天津农学院录取分数线-页面崩溃

一、知识点
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1、集合与元素：把一类事物的全体放在 一起就形成一个集合。每个集合总是由一些成员
组成的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。
如：集合A={0，1，2，3，„„，9}，其中0，1，2，„9为A的元素。
2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，记作A∪
B，记号“∪ ”读作“并”。A∪B读作“A并B”，用图表示为图中阴影部分表示集合A，B的
并集A∪B。

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例：已知6的约数集合为A={1，2，3，6}，10的 约数集合为B={1，2，5，10}，则A∪B={1，
2，3，5，6，10}
3 、交集：A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，又属于B的元素，它们组成
的集合叫做A和 B的交集，记作“A∩B”，读作“A交B”，如图阴影表示：

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例：已知6的约数集合A={1，2，3，6}，10的约数集合B={1，2，5，10}，则A∩B={1，
2}。
4、容斥原理（包含与排除原理）：
（用|A|表示集合A中元素的个数，如A={1，2，3}，则|A|=3）
原理一：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进行：
第一步：先求出?A?+?B?（或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；
第二步：减去?A∩B?（即“排除”加了两次的元素）
总结为公式：|A∪B|=?A?+?B?-?A∩B?
原理二：给定三个集合A，B，C。要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进行：
第一步：先求?A?+?B?+?C?；
第二步：减去?A∩B?，?B∩C?，?C∩A?；
第三步：再加上?A∩B∩C?。
即有以下公式：
?A∪B∪C?=?A?+?B?+?C?-?A∩B?-?B∩C?- |C∩A|+|A∩B∩C?
二、例题分析：
例1 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。
分析：设A={20以内2的 倍数}，B={20以内3的倍数}，显然，要求计算2或3的倍数个
数，即求?A∪B?。
解1：A={2，4，6，„20}，共有10个元素，即|A|=10
B={3，6，9，„18}，共有6个元素，即|B|=6
A∩B={既是2的倍数又是3的倍数}={6，12，18}，共有3个元素，即|A∩B|=3
所以?A∪B?=?A?+?B?-?A∩B?=10+6-3=13，即A∪B中共有13个元素。
解2：本题可直观地用图示法解答

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如图,其中,圆A中放 的是不超过20的正整数中2的倍数的全体;圆B中放的是不超过20
的正整数中3的倍数的全体,其中 阴影部分的数6,12,18是既是2的倍数又是3的倍数的数(即
A∩B中的数)只要数一数集合A∪ B中的数的个数即可。

例2 某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人； 语文得90分以上的有21人；两科
中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有 多少人？
解：设A={数学成绩90分以上的学生}
B={语文成绩90分以上的学生}
那么，集合A∪B表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，
?A?=25，?B?=21，?A∪B?=38
现要求两科均在90分以上的学生人数，即求?A∩B?，由容斥原理得
?A∩B?=?A?+?B?-?A∪B?=25+21-38=8
点评：解决本题首先要根据题意，设出集合A，B，并且会表示A∪B，A∩B，再利用容斥
原理求解。
例3 某班同学中有39人打篮球，37人跑步，25人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少？
解：设A={打篮球的同学}；B={跑步的同学}
则 A∩B={既打篮球又跑步的同学}
A∪B={参加打篮球或跑步的同学}
应用容斥原理?A∪B?=?A?+?B?-?A∩B?=39+37-25=51（人）
例4 求在不超过100的自然数中，不是5的倍数，也不是7的倍数有多少个？
分析：这个问题与前几个例题看似不相同，不能直接运用容斥原理，要计算的是“既不是
5的倍数，也不 是7的倍数的数的个数。”但是，只要同学们仔细分析题意，这只需先算出“100
以内的5的倍数或7 的倍数的数的个数。”再从100中减去就行了。
解：设A={100以内的5的倍数}
B={100以内的7的倍数}
A∩B={100以内的35的倍数}
A∪B={100以内的5的倍数或7的倍数}
则有?A?=20，?B?=14，?A∩B?=2
由容斥原理一有：?A∪B?=?A?+?B?-?A∩B?=20+14-2=32
因此，不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数是：100-32=68（个）
点评：从以上 的解答可体会出一种重要的解题思想：有些问题表面上看好象很不一样，但
经过细心的推敲就会发现它们 之间有着紧密的联系，应当善于将一个问题转化为另一个问题。
例5 某年级的课外学科小组分 为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23人，
参加语文小组的有27人，参加外语小组的有 18人；同时参加数学、语文两个小组的有4人，
同时参加数学、外语小组的有7人，同时参加语文、外 语小组的有5人；三个小组都参加的
有2人。问：这个年级参加课外学科小组共有多少人？
解1：设A={数学小组的同学}，B={语文小组的同学}，C={外语小组的同学}，A∩B={数学、语文小组的同学}，A∩C={参加数学、外语小组的同学}，B∩C={参加语文、外语小组的同学}，< br>A∩B∩C={三个小组都参加的同学}
由题意知：?A?=23，?B?=27，?C?=18
?A∩B?=4，?A∩C?=7，?B∩C?=5，?A∩B∩C?=2
根据容斥原理二得：
?A∪B∪C?=?A?+?B?+?C?-?A∩B?-?A∩C|-?B∩C|+|A∩B∩C?
=23+27+18-（4+5+7）+2
=54（人）
解2： 利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数，然后求出最后结果。
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设A、B、C分别表示参加数学、语文、 外语小组的同学的集合，其图分割成七个互不相交
的区域，区域Ⅶ（即A∩B∩C）表示三个小组都参加 的同学的集合，由题意，应填2。区域Ⅳ
表示仅参加数学与语文小组的同学的集合，其人数为4-2=2 （人）。区域Ⅵ表示仅参加数学与
外语小组的同学的集合，其人数为7-2=5（人）。区域Ⅴ表示仅参 加语文、外语小组的同学的
集合，其人数为5-2=3（人）。区域Ⅰ表示只参加数学小组的同学的集合 ，其人数为23-2-2-5=14
（人）。同理可把区域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人数逐个算出，分别填 入相应的区域内，则参加
课外小组的人数为：
14+20+8+2+5+3+2=54（人）
点评：解法2简单直观，不易出错。由于各个区 域所表示的集合的元素个数都计算出来了，
因此提供了较多的信息，易于回答各种方式的提问。
例6 学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，< br>有52人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧（但不喜欢看电影）的有6
人，既 喜欢看电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有4人，三种都喜欢的有12人。问有
多少同学只喜欢看 电影？有多少同学既喜欢看球赛又喜欢看电影（但不喜欢看戏剧）？（假
定每人至少喜欢一项）
解法1：画三个圆圈使它们两两相交，彼此分成7部分（如图）这三个圆圈分别表示三种
不同爱好的同学的集合，由于三种都喜欢的有12人，把12填在三个圆圈的公共部分内（图
中阴影部分 ），其它6部分填上题目中所给出的不同爱好的同学的人数（注意，有的部分的人
数要经过简单的计算） 其中设既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为χ，这样，全班同学人数
就是这7部分人数的和，即
16+4+6+（40-χ）+（36-χ）+12=100
解得 χ=14
只喜欢看电影的人数为
36-14=22

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解法2：设A={喜欢看球赛的人}，B={喜欢看戏剧的人}，C={喜欢看电影的人}，依题 目的
条件有|A∪B∪C|=100，|A∩B|=6+12=18（这里加12是因为三种都喜欢的人 当然喜欢其中的
两种），|B∩C|=4+12=16，|A∩B∩C|=12，再设|A∩C|=12 +χ由容斥原理二：|A∪B∪C
|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|
得：100=58+38+52-（18+16+х+12）+12
解得：х=14
∴36-14=22
所以既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为14，只喜欢看电影的人数为22。
点评：解法1没有 用容斥原理公式，而是先分别计算出（未知部分设为х）各个部分（本
题是7部分）的数目，然后把它们 加起来等于总数，这种计算方法也叫“分块计数法”，它是
利用图示的方法来解决有关问题，希望同学们 能逐步掌握此类方法，它比直接用容斥原理公
式更直观，更具体。
例7、某车间有工人 100人，其中有5个人只能干电工工作，有77人能干车工工作，86
人能干焊工工作，既能干车工工 作又能干焊工工作的有多少人？
解：工人总数100，只能干电工工作的人数是5人，除去只能干电工工作的人，这个车间
还有95人。 利用容斥原理，先多加既能干车工工作又能干焊工工作的这一部分，其总数为

163，然 后找出这一公共部分，即163-95=68
例8、某次语文竞赛共有五道题（满分不是100 分），丁一只做对了（1）、（2）、（3）三题
得了16分；于山只做对了（2）、（3）、（4）三 题，得了25分；王水只做对了（3）、（4）、（5）
三题，得了28分，张灿只做对了（1）、（2 ）、（5）三题，得了21分，李明五个题都对了他得
了多少分？
解：由题意得：前五 名同学合在一起，将五个试题每个题目做对了三遍，他们的总分恰好
是试题总分的三倍。五人得分总和是 16+25+28+21=90。因此，五道题满分总和是90÷3=30。
所以李明得30分。
例9，某大学有外语教师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既教日语又教法语，
有4 名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名？
解：本题只有求出至少教英 、日、法三门课中一种的教师人数，才能求出不教这三门课的
外语教师的人数。至少教英、日、法三门课 中一种教师人数可根据容斥原理求出。根据容斥
原理,至少教英、日、法三门课中一种的教师人数为50 +45+40-15-10-8+4=106（人）不教这
三门课的外语教师的人数为120-106= 14（人）。