数学运算容斥问题
先天下之忧-幽雅的意思
数学运算容斥问题
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数学运算--容斥问题
容斥问题作为数学运算的重要
题型之一，每个同学都需要掌握，并且
在考试中快速解出答案。容斥问题的解决方法主要有公式法和图示
法，一般建议两种方法联合使用，图示法是为了便于理解题意和理清
多个集合之间的关系，公式
法适用于计算过程和最终解答。
一、两个集合之间的容斥问题。1、图示法。
这张图中，A和B表示两个集合，中间阴影部分表示同时符合这两个
集合要求的字迹。例如，集
合A表示数学好的学生，B表示英语好的
学生，那么中间阴影部分就代表数学和英语都好的学生。而在国
考的
容斥问题中经常求所有学生的人数，实际上就是集合A和B所覆盖的
总面积。
经
验分享：虽然自己在这帖子里给大家发了很多感慨，但我更想跟大
家说的是自己在整个公务员考试的过程
中的经验的以及自己能够成
功的考上的捷径。首先就是自己的阅读速度比别人的快考试过程中的
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优势自然不必说，平时的学习效率才是关键，其实很多人不是真的
不
会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计很多人能
够做出大部分的题。公
务员考试这种选人的方式第一就是考解决问题
的能力，第二就是考思维，第三考决策力（包括轻重缓急的
决策）。
非常多的人输就输在时间上，我是特别注重效率的。第一，复习过程
中绝对的高效率，
各种资料习题都要涉及多遍；第二，答题高效率，
包括读题速度和答题速度都高效。我复习过程中，阅读
和背诵的能力
非常强，读一份一万字的资料，一般人可能要二十分钟，我只需要两
分钟左右，读
的次数多，记住自然快很多。包括做题也一样，读题和
读材料的速度也很快，一般一份试卷，读题的时间
一般人可能要花掉
二十几分钟，我统计过，我最多不超过3分钟，这样就比别人多出
20几分钟
，这在考试中是非常不得了的。论坛有个帖子专门介绍速
读的，叫做“得速读者得行测”，我就是看了这
个才接触了速读，也
因为速读，才获得了笔试的好成绩。其实，不只是行测，速读对申论
的帮助
更大，特别是那些密密麻麻的资料，看见都让人晕倒。学了速
读之后，感觉有再多的书都不怕了。而且，
速读对思维和材料组织的
能力都大有提高，个人总结，拥有这个技能，基本上成功一半，剩下
的
就是靠自己学多少的问题了。平时要多训练自己一眼看多个字的习
惯，慢慢的加快速度，尽可能的培养自
己这样的习惯。当然，有经济
条件的同学，千万不要吝啬，花点小钱在自己的未来上是最值得的，
多少年来耗了大量时间和精力，现在既然势在必得，就不要在乎这一
刻。建议有条件的同学到这里用这
个软件训练速读，大概30个小时
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就能练出比较厉害的快
速阅读的能力，这是给我帮助非常大的学习技
巧，极力的推荐给大家.（给做了超链接，按住键盘左下角
Ctrl键，
然后鼠标左键点击本行文字）。
2、公式法。
A＋B＝A∪B＋A∩B
A∪B＝（A＋B）－A∩B
在国考题目中常用第二个公
式，其含义可以理解为：A∪B表示班级
的总人数，A表示数学好的学生，B表示英语好的学生，A∩B
表示既
数学好也英语好的学生。因此只要知道中间的几个量，剩余的量就可
以通过这个公式来求
得。
【例1】某班有50位同学参加期末考试，结果英文不及格的有15人
，
数学不及格的有19人，英文和数学都及格的有21人 。那么英文和数
学都不及格的有(
)人。
A. 4 B. 5 C.13 D. 17
【解析】先可以根据题目要求画出图
示，方便对于题目的理解。再根
据公式A∪B＝（A＋B）－A∩B可以列：50-21=15+19-
x，x=5，选B。
二、三个集合之间的容斥问题1、图示法。
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2、公式法。
A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C
【例2】外语学校有英语、法语、日语教师共 27 人，其中只能教英
语的有 8 人，
只能教日语的有 6 人，能教英、日语的有 5 人，能教法、日语的有
3
人，能教英、法语的有 4 人，三种都能教的有 2 人，则只能教法
语的有多少人（）
A.4 人 B.5 人 C.6 人 D.7 人
【解析】先根据题目要求画出图示：
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因为外语学校有英语、法语、日语教师共 27
人，27-(8+2+2+1+3+5)=6.
故答案为C。
对于数学运算中出现的容斥问题，只要会画出图示，并且记住公式，
那么题目就可以迎刃而解。
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