的体积是给定的立方体的两倍。后来发现，在所指定的条件下，这个问
题是不
可解，但是在经过一番努力之后，阿契塔发现了与比例中项（即在两个外项之间插入的一些线或数
值）
有关的一些定理，他使用比立方倍积问题所给条件的严格要求要自由一引起的工具，通过精巧的三维
构
体这个问题。他是试图把纯粹的技艺应用于力学的第一个希腊数学家，当时他按照自己的方式创立了关
于声音和音理论。他仿照算术级数（1，2，3，4……）和几何级数（1，2，4，8，……），提出
了调和级
数（1，，，，……）的概念，他主张音调取决于空气的振动速度。他是正确的，但是他完全没
有波动的概
念。他相信音调高的声音在空气、物体中传播的速度比音调低的声音快，这当然是错误的。据
信他还是
滑轮的发明者。