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数量关系之三集合容斥问题解题技巧：公式法
2011-08-30 09:29 作者：罗姮 来源：华图教育
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在国家公务员行测考试中，数量关系模块中 的容斥问题必不可少，也是学员觉得
最难突破的一大问题。究其原因，一则是容斥问题很复杂，特别是三 集合容斥问题涉及的已
知量特别多，读完题容易被绕进去；二则是没有好的方法切入，做出来非常消耗时 间。其实，
掌握好公式法对于解决三集合容斥问题很有帮助。本篇就对三集合容斥问题的解题技巧之公< br>式法进行阐释。
一、三集合标准型公式集合A、B、C，满足标准型公式：

三集合标准型公式适用于题目中各类条件都明确给出的情况。另外，可使用尾数法，判
断个 位数的相加减快速确定正确答案。
例1、某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门选修课。 有40人选修甲课程，
36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲 、丙两门课
程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三
门课程均未选的有多少人？（ ）（2009年浙江公务员考试行测试卷第55题）
A、1人 B、2人 C、3人 D、4人
答案：B 各类条件明确给出，直接使 用公式法。三者都不满足的个数=总数-
=50-（40+36+30-28-26-24+20），可 使用尾数法，尾数为2，选B。
例2、如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160 的三张不同形状的纸片。它们
部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。且X与Y、Y与 Z、Z与X重叠部
分面积分别为24、70、36。问图中阴影部分的面积为多少（ ）？（2009年国家公务员
考试行测第116题）

A、14 B、15 C、16 D、17

答案：C 直接使用三集合标准型公 式，
=290-(64+180+160-24-70-36)，根据尾数法得，尾数为6，选C。
二、三集合整体重复型公式三集合容斥问题中，有些条件未知时，就不能直接使用标准
型公 式，而是运用整体重复型公式同样可以解答。特别当题目中说明分别满足一种、两种、
三种条件的个数时 ，使用整体重复型公式。并且，三集合整体重复型公式是现在国家公务员
考试考查三集合容斥问题的重点 。另外，仍可利用尾数法可以快速求解。
三集合A、B、C，用W代表，满足一个条件的数量为x （仅单色区域），满足两个条
件的数量为y（双色区域），满足三个条件的数量为z（三色区域），则有 ：

例3、某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加 注册会计师考
试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种 考
试都准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的
有 15人。问接受调查的学生共有多少人？（ ）（2010年国家公务员考试行测试卷第50
题）
A、120 B、144 C、177 D、192
答案：A 根据题意，分别已知两种条件、三种条件都满足的个数，使用三集合整体重
复型公式：

根据尾数法，解得x尾数是5，W尾数是5。
因此，学生总数=W+15，尾数为0，选A。
例4、某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽 检，其中有8种产品的低温柔度不合
格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合 格，同时两项不合格的
有7种，有1种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少 种？（ ）
（2011年国家公务员考试行测试卷第74题）
A、37 B、36 C、35 D、34

答案：D 根据题意，分别已知满足一种条件、两种条件的个数，使用三集合整体重复
型公式：

根据尾数法，解得x尾数为0，W尾数为8。因此，全合格的产品数=总数-W=52-W，
尾数为4，选D。
三集合标准型公式和整体重复型公式的适用情况是不同的：标准型公式适用于 各项条件
都明确给出的情况，而整体重复型公式适用于分别给出满足一种、两种、三种条件的个数，因为这三者之间没有任何包含关系。区分好两种情形，特别是整体重复型公式，三集合容斥
问题就迎 刃而解了。