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精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级： 课 时 数：
学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课类型
T(容斥问题) C （容斥问题） T（容斥问题）
授课日期及时段
教学内容

1、周期问题都有哪些形式出现？
2、解决周期问题要注意些什么？



一、同步知识梳理
容斥原理：设A、B是两类有重叠部分的量，如果A对应的量为 a,B对应的量为b,A、B的重叠部分的对应量
为ab,则A、B两类量的总和是：a+b-ab

如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既
是A类又是B类的元素个数。（A∪B = A+B - A∩B)。
设A、B、C是三类有重叠部分的量，如果A对应的量为a,B对应的量为b,C对应的量为c,A、B的重叠部 分的
对应量为ab,、B、C的重叠部分的对应量为bc、A、C的重叠部分的对应量为ac,A、B、 C的重叠部分的对应量为
abc,则A、B、C三类量的总和是：a+b+c-ab-ac- bc+abc
容斥原理基本精神就是：减足了再加。加足了再减。

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如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类 元素个数+C
类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是 C类的元素个数+既是
A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）。
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为 了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，
这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情 况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数
时重复计算的数目排斥出去，使得计 算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

二、同步题型分析
例1、
一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那 么这个班
至少有一门得满分的同学有多少人？









例2、在一次运动会上，某班参加田赛的有15人，参加径 赛的有12人，既参加田赛又参加径赛的有7人，没有参
加比赛的有21人，这个班有多少人？









例 3、王老师出了两道数学题，全班40人中，第一题有30人做对，第二题有12人未做对，两题都对的有20人 ，
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第二题对而第一题不对的有几人？两题都不对的有几人？




例4、100名学生，有音乐爱好者53人，体育爱好者72人，那么 音乐、体育都爱好的至少有几人？至多有几人？





例5、张老师出了两道题，做对第一题的有13人，做对第二题的有22人，两道题都做对的有8人，这个班一 共有
多少人？



例6、学校运动会上，六（1）班同学有22 人参加拔河比赛，有12人参加迎面接力赛跑，有10人参加集体跳绳．其
中有6人既参加拔河比赛又参 加了接力赛跑，还有8人既参加了迎面接力赛跑又参加了集体跳绳．六（1）班同学
一共有多少人参加了 比赛？三项比赛都参加的同学至少有多少人？





三、课堂达标检测
1、47名学生参加了数学和语文考试，其中语文得100分的有12人， 数学得100分的有17人，两门都没得100分
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的有26人．问两门都得100分的有多少人？





2、三（3）班学生去嘟嘟城游玩，每人至少体验一种职业 ，其中体验当医生的有35人，体验当消防员的有21人，
两种职业都体验的有17人，三（3）班一共 有多少人？





3、某班共有48人，其中27人 会游泳，32人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三
项运动都会？





4、五年级数学兴趣小组中，有25人不是四年 级的学生，有26人不是五年级的学生，四、五年级参加数学兴趣小
组的共有33人．参加学校数学兴趣 小组的共有多少人？




5、有77名同学参加数学竞赛，分 两张考卷测试，答对A卷得60分，答对B卷得40分，已知考完后有50人答对
A卷，60人答对B卷 ，只有2人A、B卷都答错了，这次考试得40分的有多少人？得60分的有多少人？得100分
的有多 少人？
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一、专题精讲
例1、
有2000盏灯亮着，各有一根拉线开关，把这些开关编号为1，2，3，4，5，…… ，2000，有三位同学，
第一位同学把编号为2和2的倍数的开关均拉一下；第二位同学把编号为3和 3的倍数的开关均拉一下，第三位
同学把编号为5和5的倍数的开关均拉一下。这时，2000盏灯中还 有（ ）盏亮着。





例2、
某校六年级共有110人，参加语文、英语、数学三科活动小组，每人至少参加一组．已知参加语文小
组 的有52人，只参加语文小组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人；参加数学小组
的有63人，只参加数学小组的有21人．那么三组都参加的有多少人？




例3、
在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分 成了10等份、12等份和15等份。
如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？


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二、专题过关
1、三年级二班有25人，许多同 学参加了课外小组．参加音乐组的有12人，参加美术组的有10人，两个组
都没参加的有6人．既参加 音乐组又参加美术组的有多少？





2、某小学举 行数学、语文、常识三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，语文179人，常识165人．参
加两科的：数学、语文143人，数学、常识116人，语文、常识97人，三科都参加的：89人．问这个小 学参加竞
赛的总人数有多少人？




3、某班学生手 中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有
34
人，手中有黄旗的共有
26
人，手
中有蓝旗的共有
18
人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有< br>6
人．而手中只有红、黄两种小旗的有
9
人，手中只有
黄、蓝两种小旗 的有
4
人，手中只有红、蓝两种小旗的有
3
人，那么这个班共有多少人？
A
C
B



4、把两根木棍叠放在一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米， 中间重叠部分长12厘米，另一根
木棍长多少厘米？
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三、学法提炼
1、专题特点：
两个量或三个量的容斥问题。
2、
解题方法：
在一 些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简
单地把两个集 合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，
用式 子可表示成：
ABABAB
(其中符号“
“
”读作“并”，相当于中文 “和”或者“或”的意思；符号
”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除 原理，简称容斥原理．图示如下:
A
表
示小圆部分，
B
表示大圆部分 ，
C
表示大圆与小圆的公共部分，记为：
A
圆部分，
B
表示 大圆部分，
C
表示大圆与小圆的公共部分，记为：
A

B
，即阴影面积．图示如下:
A
表示小
B
，即阴影面积．
1．先包含——
AB

重叠部分
AB
计算了
2
次，多加了
1
次；
2．再排除——
ABAB

把多加了
1
次的重叠部分
AB
减去．

、B
的并集
A
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合
A
B
的元素的个数，可分以下两步进行：
、B
的元素个数，然后加起来，即先求
AB
(意思是把
A、B
的一切元素都“包含”进来，第一步：分别计算集合
A
加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去
CAB(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
3、注意事项：
如果被计数的事物有A、B 、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类
元素个数+C类元素个数- 既是A类又是B类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数- 既是B类又是C类的元素
个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数．


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一、 能力培养
综合题1：
在1至10000中不能被5或7整除的数共有多少个？







综合题2：
分母是1001的最简真分数有多少个.







综合题3：
某班共有30名男生,其中20人参加 足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没有一个人同时参
加3个队,且每人至少参加一个 队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既
参加足球队又参加排 球队的有 人.





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二、能力点评
学会画 出图形来表示两个或者三个对象之间的关系，利用田字格方块图来表示两个对象的容斥原理，掌握对
应数 在图形中的特定位置，利用三圆环交叉画来理解三个对象的容斥原理。

学法升华

一、 知识收获
两量重叠与三量重叠的容斥问题。
二、 方法总结
利用交集法分析解题的基本规律：
1.设A、B是两类有重叠部分的量，如果A对应的量为a ,B对应的量为b,A、B的重叠部分的对应量为ab,则A、
B两类量的总和是：a+b-ab


2.设A、B、C是三类有重叠部分的量，如果A对应的量为a,B对应 的量为b,C对应的量为c,A、B的重叠部分
的对应量为ab,、B、C的重叠部分的对应量为bc、 A、C的重叠部分的对应量为ac,A、B、C的重叠部分的对应量
为abc,则A、B、C三类量的总 和是：a+b+c-ab-ac-bc+abc
交集法基本精神就是：减足了再加。加足了再减。

用交集法解题实质上是用集合的思想考虑 数学问题，利用正确的图形直观表示题中条件，有助于我们对问题综合
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思考。

三、 技巧提炼
容斥是数学 中的重要关系，在杯赛中，经常会在综合问题中涉及容斥原理，比如容斥与排列组合，容斥与数论，
容斥 与最值。所以，大家一定要将本讲内容“吃透”、“练熟”，不但要会用公式，更要熟练掌握求三元图中某
块或某几块“面积”的技巧，这样，在杯赛中，遇到综合问题，才不会因为加入了容斥原理而“晕掉”。
课后作业
1、某班有50人，会游泳的有27人，会体操的有18人，都不会的有15人。问 既会游泳又会体操的有多少人？





2、在1～1000这1000个自然数中，不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少个？






3、某班全体学生进行短跑、游泳和篮球三项测验，有4个学生这三项均未达到优秀，其余每人至少一项 达到优秀，
这部分学生达到优秀的项目及人数如下表：
短跑
17人
游泳
18人
篮球
15人
短跑及游泳 游泳及篮球 短跑及篮球 三项
6人 6人 6人 2人
问这个班有多少名学生？



4、有100位学生回答A、B两 题。A、B两题都没回答对的有10人，有75人答对A题，83人答对B题，问有多少
人A、B两题都 答对？
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5、求从1到1994中不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数.




6、夏日的一天,有10个同学去吃冷饮.向服务员交出需 要冷饮的统计,数字如下,有6个人要可可；有5个人要咖
啡；有5个人要果汁；有3个人既要可可又要 果汁；有2个人要可可又要咖啡；有3个人要咖啡又要果汁；有1
个人既要可可、咖啡又要了果汁.求证 其中一定有一个人什么冷饮也没有要。



1、在自然数1至100中，有多少个奇数？多少个偶数？
2、想一想，如果按照奇数与偶数分类成两大类的话，那这两类数的运算结果都有哪些情况？


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