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国考行测容斥原理解题技巧
在行测考试中，容斥原理题令很多考生头痛不已 ，因为容斥原理题看起来复杂多变，让考生一时找不着头绪。但该题型还是有着非常明显
的内在规律，只 要考生能够掌握该题型的内在规律，看似复杂的问题就能迎刃而解，下面就该题型分两种情况进行剖析，相信能够 给考生
带来一定的帮助。
一、两集合类型
1、解题技巧
题目中所涉及的事物属于两集合时，容斥原理适用于条件与问题都可以直接带入公式的题目，公式如下：
A∪B=A+B－A∩B
快速解题技巧：总数=两集合数之和+两集合之外数－两集合公共数
2、真题示例
【例1】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两 种实验都错的有4人，
则两种实验都做对的有( )
A、27人B、25人C、19人 D、10人
【答案】B
【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B
得A∩B=25，所以答案为B。
【例2】某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号 各占一半。其中25％是白色的，75％是蓝色的。如果这批衬衫共有100件，其中大
号白色衬衫有1 0件，小号蓝色衬衫有多少件？（ ）
A、15 B、25C、35 D、40
【答案】C
【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设 小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，
蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+7 5+10－A∩B，得：A∩B=35。

1

二、三集合类型
1、解题步骤
涉及到三个事件的集合，解题步骤分三步：①画文氏 图；②弄清图形中每一部分所代表的含义，按照中路（三集合公共部分）突破的
原则，填充各部分的数字 ；③代入公式（A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C）进行求解。
2、解题技巧
三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。
公式：总数=各集合数之和－两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数
3、真题示例
【例3】【国考2010-47】某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加 注册会计师考试的有63人，准备参加英
语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种 考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加
其中任何一种考试的都15 人。问接受调查的学生共有多少人？（ ）
A．120B．144C．177D．192
【答案】A
【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：
根据每个区域含义应用公式得到：
总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数
＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15
＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15
根据上述含义分析得到：x+z +y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120.
【例4】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电 影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢
看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧 的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有
多 少人（ ）

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A.22人 B.28人 C.30人 D.36人
【答案】A
【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字：
根据各区域含义及应用公式得到：
总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数
100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人 ，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。52
＝x+12+4+Y＝14+12+4+Y，得 到Y＝22人。（曾凡稳）

一、两集合类型
1、解题技巧
题目中所涉及的事物属于两集合时，容斥原理适用于条件与问题都可以直接带入公式的题目，公式如下：
A∪B=A+B－A∩B
快速解题技巧：总数=两集合数之和+两集合之外数－两集合公共数
2、真题示例
【例1】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人 ，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则
两种实验都做对的有( )


【答案】C
【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B
得A∩B=25，所以答案为B。

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【例2 】某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中25％是白色的，75％是蓝色的。如果这批衬衫共有 100件，其中大号白
色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（ ）
A、15 B、25 C、35 D、40
【答案】C
【解 析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和 B，小号占
50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B =35。
二、三集合类型
1、解题步骤
涉及到三个事件的集合，解题步骤分三步 ：①画文氏图；②弄清图形中每一部分所代表的含义，按照中路（三集合公共部分）突破的
原则，填充各 部分的数字；③代入公式（A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C）进行求解。
2、解题技巧
三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。
公式：总数=各集合数之和－两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数
文氏图如下：


其中各区域含义分别为：1区域代表只属于A集合；2区域代表只属于A和B；3 区域代表只属于B集合；4区域代表只属于B和C；5
区域代表三集合公共部分；6区域代表只属于A和 C；7区域代表只属于C集合；2+5区域代表A∩B； 4+5区域代表B∩C；5+6
区域代表A∩C；1+2+5+6区域代表属于A集合；3+2+5+4区域代表属于B集合；4+5+6+7区 域代表属于C集合。

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3、真题示例
【例 3】【国考2010-47】某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的 有63人，准备参加英语六
级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的 有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中
任何一种考试的都15人。问接受调查的 学生共有多少人？（ ）
A．120 B．144 C．177 D．192
【答案】A
【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字，得下图：


根据每个区域含义应用公式得到：
总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数
＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15
＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15
根据上术含义分析得到：x +z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；
得本题答案为120.
【例4】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛 和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢
看电影，既喜欢看球赛又喜欢看 戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有
多少人（ ）
A.22人 B.28人 C.30人 D.36人

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【答案】A
【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字，得下图：


根据各区域含义及应用公式得到：
总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数
100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不 喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。52＝x+12+4+Y
＝14+12+4 +Y，得到Y＝22人。

公务员行测考试数量关系容斥原理题目巧解
http: 2010年09月13日 11:13 华图公务员
容斥原理是公务员考试中较难的一类题目，一般的解题思路有两种：
1、 公式法，适用于“条件与问题”都可直接代入公式的题目；
2、 文氏图示意法，即当条件与问题不能直接代入公式时，需要利用该方法解决。
一般而言，能够直接代入 公式的题目较容易，而需要利用文氏图的题目相对灵活，容易给考生解题带来不便。如果大家能够对公式中的各< br>个要素以及文氏图上的各个部分所代表的含义有深入了解，则可以快速抓住解题关键。

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【例题】某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文 小组、数学小组中的—个课外活动小组。现已知参加英语小组的有17人。
参加语文小组的有30人，参 加数学小组的有13人。如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组？
A.15 B.16 C.17 D.18
对于这个题目，一般思路为：将题目条件带入三集合文氏图，假设只参加两个小组的人数分别 为x，y，z人，由加减关系可以得到只参加
一个小组的人数的表示形式，根据总人数可以列出方程：
(13-5-x-y)+(17-5-x-y)+(30-5-x-y)+x+y+z+5=35，
从而得到x+y+z=15，即为所求。

该方法是利用文氏图和列方程的方法进行 解题，方法简单易懂，但是实际操作起来消耗时间较多，下文将给出本题的另外两种解法：
【解法1】文氏图与三集合标准型公式相结合。
三集合标准型的公式如下：AUBUC=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC。
将语 文小组的人数视为A，数学小组人数视为B，英语小组人数视为C，分别代入公式可以得到AB+AC+BC=3 0。“AB+AC+BC”中包含三
个ABC，因此要减去两个，即AB+AC+BC-2ABC=20 ，即为至少选两个小组的人数，因此，得到只参加一个小组的人数=总人数(AUBUC=35)

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减去至少选两个小组的人数(AB+AC+BC-2ABC=20)，等于15。

该 方法将文氏图与三集合标准型公式结合使用，避免了求解不必要要素的过程，这需要各位考生对于基本公式和文氏 图各部分的意义有深
刻理解。对于这道题目而言，还有更加快速的解题方法，如下：
【解法2 】通过读题，我们可以发现，英语小组、语文小组、数学小组在题目中都是同时出现，即这三个小组是并列关系， 对于这三个小
组的人数，即17、30、13三个数字只能用加法处理，等于60。这样原题五个数字( 35、17、30、13、5)就变为三个(35、60、5)，而这三个
数字之间只能做加减，而不能 做乘除，因此，得到结果的尾数必为“0”或“5”。
在得到这个结论之后，我们观察一下选项，发现 只有A选项尾数为5，因此，本题答案确定无疑，就是A。本题成功实现“秒杀”。
关于容斥原理的考 试题目千变万化，但是无论怎样变化都离不开基本公式和文氏图，考生在平时练习的时候一定要熟练掌握这两种方 法，
从而提高做题速度与正确率，并争取针对个性化的题目产生巧妙的方法。

山东公务员行测：数量关系之容斥问题解题原理及方法
一、知识点

1、集合与元素：把一类事物的全体放在一起就形成一个集合。每个集合总是由一些成员组成的，集合的这些成员 ，叫做这个集合的
元素。
如：集合A={0，1，2，3，……，9}，其中0，1，2，…9为A的元素。

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2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫 做A，B的并集，记作A∪B，记号“∪”读作“并”。A∪B读作“A并B”，用
图表示为图中阴影部 分表示集合A，B的并集A∪B。

例：已知6的约数集合为A={1，2，3，6}，10 的约数集合为B={1，2，5，10}，则A∪B={1，2，3，5，6，10}
3、交集：A、 B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，又属于B的元素，它们组成的集合叫做A和B的交集，记作“A∩ B”，读作“A
交B”，如图阴影表示：

例：已知6的约数集合A={1，2，3 ，6}，10的约数集合B={1，2，5，10}，则A∩B={1，2}。
4、容斥原理(包含与排除原理)：
(用|A|表示集合A中元素的个数，如A={1，2，3}，则|A|=3)
原理一：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进行：
第一步：先求出∣A∣+∣B∣(或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起);
第二步：减去∣A∩B∣(即“排除”加了两次的元素)
总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣
原理二：给定三个集合A，B，C。要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进行：
第一步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣;
第二步：减去∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣;
第三步：再加上∣A∩B∩C∣。
即有以下公式：
∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣- |C∩A|+|A∩B∩C∣

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二、例题分析：

例1 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。
分析 ：设A={20以内2的倍数}，B={20以内3的倍数}，显然，要求计算2或3的倍数个数，即求∣A∪B ∣。
解1：A={2，4，6，…20}，共有10个元素，即|A|=10
B={3，6，9，…18}，共有6个元素，即|B|=6
A∩B={既是2的倍数又是3的倍数}={6，12，18}，共有3个元素，即|A∩B|=3
所以∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=10+6-3=13，即A∪B中共有13个元素。
解2：本题可直观地用图示法解答

如图，其中，圆A中放的是不超过20的正整数 中2的倍数的全体;圆B中放的是不超过20的正整数中3的倍数的全体，其中阴影部分的
数6，12， 18是既是2的倍数又是3的倍数的数(即A∩B中的数)只要数一数集合A∪B中的数的个数即可。
例2 某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人;语文得90分以上的有21人;两科中至少有一 科在90分以上的有38人。问两科都在90
分以上的有多少人?
解：设A={数学成绩90分以上的学生}
B={语文成绩90分以上的学生}
那么，集合A∪B表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，
∣A∣=25，∣B∣=21，∣A∪B∣=38
现要求两科均在90分以上的学生人数，即求∣A∩B∣，由容斥原理得
∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=25+21-38=8
点评：解决本题首先要根据题意，设出集合A，B，并且会表示A∪B，A∩B，再利用容斥原理求解。
例3 某班同学中有39人打篮球，37人跑步，25人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两项 体育活动的总人数是多少?
解：设A={打篮球的同学};B={跑步的同学}
则 A∩B={既打篮球又跑步的同学}
A∪B={参加打篮球或跑步的同学}
应用容斥原理∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=39+37-25=51(人)
例4 求在不超过100的自然数中，不是5的倍数，也不是7的倍数有多少个?

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分析：这个问题与前几个例题看似不相同，不能直接运用容斥 原理，要计算的是“既不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数。”但是，
只要同学们仔细分析题意， 这只需先算出“100以内的5的倍数或7的倍数的数的个数。”再从100中减去就行了。
解：设A={100以内的5的倍数}
B={100以内的7的倍数}
A∩B={100以内的35的倍数}
A∪B={100以内的5的倍数或7的倍数}
则有∣A∣=20，∣B∣=14，∣A∩B∣=2
由容斥原理一有：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=20+14-2=32
因此，不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数是：100-32=68(个)
点评：从以 上的解答可体会出一种重要的解题思想：有些问题表面上看好象很不一样，但经过细心的推敲就会发现它们之间有 着紧密的联
系，应当善于将一个问题转化为另一个问题。
例5 某年级的课外学科小组分为数 学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人，参加外语小组的有18
人;同时参加数学、语文两个小组的有4人，同时参加数学、外语小组的有7人，同时参加语文、外语小组的有5 人;三个小组都参加的有2
人。问：这个年级参加课外学科小组共有多少人?
解1：设A={ 数学小组的同学}，B={语文小组的同学}，C={外语小组的同学}，A∩B={数学、语文小组的同学}， A∩C={参加数学、外语
小组的同学}，B∩C={参加语文、外语小组的同学}，A∩B∩C={三 个小组都参加的同学}
由题意知：∣A∣=23，∣B∣=27，∣C∣=18
∣A∩B∣=4，∣A∩C∣=7，∣B∩C∣=5，∣A∩B∩C∣=2
根据容斥原理二得：
∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣A∩C|-∣B∩C|+|A∩B∩C∣
=23+27+18-(4+5+7)+2
=54(人)

山东公务员行测：数量关系之容斥问题解题原理及方法

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解2： 利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数，然后求出最后结果。


设 A、B、C分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合，其图分割成七个互不相交的区域，区域Ⅶ(即A∩ B∩C)表示三个小组都参
加的同学的集合，由题意，应填2。区域Ⅳ表示仅参加数学与语文小组的同学 的集合，其人数为4-2=2(人)。区域Ⅵ表示仅参加数学与外语
小组的同学的集合，其人数为7-2 =5(人)。区域Ⅴ表示仅参加语文、外语小组的同学的集合，其人数为5-2=3(人)。区域Ⅰ表示只参加数 学小
组的同学的集合，其人数为23-2-2-5=14(人)。同理可把区域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人 数逐个算出，分别填入相应的区域内，则参加课外小
组的人数为;
14+20+8+2+5+3+2=54(人)
点评：解法2简单直观，不易出错。由于各个 区域所表示的集合的元素个数都计算出来了，因此提供了较多的信息，易于回答各种方式的
提问。
例6 学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人 喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球
赛又喜欢看戏剧(但不喜欢看电影)的有6人，既喜欢看电影又喜 欢看戏剧(但不喜欢看球赛)的有4人，三种都喜欢的有12人。问有多少同
学只喜欢看电影?有多少同 学既喜欢看球赛又喜欢看电影(但不喜欢看戏剧)?(假定每人至少喜欢一项)
解法1：画三个圆圈使 它们两两相交，彼此分成7部分(如图)这三个圆圈分别表示三种不同爱好的同学的集合，由于三种都喜欢的有1 2人，

12

把12填在三个圆圈的公共部分内(图中阴 影部分)，其它6部分填上题目中所给出的不同爱好的同学的人数(注意，有的部分的人数要经过
简单的 计算)其中设既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为χ，这样，全班同学人数就是这7部分人数的和，即
16+4+6+(40-χ)+(36-χ)+12=100
解得 χ=14
只喜欢看电影的人数为
36-14=22



解 法2：设A={喜欢看球赛的人}，B={喜欢看戏剧的人}，C={喜欢看电影的人}，依题目的条件有|A∪ B∪C|=100，|A∩B|=6+12=18(这
里加12是因为三种都喜欢的人当然喜欢其中的两 种)，|B∩C|=4+12=16，|A∩B∩C|=12，再设|A∩C|=12+χ由容斥原理二：|A∪ B∪C
|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|
得：100=58+38+52-(18+16+х+12)+12
解得：х=14
∴36-14=22
所以既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为14，只喜欢看电影的人数为22。
点评：解法1没 有用容斥原理公式，而是先分别计算出(未知部分设为х)各个部分(本题是7部分)的数目，然后把它们加起来 等于总数，这
种计算方法也叫“分块计数法”，它是利用图示的方法来解决有关问题，希望同学们能逐步 掌握此类方法，它比直接用容斥原理公式更直观，
更具体。

13

例7、某车间有工人100人，其中有5个人只能干电工工作，有77人能干 车工工作，86人能干焊工工作，既能干车工工作又能干焊工工
作的有多少人?
解：工人总数100，只能干电工工作的人数是5人，除去只能干电工工作的人，这个车间还有95人。 利用容斥原理，先多加既能干车工
工作又能干焊工工作的这一部分，其总数为163，然后找出这一公共 部分，即163-95=68
例8、某次语文竞赛共有五道题(满分不是100分)，丁一只做对了( 1)、(2)、(3)三题得了16分;于山只做对了(2)、(3)、(4)三题，得了25分;
王水 只做对了(3)、(4)、(5)三题，得了28分，张灿只做对了(1)、(2)、(5)三题，得了21分， 李明五个题都对了他得了多少分?
解：由题意得：前五名同学合在一起，将五个试题每个题目做对了三 遍，他们的总分恰好是试题总分的三倍。五人得分总和是
16+25+30+28+21=120。因此 ，五道题满分总和是120÷3=40。所以李明得40分。
例9，某大学有外语教师120名，其中 教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教
英语又教法语，有8名既教日语又教法语，有4名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名 ?
解：本题只有求出至少教英、日、法三门课中一种的教师人数，才能求出不教这三门课的外语教师的 人数。至少教英、日、法三门课中一
种教师人数可根据容斥原理求出。根据容斥原理,至少教英、日、法 三门课中一种的教师人数为50+45+40-15-10-8+4=106(人)不教这三门课
的外语 教师的人数为120-106=14(人)

公务员考试《行测》数量关系容斥原理题解题方法
来源：华图 2010-9-10 11:29:58 【考试吧：中国教育培训第一门户】 模拟考场
[导读]容斥原理是公务员考试行 政职业能力测验数量关系中较难的一类题，一般的解题思路有两种：公式法，文氏图示意法。
容斥原理是公务员考试行政职业能力测验数量关系中较难的一类题，一般的解题思路有两种：
1、 公式法，适用于“条件与问题”都可直接代入公式的题目;

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2、 文氏图示意法，即当条件与问题不能直接代入公式时，需要利用该方法解决。
一般而言，能够直接代入 公式的题较容易，而需要利用文氏图的题目相对灵活，容易给考生解题带来不便。如果考生能够对公式中的各个< br>要素以及文氏图上的各个部分所代表的含义有深入了解，则可以快速抓住解题关键。
例：某班有 35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的—个课外活动小组。现已知参加英语小组的有 17人。参加
语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。如果有5个学生三个小组全参加了，问有 多少个学生只参加了一个小组?
A.15 B.16 C.17 D.18
对于这道题，一 般思路为：将题目条件带入三集合文氏图，假设只参加两个小组的人数分别为x，y，z人，由加减关系可以得到 只参加一
个小组的人数的表示形式，根据总人数可以列出方程：
(13-5-x-y)+(17-5-x-y)+(30-5-x-y)+x+y+z+5=35，
从而得到x+y+z=15，即为所求。

该方法是利用文氏图和列方程的方法进行 解题，方法简单易懂，但是实际操作起来消耗时间较多，下文将给出本题的另外两种解法：
解法1：文氏图与三集合标准型公式相结合。
三集合标准型的公式如下：AUBUC=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC。
将语 文小组的人数视为A，数学小组人数视为B，英语小组人数视为C，分别代入公式可以得到AB+AC+BC=3 0。“AB+AC+BC”中包含三
个ABC，因此要减去两个，即AB+AC+BC-2ABC=20 ，即为至少选两个小组的人数，因此，得到只参加一个小组的人数=总人数(AUBUC=35)
减去至 少选两个小组的人数(AB+AC+BC-2ABC=20)，等于15。

15

该方法将文氏图与三集合标准型公式结合使用，避免了求解不必要 要素的过程，这需要各位考生对于基本公式和文氏图各部分的意义有深
刻理解。


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