小学奥数 容斥原理之数论问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
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7-7-4 容斥原理之数论问题
1.
了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容;
2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.
教学目标
知识要点
一、两量重叠问题
在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把
两
个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,
用式子可表示成:
ABABAB
(
其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”
或者“或”的意思;符号“”
读作“交”,相当于中文“且”的意思.)则称这一公式为包含与排除原理
,简称容斥原理.图示如下:
A
表示小圆
部分,
B
表示大圆部分,<
br>C
表示大圆与小圆的公共部分,记为:
A
部分,
B
表示大圆部
分,
C
表示大圆与小圆的公共部分,记为:
A
B
,
即阴影面
积.图示如下:
A
表示小圆
B
,
即阴影面积.
1.先包含——
AB
重叠部分
A
B
计算了
2
次,多加了
1
次; ABAB
包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合
A、B
的并集
A
B
的元素的个数,可分以下两步进行:
第一步:分别计算集合
A、B
的元素
个数,然后加起来,即先求
AB
(意思是把
AB
A、B
的一切元素
都“包含”进
1
来,加在一起);
第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减
去
CAB
(意思是“排除”了重复计算的元素个数).
二、三量重叠问题
A
类、
B
类与
C
类元素个数的总和
A
类元素的
个数
B
类元素个数
C
类元素个数
既是
A类又是
B
类
的元素个数
既是
B
类又是
C
类的元素个数
既是
A
类又是
C
类的元素个数
同时是
A
类、
B
类、
C
类的元
素个数.用符号表示为:
ABCABCABBCACABC
.图示如下:
p>
图中小圆表示
A
的元素的个数,中圆表示
B
的元素的个数
,
C
1.先包含:
ABC
重叠部分
AB
、<
br>BC
、
C
多加了
1
次.
A
重叠了
2
次,
2.再排除:
ABCABBCAC
ABC
3
在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考.
ABC
例题精讲
ABBCAC
ABCABBCACABC
【例 1】 在
1~100
的全部自然数中,不是
3
的倍数也不是
5
的倍数的数有多少个?
A
B
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如图,用长方形表示
1~100
的全部自然数,
A
圆表示
1~100
中
3
的倍数,
B
圆表示
1~100中
5
的倍
数,长方形内两圆外的部分表示既不是
3
的倍数也不是
5
的倍数的数.
由
1003331
可知,
1~100
中
3
的倍数有
33
个;由
100520
可知,
1~100
中
5
的倍数有
20
个;
由
10
0(35)610
可知,
1~100
既是
3
的倍数又是
5
的倍数的数有
6
个.
由包含排除法,
3
或
5
的倍数有:
3320647
(个).从而不是
3
的倍数也不是
5
的倍数的数有
1004753
(个).
【答案】
53
【巩固】 在自然数
1~100
中,能被
3
或
5
中任一个整除的数有多少个?
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】
1
003331
,
100520
,
100(35)610
.根据包含排除法,能被
3
或
5
中任一个整除的
数有
33
20647
(个).
【答案】
47
【巩固】
在前
100
个自然数中,能被
2
或
3
整除的数有多少个?
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如图所示,
A
圆内是前
100
个自然数中所有能被
2
整除的数,
B
圆内是前
100
个自然数中所有能被
3
整
除的数,C
为前
100
个自然数中既能被
2
整除也能被
3
整除的数.
前
100
个自然数中能被
2
整除的数有:
1
00250
(个).由
1003331
知,前
100
个自然
数中能被
3
整除的数有:
33
个.由
100(23)16有
16
个.
4
知,前
100
个自然数中既能被
2
整除也能被
3
整除的数
所以
A
中有50
个数,
B
中有
33
个数,
C
中有
16
个数.因为
A
,
B
都包含
C
,根据包含排除法
得到,
能被
2
或
3
整除的数有:
50331667<
br>(个).
【答案】
67
【例 2】
在从1至1000的自然数中,既不能被5除尽,又不能被7除尽的数有多少个?
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 1~100
0之间,5的倍数有
1000
=200个,7的倍数有
1000
=142个,因为既是5的倍数,又是
5
7
7的倍数的数一定是35的倍数,所以这样的数有<
br>
1000
=28个.
35
所以既不能被5除尽,又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个.
【答案】
686
【巩固】
求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数.
【考点】容斥原理之数论问题
【难度】2星 【题型】解答
【解析】 记 A:1~100中3的倍数,
1003
33
B:1~100中7的倍数,
100714
1
,有33个;
2
,有14个;
16
,有4个.
A
个.
B<
br>:1~100中3和7的公倍数,即21的倍数,
100214
依据公式,1~10
0中3的倍数或7的倍数共有
3314443
个,则能被3或7整除的数的个数为43<
br>【答案】
43
【例 3】
以105为分母的最简真分数共有多少个?它们的和为多少?
【考点】容斥原理之数论问题
【难度】4星 【题型】解答
【解析】 以105为分母的最简真分数的分子与105互质,10
5=3×5×7,所以也是求1到105不是3、5、7倍
数的数有多少个,3的倍数有35个,5的倍
数有21个,7的倍数有15个,15的倍数有7个,21的
倍数有5个,35的倍数有3个,105的
倍数有1个,所以105以内与105互质的数有
105-35-21-15+7+5+3-1=48个
,显然如果n与105互质,那么(105-n)与n互质,所以以105为分母
的48个最简真分数可
两个两个凑成1,所以它们的和为24.
【答案】
48
个,和
24
【巩固】 分母是385的最简真分数有多少个?并求这些真分数的和.
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 385=5
×7×11,不超过385的正整数中被5整除的数有77个;被7整除的数有55个;被11整除的
数
有35个;被77整除的数有5个;被35整除的数有11个;被55整除的数有7个;被385整除的
数有1个;最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数a3
85如果是最简真
分数的话,那么(385-a)385也是最简真分数,所以最简真分数可以每两个凑
成整数1,所以这些
真分数的和为120.
【答案】
240
个,
120
个
【例 4】
在1至2008这2008个自然数中,恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有 个.
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】西城实验
2008
2008
133
【解析】 1
到2008这2008个自然数中,3和5的倍数有
个,3和7的倍数有
21
95
个,5
15
2008
2008
和7的倍数有
个,
3、5和7的倍数有
57
105
19
个.所以,
恰好是3、5、7中两个数
35
的倍数的共有
1331995
195719228
个.
【答案】
228
个
【例 5】 求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯,4年级,第12题
【解析】 被
2
整除的有
50
个,被
3
整除的有
33
个,被
7
整除的有14
个
同时被
2
和
3
整除的有
16
个,同时被
2
和
7
整除的有
7
个,同时被
3
和
7
整除的有
4
个
同时被
2
和
3和
7
整除的有
2
个,
100
5033
1416742
1007228
个
【答案】28个。
【例 6】
在从1到1998的自然数中,能被2整除,但不能被3或7整除的数有多少个?
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】解答
a
7
【解析】 表示取商的整数部分.例
如,
2
3
.要注意的是,符号
与
、
、
、
符号一样,也是
b
一种运算,叫取整运算.
本题中,先求出能被2
整除的数有多少个,再分别求出能被2和3、能被2和7分别整除的数的个
数,那么用能被2整除的数的
个数减去能被2和3整除的数的个数,再减去能被2和7整除的
数的个数,所得的差是不是所求的得数
呢?仔细想想你会发现不是的,因为它多减了能同时被2、3、
7整除的数.
故能被2整除的有:
19982999
(个).
能被2和3同时整除的有:
[1998(23)]333
(个).
能被2和7同时整除的有:
[1998(27)]142
.
能被2、3、7同时整除的有:
[1998(237)]47
(个). 所以,能被2整除,但不能被3或7整除的数有
99933314247571
(
个).
【答案】
571
个
【例 7】 50名同学面向老师站
成一行.老师先让大家从左至右按1,2,3,…,49,50依次报数;再让报
数是4的倍数的同学向
后转,接着又让报数是6的倍数的同学向后转.问:现在面向老师的同学
还有多少名?
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】华杯赛,初赛,第13题
【解析】 在转过两次后,面向老师的同学分成两类:
第一类是标号既不是4的倍数,又不是6的倍数;第二类是标号既是4的倍数又是6的倍数.
1
~
50
之间,
4
的倍数有
50
=
12
,
6
的倍数有
50
=8
,即是
4
的倍数又是
6
的倍数的数一定
4
6
是
12
的倍数
,所以有
50
=
4
.于是,第一类同学有
50
-
12
-
8
+
4
=
34
人,第二
类同学有
4
人,
12
所以现在共
有
34
+
4
=
38
名同学面向老师.
【答案】
38
名
【例 8】 体育课上,60名学生面向老师站
成一行,按老师口令,从左到右报数:1,2,3,…,60,然后,
老师让所报的数是4的倍数的同学
向后转,接着又让 所报的数是5的倍数的同学向后转,最后让
所报的数是6的倍数的同学向后转,现在
面向老师的学生有________人。
【考点】容斥原理之数论问题
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】希望杯,六年级,二试,第
15
题,
4
分
【解析】 可知其中4的倍数有15个,5的倍数有12个,6的倍数有10个,同时是4和5的倍数的
有3个,
同时是5和6的倍数的有2个,同时是4和6的倍数的有5个,同时是4、5、6的倍数的数有
1
个,现在背向老师的有15+12+10-3-2-5+1=28个,面向老师的学生有60-28=
32人。转过两次的有:
3-1+2-1+5-1=7。最后面向老师的学生数=32+7=39个。
【答案】
39
个
【例 9】 有2000盏亮着的电灯
,各有一个拉线开关控制着,现按其顺序编号为1,2,3,…,2000,然后
将编号为2的倍数的灯
线拉一下,再将编号为3的倍数的灯线拉一下,最后将编号为5的倍数的
灯线拉一下,三次拉完后,亮着
的灯有多少盏?
A
2
E
D
G
C
5
F
B
3
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 三次拉完后,亮着的灯包括不是2、3、5的倍数的数以及是6、10、15的倍
数但不是30的倍数的数.1~
2000这2000个正整数中,2的倍数有1000个,3的倍数有6
66个,5的倍数有400个,6的倍数有
333个,10的倍数有200个,15的倍数有133个,
30的倍数有66个,亮着的灯一共有
2000-1000-666-400+2×(333+200+
133)-4×66=1002盏.
【答案】
1002
盏
【巩固】 2006盏亮着的电灯,各有一个拉线开关控制,按顺序编号为1,2,3,……,2006
。将编号为2的
倍数的灯的拉线各拉一下;再将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下,最后将编号为5的
倍数的灯
的拉线各拉一下。拉完后这着的灯数为( )盏。
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯,五年级,第11题,六年级,第11题
【解析】
因为灯在开始的时候是亮着的,所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的.这道题实际上是求
1到2006中不能被2、3、5整除的数和只能同时被2、3、5中2个数整除的数的总个数.
我们可以求得被2整除的数有
200621003
(盏),
被3整除的数有
200636682
,共668(盏),
被5整除的数有
200654011
,共401(盏).
其中,同时被2、3整除的数有
2006(23)3342
,共334(盏);
同时被3、5整除的有
2006(35)13311
,共133(盏);
同时被2、5整除的数有
2006(25)2006
,共200(盏);
p>
同时被2、3、5整除的数有
2006(235)6626
,共6
6(盏),所以,只能同时被2、3、5中2
个数整除的数的个数为
334133200
366469
(盏),不能被2、3、5整除的数的个数为
2006
1003668401
334133
200
66
535
(盏).所以,最后亮着的灯
一共为
4695351
(盏
0
).
【答案】
1004
盏
【巩固】 写有1到100编号的灯100
盏,亮着排成一排,每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关,第二次
把编号是5的倍数的灯拉一次开关
,那么亮着的灯还有多少盏?
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 因为灯在开始的时候是亮着的,所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的.没拉的灯有
100
100
100
100
100(
)100(33
206)53
(盏),拉两次的有
6
(盏),最后亮着的
353535
灯一共为
53659
(盏)
【答案】
59
盏
【例 10】 200名同学编为1至200号
面向南站成一排.第1次全体同学向右转(转后所有的同学面朝西);
第2次编号为2 的倍数的同学向
右转;第3次编号为3的倍数的同学向右转;……;第200次编号
为200的倍数的同学向右转;这时
,面向东的同学有 名.
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星
【题型】填空
【关键词】迎春杯,五年级,初赛,10题
【解析】
只有约数个数被
4
除余
3
的数,最后面向东.
约数个数为
3
的数有
2
2
、
3
2
、
5
2、
7
2
、
11
2
、
13
2
,
共
8
个数.
约数个数为
7
的数有
2
6
,
1
个, 约数个数为
15
的数有
3
2
2
4
144<
br>,
1
个
一共有
8
个满足条件的编号.
【答案】
8
名
【例 11】 下编号是1、2、3、……36号
的36名学生按编号顺序面向里站成一圈.第一次,编号是1的同学向
后转,第二次,编号是2、3的同
学向后转,第三次,编号是4、5、6的同学向后转,……,第36
次,全体同学向后转.这时,面向里
的同学还有________名.
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星
【题型】填空
【关键词】迎春杯,中年级,复试,10题
【解析】 整个过程中一共转了1
+2+3+4…+36=666人次,每转过72人次所有学生的朝向就会和原来一样,那
么666÷7
2=9…18,于是应该有18名同学面朝里,18名同学面朝外。
【答案】
18
名
【例 12】
在游艺会上,有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券.按奖券标签号发放奖品的规则如下:
(1)标签号为2的倍数,奖2支铅笔;
(2)标签号为3的倍数,奖3支铅笔;
(3)标签号既是2的倍数,又是3的倍数可重复领奖;
(4)其他标签号均奖1支铅笔.
那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 1~100,2的倍数有
100
=50,3的倍数有
100
=33个,因为既是2的倍数,又是3的倍数的数一
2
3
定是6的倍数,所以标
签为这样的数有
100
=16个.于是,既不是2的倍数,又不是3的倍
数的
6
数在1~100中有100-50-33+
16=33.所以,游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有:
50×2+33×3+33×1=232支
.
【答案】
232
支
【例 13】 在一根长木棍上,有三种
刻度线,第一种刻度线将木棍分成十等份;第二种将木棍分成十二等份;
第三种将木棍分成十五等份;如
果沿每条刻度线将木棍锯断,则木棍总共被锯成________段.
【考点】容斥原理之数论问题
【难度】3星 【题型】填空
【解析】 假设木棍长
60cm
,则沿第一种刻度
线锯成的木棍每段长
60106cm
,沿第二种刻度线锯成的木棍
每段长
60125cm
,沿第三种刻度线锯成的木棍每段长
60144cm
. 因为,沿三种刻度线可将木棍分别锯成10、12、15段;沿第一、二种重合的刻度线可将木棍锯成
60[6,5]2
段,沿第一、三种重合的刻度线可将木棍锯成
60[6,4]5<
br>段,沿第二、三种重合的刻
度线可将木棍锯成
60[5,4]3
段;沿三种
刻度重合的刻度线可将木棍锯成
60[6,5,4]1
段.应该
减去重复计算的沿
任意两种重合的刻度线锯成的段数,应加上多减去的沿三种刻度重合的刻度线锯
成的段数.所以,沿每条
刻度线将木棍锯断,则木棍总共被锯成
101215253128
段.
【答案】
28
段
【例 14】 一根101厘米长的木棒,从同
一端开始,第一次每隔2厘米画一个刻度,第二次每隔3厘米画一
个刻度,第三次每隔5厘米画一个刻度
,如果按刻度把木棒截断,那么可以截出 段.
【考点】容斥原理之数论问题
【难度】4星 【题型】填空
【关键词】101中学
【解析】 要求出截出的段数,应
当先求出木棒上的刻度数,而木棒上的刻度数,相当于1、2、3、…、100、
101这101个自然
数中2或3或5的倍数的个数,为:
101
101
101
101
101
101
101
2
3
5
23
<
br>25
35
23
5
74
,故木棒上共有74个刻度,可以截
出75段.
【答案】
75
段
【巩固】 一根1.8
米长的木棍,从左端开始每隔2厘米画一个刻度,涂完后再从左端开始每隔3厘米画一个刻<
br>度,再从左端每隔5厘米画一个刻度,再从左端每隔7厘米画一个刻度,涂过按刻度把木棍截断,
一共可以截成多少段小木棍?
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】
1.8
米长的木棍,按2厘米一段画出刻度,那么也就是说所有的偶数点都
已经划过了,即2、4、6、
8、10……共89个点,那么再画3的时候所有的偶数点都已经划过,那
么会多出30个点,即3、9、
15……,再画5的时候会多出来的点是5、25、35、55、65、
85、95、115、125、145、155、175,
共12个,最后画间隔7厘米的时候,会多出
7、49、77、91、119、133、161共7个点,那么所有
的刻度总和应该是
89
30127138
个,那么截断之后应该会有139段小木棍.
【答案】
139
段
11
【例 15】
在循环小数中类似于
0.142857
,
0.076923
等,循环节是
从小数点右边的第一位(即十分
713
位)就开始的小数,叫做纯循环小数,包
括
7
和
13
在内,共有
个正整数,其倒数是循环
节恰好为六位的纯循环小数。
【考点】容斥原理之数论问题
【难度】5星 【题型】填空
【关键词】学而思杯,6年级,1试,第4题
【解析】
根据容斥原理,
999999
的约数有
64
个,
999
的约
数有
8
个,
99
的约数有
6
个,
9
的约数
有
3
个,
所
求的
n
的个数为
64(863)53
(个)。
【答案】
53
个