凉拌青瓜-肥田粉

7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）



1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；
2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
教学目标
知识要点
一、两量重叠问题

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个 集合并集的元素的个数，不能简单地把
两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计 算的元素个数，即减去交集的元素个数，
用式子可表示成：
ABABAB
(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”
读作“交”，相当于中文 “且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:
A
表示小圆部分，
B
表示大圆部分，
C
表示大圆与小圆的公共部分，记为：
AB
，
即阴影面积．图示如下:
A
表示小圆
部分，
B
表示大圆部分，
C
表示大圆与小圆的公共部分，记为：
AB
，
即阴 影面积．


包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合
A、B
的并集
AB
的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集 合
A、B
的元素个数，然后加起来，即先求
AB
(意思是把
A、B
的一切元素都“包含”进
来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个 数，即减去
CAB
(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
1．先包含——
AB

重叠部分
AB
计算了
2
次，多加了
1
次；
2．再排除——
ABAB

把多加了
1
次的重叠部分
AB
减去．

二、三量重叠问题
A
类、
B
类与
C
类元素个数的 总和
A
类元素的个数
B
类元素个数
C
类元素个数
既是
A
类又是
B
类
的元素个数

既 是
B
类又是
C
类的元素个数

既是
A
类又 是
C
类的元素个数

同时是
A
类、
B
类、
C
类的元
素个数．用符号表示为：
ABCABCABBCAC ABC
．图示如下：
图中小圆表示
A
的元素的个数，中圆表示
B< br>的元素的个数，
大圆表示
C
的元素的个数．

1．先包含：
ABC

重叠部分
AB
、
BC< br>、
CA
重叠了
2
次，多加了
1
次．
2．再排除：
ABCABBCAC

重叠部分
ABC重叠了
3
次，但是在进行
ABC

ABBCAC
计算时都被减掉了．

3．再包含：
ABCABBCACABC
．
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．
例题精讲

模块一、三量重叠问题

【例 1】 一栋居 民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。如果该居民楼的住户只订了甲、乙、丙三种报
纸，其中甲报3 0份，乙报34份，丙报40份，那么既订乙报又订丙报的有___________户。
【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】 总共有（30＋34＋40）

2＝52户居民，订丙和乙的有52－30＝22户。
【答案】
22
户

【例 2】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三 种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有
34
人，手中有黄旗的共
有
26
人，手中有蓝旗的共有
18
人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有
6
人． 而手中只有红、黄
两种小旗的有
9
人，手中只有黄、蓝两种小旗的有
4
人，手中只有红、蓝两种小旗的有
3
人，那么
这个班共有多少人？
【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答
B
A
C

【解析】 如图，用
A
圆表示手中有红旗 的，
B
圆表示手中有黄旗的，
C
圆表示手中有蓝旗的．如果用手中有
红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，
手中有 三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：
（342618）（943 ）

6250
(人)．
【答案】
50
人

【巩固】 某班有
42
人，其中
26
人爱打篮球，
17人爱打排球，
19
人爱踢足球，
9
人既爱打篮球又爱踢足球，
4
人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打
篮球又爱打排球的有几人？
【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由于全班
42
人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有
42
人．根据包含排除法，
42（261719）（94
既爱打 篮球又爱打排球的人数
）0
，得到既爱打篮球又爱打排球的人数
为：
49 427
(人)．
【答案】
7
人

【例 3】 四年级 一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，
参加文艺 小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数
的7倍，既参加 文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小
组又参加语文小组的有1 0人．求参加文艺小组的人数．
【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设参加数学小组的学生组成集合A，参加语文小组的学生组成集合B，参加文艺小组的学生组 成集
合G．三者都参加的学生有z人．有
ABC
=46，
A
=24，
B
=20，
C
=3.5，
AC
=7
ABC
，
BC
=2
ABC
，
AB
=10．
因为
ABCABCABACBCABC
，
所以46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得x=3，
即三者的都参加的有3人．那么参加文艺小组的有3

7=21人．
【答案】
21
人

【巩固】 五年级三班学生参加课外兴趣小组， 每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35
人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小 组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，
参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自 然同时又参加语文兴趣小组的有9人，
语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生 人数．

【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答

A自然
B美术
C语文

【解析】 设参加自 然兴趣小组的人组成集合A，参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的人
组成集合C．

A
=25，
B
=35，
C
=27 ，
BC
=12，
AB
=8，
AC
=9，
ABC
=4.
ABC
=
ABCABACBCABC
.
所以，这个班 中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一项．即
这个班有62人．
【答案】
62
人

【巩固】 光明小学组织 棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有
42
人，
参 加中国象棋比赛的有
55
人，参加国际象棋比赛的有
33
人，同时参加了围棋 和中国象棋比赛
的有
18
人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有
10
人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛
的有
9
人，其中三种棋赛都参加的有
5
人，问参加棋类比赛的共有多少人？
【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 根据包含排除法，先把参加围棋比赛的
42
人，参加中国象 棋比赛的
55
人与参加国际象棋比赛的
33
人
加起来，共是
425533130
人．把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的
18
人，同时 参加围棋
和国际象棋的
10
人与同时参加中国象棋和国际象棋的
9
人 减去，但是，同时参加了三种棋赛的
5
人
被加了
3
次，又被减了3
次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有：
130（1810 9）598
(人)．
或者根据学过的公式：
ABCABCABBC ACABC
，参加棋类比赛的总
人数为：
425533181095 98
(人)．
【答案】
98
人

【例 4】 新年联 欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍
于只参加合唱 的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参
加演奏、跳舞但没有参 加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没
有参加演奏；40人参加了 合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有________人．
【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】西城实验
【解析】 设只参加合唱的有
x
人，那么只参加跳舞的人数为
3x
，由
50
人没有参加演奏、< br>10
人同时参加了跳
舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和 为
501040
人，即
x3x40
，得
x10
， 所以只参加合唱的有
10
人，那么只参加跳舞的人数为
30
人，又由“同时参 加
三种节目的人比只参加合唱的人少
7
人”，得到同时参加三项的有
3
人，所以参加了合唱的人中“同时
参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”有：
40101 0317
人．
【答案】
17
人

【巩固】 六年级 100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项．其中，爱好体育的55人，爱
好文艺的5 6人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育
和文艺的17人 ．问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？
【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 只是A类和B类的元素个数，有别于容斥原理Ⅱ中的既是 A类又是B类的元数个数．依题意，画图
如下．设只爱好科学和文艺两项的有
x
人．由 容斥原理，列方程得
555651（1715）（415）（x15）15100

即
5556

5117x4152
111x100


x11
只爱好体育的有：
551715419
(人)．
【答案】
11
人只爱好科学和文艺，
19
人只爱好体育。

【例 5】 在某个风和日丽的日子，
10
个同学相约去野餐，每个人 都带了吃的，其中
6
个人带了汉堡，
6
个人
带了鸡腿，
4< br>个人带了芝士蛋糕，有
3
个人既带了汉堡又带了鸡腿，
1
个人既带了鸡 腿又带了芝士
蛋糕．
2
个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕．问：
⑴ 三种都带了的有几人？
⑵ 只带了一种的有几个？
【考点】三量重叠问题 【难度】4星 【题型】解答
A
B
C

【解析】 如图，用< br>A
圆表示带汉堡的人，
B
圆表示带鸡腿的人，
C
圆表示带芝士 蛋糕的人．
⑴ 根据包含排除法，总人数
（
带汉堡的人数

带鸡 腿的人数

带芝士蛋糕的人数
）（
带汉堡、鸡
腿的人数

带汉堡、芝士蛋糕的人数

带鸡腿、芝士蛋糕的人数
）
三种都带了 的人数，即
10（664）（321）
三种都带了的人数，得三种都带了的人数 为：
10100
(人)．
⑵ 求只带一种的人数，只需从10人中减去带了两种 的人数，即
10（321）4
(人)．只带了一种
的有
4
人 ．
【答案】（1）0人，（2）
4
人

【巩固】 盛夏的一天， 有
10
个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的
各有
5
人；可乐、雪碧都要的有
3
人；可乐、橙汁都要的有
2
人；雪碧、橙汁都要的有
2
人；三样都
要的只有
1
人，证明其中一 定有
1
人这三种饮料都没有要．
【考点】三量重叠问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 略
【答案】根据根据包含排除法，至少要了一种饮料的人数

(要可乐的人数

要雪碧的人数

要橙汁的人
数)
(要可乐、雪碧的人数

要可乐、橙汁的人数

要雪碧、橙汁 的人数)

三种都要的人数，即至
少要了一种饮料的人数为：
（555） （322）19
(人)．
1091
(人)，所以其中有
1人这三种
饮料都没有要．


【例 6】 全班有
25
个学生，其中
17
人会骑自行车，
13
人会游泳，
8
人会滑 冰，这三个运动项目没有人全会，
至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若 全班有
6
个人数学不及格，
那么，⑴ 数学成绩优秀的有几个学生？
⑵ 有几个人既会游泳，又会滑冰？
【考点】三量重叠问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 ⑴ 有
6
个数学不及格，那么及格的有：
25619
(人)，即最多不会超过
19
人会这三项运动之一．而
又因为没人全会这三项运动，那 么，最少也会有：于
（17138）219
(人)至少会这三项运动之一．
是 ，至少会三项运动之一的只能是
19
人，而这
19
人又不是优秀，说明全班< br>25
人中除了
19
人外，剩
下的
6
名不及格，所以没 有数学成绩优秀的．
⑵ 上面分析可知，及格的
19
人中，每人都会两项运动：会骑 车的一定有一部分会游泳，一部分会滑
冰；会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰，而会滑冰的人中若不 会骑车就一定会游泳，但既会
游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车．所以，全班有
1917 2
(人)既会游泳又会滑冰．
【答案】（1）0人，（2）
2
人

【巩固】 五年级一班共有
36
人，每人参加一个兴趣小组，共有
A
、
B
、
C
、
D
、
E
五个小组，若参加A
组
的有
15
人，参加
B
组的人数仅次于
A< br>组，参加
C
组、
D
组的人数相同，参加
E
组的人数最 少，只
有
4
人．那么，参加
B
组的有_______人．
【考点】三量重叠问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 参加
B< br>，
C
，
D
三组的总人数是
3615417
(人 )，
C
，
D
每组至少
5
人，当
C
，
D
每组
6
人时，
B
组为
5
人，不符合题意，所 以参加
B
组的有
17557
(人)．
【答案】
7
人

【例 7】 五一班有28位同学，每人至少参加 数学、语文、自然课外小组中的一个．其中仅参加数学与语文
小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没 有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学
参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文 与自然小组的人数是3个小组全参加的人数

的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一 个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人
有多少人？
【考点】三量重叠问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 参加3个小组的人数是一个不为0的偶数，如果该数大于 或等于4，那么仅参加语文与自然小
组的人数则大于等于20，而仅参加数学与自然小组的人有6个，这 样至少应有30人，与题意
矛盾，所以参加3个小组的人数为2．仅参加语文与自然小组的人数为10， 于是仅参加语文与
自然、仅参加数学与自然和参加3个小组的人数一共是18人，剩下的10人是仅参加 数学与语
文以及仅参加数学的．由于这两个人数相等，所以仅参加数学和语文小组的有5人．
【答案】
5
人

【例 8】 在一个自助果园里，只摘山莓者两倍 于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的
人数多
3
个；只摘草莓者比 摘了山莓和草莓但没有摘李子者多
4
人；
50
个人没有摘草莓；
11
个人
摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有
60
人摘了李子.如果参与采摘水 果的总人数是
100
，你能回
答下列问题吗？
① 有 人摘了山莓；
② 有 人同时摘了三种水果；
③ 有 人只摘了山莓；
④ 有 人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；
⑤ 有 人只摘了草莓. < br>山莓
A
E
G
B
F
草莓
C
李子
D
【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 如图，根据题意有
A2C

GC3

BE4

ADC50

D11

CDFG60

ABE40

代入求解：
A26
，
B9
，
C13
，
D11
，
E5
，
F20
，
G16

所以①有
ADEG261151658
(人)摘了山莓；
②有
16
人同时摘了三种水果；
③有
26
人只摘了山莓；
④有
20
人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；
⑤有
9
人只摘了草莓.
【答案】①有
58
(人)摘了山莓；②有
16
人同时摘了三种水果；
③有
26
人只摘了山莓；④有
20
人摘了李子和草莓，而没有摘山莓 ；
⑤有
9
人只摘了草莓.

【例 9】 某学校派出若干名学生 参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪
三个项目的人数分别为10、1 5、20人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之
一的人还参加了别的比赛项目，求 这所学校一共派出多少人参加比赛？
体育55人
17
文艺56人
15
x
4
科学51人

【考点】三量重叠问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 由条件可知，参加长跑的人中有2人参加其它项目，参加跳高的人中有3人参 加其它项目，参加标
枪的人中有4人还参加别的项目，假设只参加长跑和跳高的人数为x，只参加长跑和 标枪的人数为y，

只参加标枪和跳高的有z人，三项都参加的有n人.那么有以下方程组：
由条件可知，参加长跑的人中有2人参加其它项目，参加跳高的人中有3人
参加其它 项目，参加标枪的人中有4人还参加别的项目，假设只参加长跑和跳高的人数为x，只参加
长跑和标枪的 人数为y，只参加标枪和跳高的有z人，三项都参加的有n人.那么有以下方程组：

xyn2

xzn3






zyn4
将3条等式相加则有2（x+y+z）+3n =9，由这个等式可以得到，n必须是奇数，所以，n只能是1或
3、5、7……，如果n≥3时x、y 、z中会出现负数.所以n=1，这样可以求得x=0，y=1，z=2.由此可得
到这个学校一共派出 了10+15+20-0-1-2-2×1=40人.
将3条等式相加则有2（x+y+z）+3n= 9，由这个等式可以得到，n必须是奇数，所以，n只能是1或
3、5、7……，如果n≥3时x、y、 z中会出现负数.所以n=1，这样可以求得x=0，y=1，z=2.由此可得
到这个学校一共派出了 10+15+20-0-1-2-2×1=40人.
【答案】
40
人

模块二、四个量的重叠问题

【例 10】 养牛场有2007头黄牛和水牛，其中母牛1105头，黄牛1506头，公水牛200头，那么母黄牛有
头。
【考点】四个量的重叠问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】 解：公牛有2007-1105=902头，公 黄牛有902-200=702头，母黄牛有1506-702=804头
【答案】
804
头

【例 11】 一个书架上有数学、语文、英 语、历史4种书共35本，且每种书的数量互不相同。其中数学书和
英语书共有l6本，语文书和英语书 共有17本：有一种书恰好有9本，这种书是 书。
【考点】四个量的重叠问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，四年级，初赛，5题
【解析】 如果 数学书有x本，那么英语书有16-x本，语文书有17-（16-x）=x+1本，历史书为
35-( x+16-x+x+1)=18-x本，其中有可能出现相等的有x和16-x，x和18-x因为它们奇偶性相 同.为了
不相等，x≠8且x≠9，有此得到16-x不等于8和7，x+1不等于9和10，18-x 不等于10和9，只有
16-x可以等于9，所以英语书有9本.
【答案】英语