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容斥原理问题


容斥原理问题

两个集合容斥问题
容斥原理一：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类元素个数+B类元素个数=既是A类又是B类的元素个数+A类或B类元素个数。写成公
式形式即：
A+B=A∪B+A∩B
韦恩图：解决简单的两类或三类被计数事物之间的重叠问题时采用韦
恩图会更加便捷、直接。

【例】四年级一班有54人，定阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13< br>人，订阅《小学生优秀作文》的有45人每人至少订阅一种读物，订阅《数学大世界》的有
多少人 ？（ ）
A．13 B．22 C．33 D．41
【答案】B
【解题关键点】设A={定阅《小学生优秀作文》的人}，B={订阅《数学大世 界》的人}，那
么A∩B={同时订阅两本读物的人}，A∪B={至少订阅一样的人}，由容斥原则， B= A∪B+A
∩B-A=54+13-45=22人。

【例】五年级有122 名同学参加语文、数学考试，每个至少有一门功课取得优秀成绩，其中
语文成绩优秀的有65人，数学成 绩优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？ （
）
A． 30 B．35 C．57 D．65
【答案】A
【解题关键点】此题是典 型的两个集合的容斥问题，因此，可以直接有两个集合的容斥原理
得到，语文和数学都优秀的学生有65 +87-122=30人。

【例】学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的 有24人，会弹电子琴的有
17人，其中两样都会的有8人。这个文艺组共有多少人？（ ）
A．25 B．32 C．33 D．41
【答案】C
【解题关键点】设A={会拉手提琴的}，B={会弹电子琴的}，因此A∪B ={文艺组的人}，A
∩B={两样都会的}，由两个集合的容斥原理可得：A∪B=A+B- A∩B=24+17-8=33。

【例】某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有 25人，答对第二题的人有23人，
两题都答对的有15人，问多少个同学两道题都没有答对？（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4

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【答案】C
【解题关键点】有两个集合的容斥原理得到，至少答对一 道题的同学有25+23-15=33人，因
此两道题都没有答对的同学有36-33=3人。

三个集合容斥问题
容斥原理二：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么， A类元素个数+B
类元素个数+C类元素个数=A类或B类或C类元素个数+既是A类义是B类的
元素个数+既是A类又是B类的元素个数+既是B类又是C类元素个数—既是A
类又是B类而且是C类 的元素个数。写成公式形式即：
A+B+C=A∪B∪C+A∩B+C∩A-A∩B∩C

要点提示：
由上题可以看 出，单纯使用容斥原理来解题，会比较麻烦。推荐使用韦恩图，结
合容斥原理解题。
1、容斥原理公式法，适用于“条件与问题”都可直接代人公式的题目。
两个集合：｜A U B｜＝｜A｜+｜B｜一｜A∩B｜
三个集合：｜A U B U C｜＝｜A｜+｜B｜+｜C｜—｜A∩B｜—｜B∩C｜—｜C∩A｜+｜A
∩B∩C｜
2、文氏图示意法，条件或者所求不完全能用上述两个公式表示时，利用文氏图来解决。
< br>【例】某大学有外语教师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有
40 名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既日语又教法语，
有4名教英语、 日语和法语三门课，则不交三门课的外语教师有多少名？（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【解题关键点】此题是三个集合的容斥问题，根 据容斥原理可以得到，至少教英、日、法三
门课其中一门的外语教师有50+45+40-10-8-4 =106，不做这三门课的外语教师人数为
120-106=14名。

【例】对厦 门大学计算机系100名学生进行调查，结果发现他们喜欢看NBA和足球、赛车。
其中58人喜欢看N BA；38人喜欢看赛车，52人喜欢看足球，既喜欢看NBA又喜欢看赛车
的有18人，既喜欢看足球 又喜欢看赛车的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看
足球的有（ ）。
A．22人 B． 28人 C．30人 D．36人
【答案】A
【解题关键点】求只喜欢看足球的，只要种人数减去喜欢看NBA和喜欢看赛车的 ，但多减
去了既喜欢看NBA又喜欢看赛车的，再加回去即可，100-58-38+18=22人。

【例】实验小学举办学术书法展，学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展作品共有20幅。一、二年级
参展的 作品总数比三、四年级参展的作品总数少4幅。一、二年级参展的书法作品共有多少
幅？（ ）
A．6 B．10 C．16 D．20
【答案】A < br>【解题关键点】28幅不是五年级的，也就是六年级+其他年级=28幅；24幅不是六年级的，

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也就是五年级+其他年级=24幅；上述两个式子相加得，（五年级+六年级） +2×其他年级
=28+24，因此其他年级的有（28+24-20）÷2=16幅，又因为一、二年 级参展的作品总数比
三、四年级参展的作品总数少4幅，因此一、二年级参展的书法作品共有（16-2 ）÷2=6幅。