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2020年国考行测笔试容斥问题中的最值问
法_师说公考-华图教育
容斥问题是公考中较为常见的一类题型，小伙伴们再练习
的时候也乐于做这类题型，常常感觉 这类题型的难度低，方法固
定，比较容易求解。但在2019年国考时，不少同学会发现原本
简 单的容斥问题变难了，因为之前我们学过的容斥问题往往直接
列方程求解即可，但是2019年的国考题 在设问中出现了 至少
两个字，同学们便无从下手了。
那么当容斥问题的设问中出现了 至多 、 至少 等最值问
法时，我们应该如何解题呢?我们常用的解法一般是设未知数列
出不 定方程，然后通过分析如何取最值的方法来求解。我们不妨
通过几道例题来总结一下这类题型的规律，希 望对大家有所帮
助。
【例1】(2018辽宁省公检法)某班在筹备联欢会时发现很多同学都会唱歌和乐器演奏，但有部分同学这2种才艺都不会。具
体有4种情况：只会唱歌，只会乐器 演奏，唱歌和乐器演奏都会，
唱歌和乐器演奏都不会。现知会唱歌的有22人，会乐器演奏的
有 15人，两种都会的人数是两种都不会的5倍。这个班至多有( )
人。
A. 27
B. 30
C. 33

D. 36
【思路点拨】分析题干我们可以发现这是一个两集合容斥
问题，设问中出现了 至多 这种最值问法。
那么我们可以设该班共有x人，唱歌和乐器演奏都不会的
有y人，则两种都会的有5y人，根 据二集合容斥公式可列出不
定方程：x-y=22+15-5y，化简得：x=37-4y。
要想x取值最大，则y应最小，因为题干中提到有部分同
学这2种才艺都不会，所以y最小取1而不能取 0;当取y=1时，
x=33，故这个班至多有33人。因此，选择C选项。
【例2】(2 019国考)有100名员工去年和今年均参加考核，
考核结果分为优、良、中、差四个等次。今年考核 结果为优的人
数是去年的1.2倍。今年考核结果为良及以下的人员占比比去年
低15个百分点 。问两年考核结果均为优的人数至少为多少人?
A. 55
B. 65
C. 75
D. 85
【思路点拨】本题是一个2集合的容斥问题，今年考核结
果为优的人可以看做一个集合，去年考核为优的人看做另一个集
合，设问中也出现了 至少 这种最值问法。
今年考核人数为良及以下的占比降低了15个百分点，则考

核结果为优的提高了15个百分点，两年的总人数均为100，即
今年考核结果为优的增加了1 00 15%=15(人)。设去年考核为优的
人数为n，则列方程1.2n-n =15，解得去年人数n=75，今年人数
是1.2 75=90(人)
设两年考核结果均 为优的人数为x，两年考核结果均不为
优的人数为y，根据两集合的容斥原理公式可列等式：
1 00-y=75+90-x;移项后可得x=65+y;根据等式可以分析出当y最
小时x最小，y最小 可以取0，此时x=65。因此，选择B选项。
【例3】(2015辽宁省考)有135人参加某单 位的招聘，31
人有英语证书和普通话证书，37人有英语证书和计算机证书，
16人有普通话 证书和计算机证书，其中一部分人有三种证书，
而一部分人则只有一种证书。该单位要求必须至少有两种 上述证
书的应聘者才有资格参加面试。问至少有多少人不能参加面试?
A. 51
B. 50
C. 53
D. 52
【思路点拨】本题是一个三集合容斥问题，设问中出现了
至少 这种最值问法。
设持有三种证书的人数为z，不能参加面试的人数为y，根
据 总人数- 不能参加面试人数=有资格参加面试人数 可列出不
定方程：135-y=31+37+16-2z;整 理后可得：y=51+2z;想要让y尽

量的小，那么需要z取最小值，根据 其中一部分人有三种证书
可知z最小值为1，因此当z=1时y最小，此时y=51+2=53(人) 。
因此，选择C选项。
【例4】(2013辽宁省考)有100人参加运动会的三个项目，
每人至少参加一项，其中未参加跳远的有50人，未参加跳高的
有60人，未参加跑赛的有70 人，问至少有多少人参加了不止一
项活动?
A.7
B.10
C.15
D.20
【思路点拨】本题是一个三集合容斥问题，设问中出现了
至少 这种最值问法。
分析题干我们可以知道参加了跳远、跳高、跑赛的人数分
别 为50、40、30。共有50+40+30=120(人次)参加了这次活动。
假设参加了一项、两项 、三项活动的分别有x人，y人、z人。
则可以列出不定方程组：

由于我们要 求的是y+z，因此消去x可得：y+2z=20;移项可
得y+z=20-z;想要y+z最小，需要 z最大;通过y+2z=20我们可以
分析出z最大可以取10，此时y+z=10最大。因此，本题选 择B

选项。
通过这几道容斥问题的解析我们大致了解了这类题的 解题
方法，即通过设未知数的方法列出不定方程，然后根据未知数取
最值的情况进行分析，得出 想要的答案。