流行妆容-我是丑小鸭

集合问题（容斥原理）1丨两者集合基本概念
基础知识

在计数时， 必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复
计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法 的基本思想是：先不考虑
重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把
计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这
种计数的方法称为容斥原理。

两者集合问题公式法

1.两集合的容斥关系公式：A∪B＝A＋B－A∩B。

2003年山东

8.停车场有50 辆汽车,其中红色轿车35 辆,夏利轿车28辆,有8辆既不是
红色轿车 又不是夏利轿车,问停车场有红色夏利轿车多少辆?

A.14 B.21 C.15 D.22

模板解析：

本来50辆，除去8辆都不属于的，应该还有42辆

红色35辆，夏利28辆，这样数下来63辆。

多数了21辆，这21量就是满足两个条件（红色且夏利）

2004年山东

13.某单位有青年员工85人,其中68人会骑自行车,62人会游泳,既不会骑车
又不会游 泳的有12人,则既会骑车又会游泳的有（ ）人。

A.57 B.73 C.130 D.69

【解析】A两个集合问题。令 所求为X，则有：85-12=68+62-X，根据尾
数法得知X=57

2012年浙江

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60.如右图所示，正方形ABCD 的边长为5cm，AC、BD分别是以点D和
点C为圆心、5cm为半径作的圆弧。问阴0影部分a的面 积比阴影部分b
小多少？（π取3.14）

A.13.75cm B.14.25cm C.14.75cm D.15.25cm

【解析】B。两个 14 圆＋a -b＝正方形面积，所以得到0.5×3.14×25
－b＋a＝25，得知： b－a＝14.25。

2016年江苏A

62.某班有38名学生，一次 数学测验共有两道题，答对第一题的有26人，
答对第二题的有24人，两题都答对的有17人，则两题 都答错的人数是（ ）

A.3 B.5 C.6 D.7

【解析】B。简单两者集合问题及差量思维。

满足A的个数＋满足 B的个数－两者都满足的个数=总个数－两者都不满
足的个数。令都打错为X题，因此26+24-17 =38-
X
，解得
X
=5。

2016年河南
< br>56.某公司组织歌舞比赛，共68人参赛。其中，参加舞蹈比赛的有12人，
参加歌唱比赛的有 18人，45个人什么比赛都没有参加。问其中参加歌唱
比赛但不参加舞蹈比赛的有多少人？

A. 9 B. 11 C. 15 D . 17
【解析】B。两者集合问题。把参加舞舞蹈比赛的看成集合A，把参加歌唱
比赛的看成集合B。套用 两集合的公式：总的-都不参加的=A+B-两者都参
加的；68-45=12+18-两者都参加的； 所以两者都参加的是7个人。所以
参加歌唱比赛但不参加舞蹈比赛的=18-7=11。

2017年广东

27.某单位有107名职工为灾区捐献了物资，其中78人捐献衣 物，77人捐
献食品。该单位既捐献衣物，又捐献食品的职工有多少人？

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A.48 B.50 C.52 D.54

27.【解析】A.两者集合问题。两者都的职工为：78+77-107，个位数为8。

2017年广州

32.某班共有46人参加了一次数学测验，其中35人做对了第一 题，28人
做对了第二题，有3人都做错了这两道题，那么该班有（ ）人只做对了第
二题。

A.8 B.11 C.15 D.18

32.【解析】A.两者集合问题，两题都做对的20人，得知仅做对第二题8
人。

2017年江西

69.某乡有32户果农，其中有26户种了柚子树，有24户种了 橘子树，还
有5户既没有种柚子树也没有种橘子树，那么该乡同时种植柚子树和橘子
树的果农有 ：

A.23户 B.22户 C.21户 D.24户

69. 【 解析】A.考查多年两者集合问题，令两者都种的户数为X，则有：
26+24-X=32-5,得知X =23。

2018年春季安徽

33.某试验室通过测评Ⅰ和Ⅱ来核定产品 的等级：两项测评都不合格的为次
品，仅一项测评合格的为中品，两项测评都合格的为优品。某批产品只 有
测评Ⅰ合格的产品数是优品数的2倍，测评Ⅰ合格和测评Ⅱ合格的产品数
之比为6：5。若该 批产品次品率为10%，则该批产品的优品率为：

A.10% B.15% C.20% D.25%

【解析】C.两者集合问题与比例问题。

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假设这批产品的优品数为2X，则只有测评Ⅰ合格的产品数为4X，测评Ⅰ
合格的全部产品数 为6X，测评Ⅱ合格的产品数为5X。合格品9X，并且合
格率为90%，故而总数为10X。

2018年广州

32.篮子里有苹果和梨两种水果若干个，将这些水果分发给13个 人，每人
最少拿一个，最多拿两个不同的水果。已知有9个人拿到了苹果，有8个
人拿到了梨， 最后全部分完。那么，有（ ）人只拿到了苹果。

A.4 B.5 C.6 D.7

【解析】B.两者集合问题。拿到两个水果的人：9+8-13=4。故而仅5人只拿苹果。

2007年国考

50.小明和小强参加同一次考试，如 果小明答对的题目占题目总数的，小强
答对了27道题，他们两人都答对的题目占题目总数的那么两人都 没有答对
的题目共有：

A. 3道 B. 4道 C. 5道 D.6 道

2008年江苏C

18.A、B两位同学参加同一次竞赛考试，如果A答对的题目占题目总数的，
B答对了25道题，他 们两人都答对的题目占题目总数的，那么两人都没有
答对的题目共有（ ）。

A.5道 B.6道 C.7道 D.8道


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