蒋玉菡-聊斋之白秋练

公务员行测考试容斥问题速解宝典题集
一、两集合类型
1.解题技巧
题目中所涉及事物属于两集合时，容斥原理适用于条件与问题都可以直接带入公式题目，如下：
A∪B=A+B-A∩B
快速解题：总数=两集合之和+两集合之外数- 两集合公共数。
2.真题示例
【例1】现有50名学生都做物理，化学实验，如果 物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的
有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对有 ：
A27人B25人C19人D10人
【解析】B。50=31+40+4-A∩B，得A∩B=25。
二、三集合类型
1.解题步骤
解题步骤分三步：①画文氏图；②弄清图形中每一部分所代表含义；③代入公式(A ∪B∪
C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C)进行求解。
2.解题技巧
解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。
总数=各集合数之和- 两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数
3.真题示例
【例2】某高校对一些 学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加会计师考试的有63人，
准备参加英语六级考试的有 89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，

准备只选择 两种考试都参加的有46人，不参加任何一种考试的有15人。问接受调查问卷的学生共有
多少人？
【解析】A。填充三个集合公共部分数字24；根据每个区域含义应用公式：总数=各集合之和
-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数=63+89+47-{(x+24)+(z+24) +(y+24)｝
+24+15=199-{(x+y+z)+24+24+24｝+24+15。x+ y+z只属于两集合数之和，该题所讲只选择两种
考试参加人数，所以x+y+z值为46人；得本题答 案为120。
【例3】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧 。其中58人喜
欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18 人，既喜欢看电
影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人?
人人人人
【解析】A。总数=各集合之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合 之外数。
100=58+38+52-{18+16+(12+x)｝+12+0，该题没有三种都不喜 欢的，所以三集合之外数为0，解方
程得：x=14。52=x+12+4+y=14+12+4+y， 得到y=22人。
一、工具的应用
容斥问题研究的是集合与集合之间关系，对应于不同的题 型，我们往往要选择不同的工具展示题目
中的关系，简化分析过程。题型不同时要借助的工具也不一样。 普通二者或三者容斥借助文氏图分析;
四者容斥往往借助表格;而一些有比较或排序类的容斥题目往往借 助线段。考生要区分不同题型、考点，
明确做题工具。
二、结论的不同
不同题型不 但解题工具不同，结论、公式也是不同的。普通的二者和三者容斥考生往往都比较熟悉，
下面几个特殊容 斥的题目一样值得考生注意：
1、四者容斥

例：有100件衬衫，其中白色 和黑色的各50%，大号有25%，小号占75%，白色大号的有10件，
请问黑色小号的有几件? < br>中公分析：这是一道四者容斥的题目，用表格法解决。依据比例将白色、黑色衬衣的件数和大小号
衬衣的件数写在表格最右列和最下行。大号白色10件，标在大号一列和白色一行的交叉格中，如下表
所 示：
则大号黑色有25-10=15件，小号黑色有50-15=35件。
总结：四者容斥 的题目一般都是描述某一事务在两个不同方面的四个不同属性。利用表格可以快速
解题。
2、容斥全极值
N者容斥问N者重合部分的最值即为容斥全极值问题。考试很少考最大值，一 般都是问N者重合
部分最小的时候，直接利用结论做：N者极值=N个大集合的和减去(N-1)个全集 。
例：某班有100人，其中语文好的有80人，数学好的有78人，英语好的有82人，请问三个科 目
都好的至少有几人?
中公分析：此题属于三者全极值的问题，带入公式：80+78+82 -100×2=40。即三个科目都好的
人至少40人。
3、三者容斥二者最多
三者容斥求其中二者重复部分最多，直接三个大集合之和除以2，求整数部分。
例：某班有1 00人，其中语文好的有40人，数学好的有32人，英语好的有48人，请问其中只有
两科好的至多有 几人?
中公分析：三者容斥求二者最多，可以直接计算：(40+32+48)÷2=60人。 以上是中公教育专家总结的几种可能考查容斥问题的特殊题型，因为其与常规题目的差异性，考生
如 若没能掌握正确的思路则很难做对。以上题目所体现的思想，希望考生好好体会，力争在考场上遇到
这类 题目时能快速准确地求解。

一.知识点总结
容斥原理:容斥原理是指计数时 先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出
来，然后再把重复计算的数目排斥出 去。
容斥问题主要分为：两者容斥问题、三者容斥问题。
如何解决容斥问题：利用文氏图(划圈法)。
1.两者容斥问题
解决两者容斥问题 的方法：如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个
数相加，然后减掉重复计 算的部分。
简记：元素的总个数=大圈-中圈(A、B为大圈，x为中圈)
方法核心：让每个重叠区域变为一层。
(x为重叠区域)
例：班级一共有240人 ，每个人必须至少有一门是好的，已知行测好的是160人，申论好的是120
人，问既行测好又申论好 的有多少人?
(x为既行测好又申论好的人)
中公解析：首先我们只需把行测好、申论好的 分别看成集合，然后用文氏图表示出来，其中x为重
叠区域，我们需将其变为单层。160+120-x =240，解得x=40。
2.三者容斥问题
解决三者解决容斥问题的方法：如果被计数的 事物有A、B、C三类，那么，先把A、B、C三个集
合的元素个数相加，然后减掉重复计算的部分。
(1、2、3、x均为重叠区域)
简记：元素的总个数=大圈-中圈+数小圈(大圈指三类元 素的个数和，中圈指题目中所给重叠区域(1、
2、3、1+x、2+x、3+x、1+2+3+x)， 小圈为三层重叠区域x，利用此公式，我们只需数小圈即可。
方法核心：让每个重叠区域变为一层。

例：有140人，每个人都至少喜欢一种花，已知喜欢玫瑰花的有80人，喜欢牡丹花的 有70人，
喜欢百合花的有60人，则分别在以下三种条件下，三种花都喜欢的有多少人?
(1)喜欢玫瑰和牡丹的有30人，喜欢玫瑰和百合的有40人，喜欢牡丹和百合的有50人;
(2)只喜欢两种花的有40人;
(3)至少喜欢两种花的有50人。
中公解析：首先分析三个条件中重叠区域是哪部分，利用元素的总个数=大圈-中圈+数小圈，则大圈=80+70+60，中圈=30+40+50，其中大圈中x被加了三次，减中圈时x被减了三次，还需 加一次x，
故，解得x=50。(2)大圈=80+70+60，中圈=40，其中大圈中x被加了三次 ，减中圈时x一次也没有
被减，因此需减2x，故，解得x=15。(3)大圈=80+70+60，中 圈=50，其中大圈中x被加了三次，减
中圈时x被减了一次，因此需再减一次x，故，解得x=20。
总结：解决容斥问题，最重要的就是要分清题干中所给的重叠区域，然后从三层区域入手(小圈)将重叠区域变为一层。
3.容斥中的极值问题
二.经典例题
1.接受采访的1 00个大学生中，88人有手机，76人有电脑，其中有手机没电脑的共15人，则这
100个学生中有 电脑但没手机的共有多少人?
【答案】D。
中公解析：画出文氏图。88人有手机，15人 有手机没电脑，则88-15=73人既有手机又有电脑，
已知76人有电脑，所以有电脑没手机的有7 6-73=3人。
2.某公司招聘员工，按规定每人最多可报考两个职位。结果共42人报名，甲、乙 、丙三个职位报
名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲 、丙职位的人数
为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：
人人人人

【答案】C。
中公解析：：设同时报乙、丙职位的人数为x人，报考甲、乙、 丙三个职位的一共有22+16+25=63
人，其中报考两个职位的被重复计算了1次，则总的报名人 数42=63-(8+6+x)，解得x=7人。