容斥原理讲义
冯曦妤-负责人翻译
骆老师教室
容斥原理例题
在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除
原理，
也称为容斥原理。为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的
初步知识。
在讨
论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在
一起考虑。如：A=｛五（1）班全体同学｝。我们
称一些事物的
全体为一个集合。A=｛五（1）班全体同学｝就是一个集合。
例1.
B=｛全体自然数｝=｛1，2，3，4，„｝是一个具体的有无限多
个元素的集合。
例2.
C=｛在1，2，3，„，100 中能被3
整除的数｝=｛3，6，9，12，„，
99｝是一个具有有限多个元素的集合。
例3. 通
常集合用大写的英文字母A、B、C、„表示。构成这个集合的
事物称为这个集合的元素。如上面例子中
五（1）班的每一位同
学均是集合A 的一个元素。又如在例1 中任何一个自然数都是集
合B
的元素。像集合B 这种含有无限多个元素的集合称为无限
集。像集合C 这样含有有限多个元素的集合
称为有限集。有限集
合所含元素的个数常用符合︱A︱、︱B︱、︱C︱、„表示。
例4.
记号A∪B 表示所有属于集合A 或属于集合B
的元素所组成的集
合，就是下边示意图中两个圆所覆盖的部分。集合A∪B
叫做集
合A与的并集。“∪”读作“并”，“A∪B”读
骆老师教室
A
B
例5. 设集合A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛2，4，6，8｝，
则A∪B=
｛1，2，3，4，6，8｝。元素2，4 在集合A、B
中都有，在并集
中只写一个。
记号A∩B 表示所有既属于集合A 也属于集合B
中的元素的全
体。就是上面图中阴影部分所表示的集合。即是由集合A、B
的
公共元素所组成的集合。它称为集合A、B
的交集。符号“∩”
读作“交”，“A∩B”读作“A 交B”。如例3
中的集合A、B，
则A∩B=｛2，4｝。
例6. 设集合I=｛1，3，5，7，9｝，
集合A=｛3，5，7｝，
A
=｛属于
集合，但不属于集合A
的全体元素｝=｛1，9｝。
我们称属于集合I 但不属于集合A 的元素的集合为集合A
在集
合I 中的补集（或余集），如下图中阴影部分表示的集合（整
个长方形表示集合I），常
记作
A
。
如例4 中
A
=｛1，9｝就是集合A在集合I 中的补集。
显然，A
和
A
没有公共元素，即A∩
A
=
（
表示空集，即
没有元素的集合）。
骆老师教室
A
A
此外，A∪
A
=I。
对于两个没有公共元素的集合A
和B，显然有
︱A∪B︱=︱A︱＋︱B︱。
例如，A=｛1，2，„，100｝，
B=｛101｝， 则
A∪B=｛1，2，„，100，101｝， A∩B=
，
所以︱A∪B︱=101=100＋1=︱A︱＋︱B︱。
如果集合A 与B
有公共元素，例如
A =｛1，2，„，100｝， B =｛90，91，„，101｝，则A∩B
=
｛90，91，„，100｝， A∪B=｛1，2，„，100，101｝。此时，
︱A∪
B︱与︱A︱＋︱B︱有什么关系呢？在这个例中，︱A∪B
︱=101，︱A︱＋︱B︱=100＋1
2=112，所以︱A∪B︱=︱A︱＋
︱B︱－11。
我们注意到，11 恰为A∩B
的元素个数，这是合理的，因为在
求︱A∪B︱时，90，91，„，100 这11
个数各被计入一次，而
在求︱A︱＋︱B︱时，这11
个数各被计入两次（即多算了一
次），并且这11 个数组成的集合恰为A∩B。因此得到：
︱A∪B︱=︱A︱＋︱B︱－︱A∩B︱ （1）【重要公式，两个集
合的容斥关系公式】
这就是关于两个集合的容斥原理：集合A 与B 的元素个数，等
于集合A
的元素个数与集合B 的元素个数的和，减去集合A 与B
骆老师教室
的交集的元素个数。
（1）
是容斥原理的第一个公式，我们还可以用下图来说明。如
图我们用N1、N2、N3 分别表示A∪B
中互不重叠的部分的元素
个数。
可见：︱A︱=N1＋N3，︱B︱=N2＋N3
，︱A∩B︱=N3，因此︱A
∪B︱=N1＋N2＋N3=（N1＋N2）+（N2＋N3）-N3=
︱A︱＋︱B︱
－︱A∩B︱。
我们知道，当集合A 与B 没有公共元素时，有
︱A∪B︱=︱A︱＋︱B︱。
实际上这是公式（1）的特殊情形，因为此时
︱A∩B︱=︱
︱=0
例7.
桌面上有两张圆纸片A、B。假设圆纸片A 的面积为30平方厘米，
圆纸片B 的面积为20
平方厘米。这两张圆纸片重叠部分的面积
为10 平方厘米，则这两张圆纸片覆盖桌面的面积由容斥原理
的
公式（1）可以算出为：︱A∪B︱=30+20-10=40（平方厘米）。
例8. 五
年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小
学生报。两种报纸都订的有多少人？
骆老师教室
分析 用左边的圆表示订少年报的64人
，右边的圆表示订小学
报的48人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。显然，两
种报刊都
订的人数被统计了两次：64＋48=112人，比总人数多
112－96=16人，这16人就是两种
报刊都订的人数。
例9. 某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有35人懂英
语
，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。这个学校共有多少名
教师？
分析 把懂英语和
懂日语的人数加起来得35＋34=69人，但是，
两种语言都懂的21人被统计过两次，应该从69里
去掉一个21才
能得出这个地区外语教师的总人数：69－21=48人。
例10. 学校开
展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球
组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人
，参加乒乓球组的有
86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、
乒
乓球组都不参加的有多少人？
分析 两个小组都参加的有25人，因此，至少参加这两种小组
的一个小组的人数是84＋86－25=144人，所以，这两个小组都
不参加的人数是250－14
4=106人。
骆老师教室
例11. 实验小学各年级都参加的
一次书法比赛中，四年级与五年级共有
20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五
年级
的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？
分析 由“16人不是四年级的”可知：1
6人是五年级和其他年
级的；由“12人不是五年级的”可知：12人是四年级和其它年
级的。
用16＋12可算出四年级加五年级以及两个其它年级的人
数和，再减去20就得两个其他年级的人数，
这样其他年级的人
数是：（16＋12－20）÷2=4人，该校参加书法比赛获奖的总人
数是
4＋20=24人。
例12. 在100个外语教师中，懂英语的有75人，懂日语的有45人，其中
必然有既懂英语又懂日语的老师。问：只懂英语的老师有多少
人？
分析 显然，两
种语言都懂的人在懂英语的75人中统计过一次，
在懂日语的45人中又统计过一次。因此，75＋45
=120人，比100
多出的20人就是两种语言都懂的人数。然后，从懂英语的75人
中减去
两种语言都懂的20人，就是只懂英语的人数了：75－
20=55人。
例13. 求在1
至100 的自然数中能被3 或7 整除的数的个数。
分析解这类问题时首先要知道在一串连续自然数中能被给定整
数整除的数的个数规律是：在n
个连续自然数中有且仅有一个
数能被n 整除。根据这个规律我们可以很容易地求出在1 至100
中能被3 整除的数的个数为33 个，被7 整除的数的个数为14
个，而其中被3 和7
都能整除的数有4 个。因而得到：
骆老师教室
解：设A=｛在1～100 的自然数中能被3 整除的数｝，
B=｛在1～100
的自然数中能被7 整除的数｝，
则A∩B=｛在1～100 的自然数中能被21 整除的数｝。
因为100÷3=33„1，所以︱A︱=33；
因为100÷7=14„2，所以︱B︱=14；
因为100÷21=4„16，所以︱A∩B︱=4。
由容斥原理的公式（1）：
︱A∪B︱=33+14-4=43。
答：在1～100 的自然数中能被3 或7 整除的数有43
个。
例14. 求在1～100 的自然数中不是5 的倍数也不是6
的倍数的数有多
少个？
分析如果在1～100 的自然数中去掉5 的倍数、6
的倍数，剩下
的数就既不是5 的倍数也不是6 的倍数，即问题要求的结果。
解：设A=｛在1～100 的自然数中5 的倍数的数｝
B=｛在1～100
的自然数中6 的倍数的数｝
则问题就是要求A∪B 在集合｛1，2，„，100｝中的补集
A
∪
B
的元素个数。为此先求︱A∪B︱。
因为100÷5=20，所以︱A︱=20
又因为100÷6=16„4，所以︱B︱=16
因为100÷30=3„10，所以︱A∩B︱=3
︱A∪B︱=︱A︱＋︱B︱－︱A∩B︱20＋16－3=33
所以
A
∪
B
=100－︱A∪B︱=100－33=67（个）
答：在1～100 的自然数中既不是5 的倍数又不是6 的倍数的
数共67 个。
骆老师教室
上面的例子是把一组事物按两种不同的性质来分类后，求具有
其中一种性质的元素个数问题。如果把一组事物按三种不同性
质来
分类后，求具有其中一种性质的元素个数的公式该是什么样的
呢？
我们仍用图形来说明它具有与公式（1）类似的公式：
︱A∪B∪C︱=︱A︱＋︱B︱＋︱C︱－︱A∩B︱－︱A∩C︱－
︱B∩C︱＋︱A∩B∩C︱，（2）【非常重要，三个集合的容斥
关系】
例题如下
例15. 假设有100人参加了三个兴趣小组。其中参加数学兴趣小组的有<
br>55人，参加语文兴趣小组的有65人，参加英语兴趣小组的有70
人，同时参加语文和数学兴趣
小组的人数是31人，同时参加数学
和英语兴趣小组的人数是40人，同时参加语文和英语兴趣小组的<
br>有25人，则三个兴趣小组都参加的人数是多少人？