形容词和副词-天波府风云

第11讲 容斥原理
知识要点：
一、两量重叠问题
在一些计数问 题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个
数，不能简单地把两个集合的元素 个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的
元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示 成：
ABABAB
(其中符号“”
读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的 意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”
模块一、两量重叠问题
1. 实验小学四年级 二班，参加语文兴趣小组的有
28
人，参加数学
兴趣小组的有
29
人 ，有
12
人两个小组都参加．这个班有多少人
AC
B
参加了语文或数 学兴趣小组？




2. 芳草地小学四年级有
58< br>人学钢琴，
43
人学画画，
37
人既学钢琴又学画画，问只学钢
的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:
A
表示小圆部分，< br>
B
表示大圆部分，
C
表示大圆与小圆的公共部分，记为：
A B
，即阴影面积．图示如下:
A


表示小圆部分，
B表示大圆部分，
C
表示大圆与小圆的公共部分，记为：
AB
，即阴影3.
面积．
1．先包含——
AB


重叠部分
AB
计算了
2
次，多加了
1
次；


2．再排除——
ABAB



把多加了
1
次的重叠部分
AB
减去．

4.
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合
A、B
的并集
AB
的元素的个数，可分以下两
步进行：第一步：分别计算集合
A、B
的元素个数，然后加 起来，即先求
AB
(意思是把
A、B

的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，


即减去
CAB
(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
5.
二、三量重叠问题

A
类、
B
类与
C
类元素个数的总和
A
类元素的个数
B
类元素个数
C
类元素个数

既

是
A
类又是
B
类的元素个数

既是
B
类又是
C
类的元素个数
< br>既是
A
类又是
C
类的元素个

数

同时是
A
类、
B
类、
C
类的元素个数．用符号表示为：
ABCABCABBCA
．图示如下：
C

6.
图中小圆表示

A
的元素的个数，中圆表示
B
的元素的个数，
大圆表示
C
的元素的个数．




1．先包含：
ABC



重叠部分
AB
、
BC
、
CA
重叠了
2
次，多加了
1
次．
7.


2．再排除：
ABCABBCAC


重叠部分

ABC
重叠了
3
次，但是在进行
ABC

ABBCAC
计算时都被减掉了．

3．再包含：
ABCABBCACABC
．

琴和只学画画的分别有多少人？
某班共有
46
人，参加美术小组的有12
人，参加音乐小组的有
23
人，有
5
人两个小组都
参加了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？
四年级一班有
45
人，其中
26
人参加了数学竞赛，
22
人参加了作文比赛，
12人两
项比赛都参加了．一班有多少人两项比赛都没有参加？
实验二校一个歌舞表演队里 ，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都
能表演的有7人．这个表演队共有多少人能登 台表演歌舞？
某次英语考试由两部分组成，结果全班有
12
人得满分，第
一 部分有
25
人做对，第二部分有
19
人有错，问两部分都有
只做两部
只做
错的有多少人？
对第
分全
对第
一部
对的
二部

分的分的< br>两部分都有错的
对全班同学调查发现，会游泳的有
20
人，会打篮球的有
25
人．两项都会的有
10
人，
两项都不会的有
9
人．这 个班一共有多少人？

会
两
会
游
项
打
泳
都
篮
的
会
球
A
的
B
的
两 项都不会的

8. 某班组织象棋 和军棋比赛，参加象棋比赛的有
32
人，参加军棋比赛的有
28
人，有
18
人
两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？

只参

两项
加象
只参
比赛

棋比
加军
都参
赛的
棋比
加的
赛的

A
B

9. 在
46
人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有
18
人，既采了樱桃又采了杏的有
7
人，既
没采樱桃又没采杏的有< br>6
人，问：只采了杏的有多少人？



既采

A
樱桃
又采
B

杏的

既没采樱桃

又没采杏的

10. 甲、乙、丙三个小组学雷锋，为 学校擦玻璃，其中
68
块玻璃不是甲组擦的，
52
块玻
璃不是乙组擦 的，且甲组与乙组一共擦了
60
块玻璃．那么，甲、乙、丙三个小组各擦
了多少块玻璃 ？


11. 育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的， 有15幅画不是五年
级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？


乙丙
甲

A
B

12.
47
名学生参加数学和语文考试，其中语文得分
95
分以上的
14
人，数 学得分
95
分以上的
21
人，两门都不在
95
分以上的有< br>22
语文
两门
数学
95分
95分
95分
人． 问：两门都在
95
分以上的有多少人？
以上
以上
以上
的
的
的

A
两门都不在
B

95分以上的

13. 科技活 动小组有
55
人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，
老师到 时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有
40
人，制作好一艘舰艇的同学有
32人．每个同学都至少完成了一项制作．问两项制作都完成的同学有多少人？


14. 有
100
位旅客，其中有
10
人既不懂英语又不懂俄语，有
75
人懂英语，
83
人懂俄语．问
既懂英语又懂俄语的有多少人？



15. 一次数学测验，甲答错题目总数的
1
4，乙答错3道题，两人都答错的题目是题目总数
的
1
6
．求甲、乙都答对 的题目数.


模块二、三量重叠问题
16. 某班有
42人，其中
26
人爱打篮球，
17
人爱打排球，
19
人爱 踢足球，
9
人既爱打篮球
又爱踢足球，
4
人既爱打排球又爱踢足球， 没有一个人三种球都爱好，也没有一个人
三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？



17. 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有 红旗的共有
34
人，手中
有黄旗的共有
26
人，手中有蓝旗的共有< br>18
人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有
6
人．而手中只有红、黄两种小旗 的有
9
人，手中只有黄、蓝两种小旗的有
4
人，手中
只有红、蓝两种 小旗的有
3
人，那么这个班共有多少人？




18. 四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参
加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5
倍，又是3项活动都 参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于
3项都参加的人数的2倍，既参加数学小 组又参加语文小组的有10人．求参加文艺
小组的人数．



19. 五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然
兴趣小 组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又
参加美术兴趣小组的有12人 ，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参
加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术 、自然3科兴趣小组都参
加的有4人．求这个班的学生人数．（6级）

20. 光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛
的有
42< br>人，参加中国象棋比赛的有
55
人，参加国际象棋比赛的有
33
人，同 时参加了
围棋和中国象棋比赛的有
18
人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有
10
人，同时参加
了中国象棋和国际象棋比赛的有
9
人，其中三种棋赛都参 加的有
5
人，问参加棋类比
赛的共有多少人？


21. 新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳
舞的人数三倍于只参 加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7
人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但 没有参加合唱的人多4人；50人没有参
加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人 参加了合唱；那么，同
时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有________人．


22. 五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人< br>参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的
3.5倍，又是三 项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人
数相当于三项都参加人数的2倍，既参加 绘画小组又参加合唱小组的有10人，
求参加朗诵小组的人数．



23. 六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项．其中，爱好体育
的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和
科学的4人，只 爱好体育和文艺的17人．问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只
爱好体育的有多少人？



24. 在某个风和日丽的日子，
10
个同学相约去野餐，每个 人都带了吃的，其中
6
个人带了
汉堡，
6
个人带了鸡腿，
4
个人带了芝士蛋糕，有
3
个人既带了汉堡又带了鸡腿，
1
个
人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕．
2
个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕．问：⑴ 三种都
带了的有几人？⑵ 只带了一种的有几个？




25. 盛夏的一天，有
10
个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表： 要可乐、
雪碧、橙汁的各有
5
人；可乐、雪碧都要的有
3
人；可乐、 橙汁都要的有
2
人；雪碧、
橙汁都要的有
2
人；三样都要的只有1
人，证明其中一定有
1
人这三种饮料都没有要．
26. 全班有25
个学生，其中
17
人会骑自行车，
13
人会游泳，
8
人会滑冰，这三个运动项目
没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但 又都不是优秀．若
全班有
6
个人数学不及格，那么，⑴ 数学成绩优秀的有几个学生？⑵ 有几个人既会
游泳，又会滑冰？



27. 五年级一班共有
36
人，每人参加一个兴趣小组，共有
A
、
B
、
C
、
D
、
E
五个小组，
若参 加
A
组的有
15
人，参加
B
组的人数仅次于
A组，参加
C
组、
D
组的人数相同，参
加
E
组的 人数最少，只有
4
人．那么，参加
B
组的有_______人．



28. 五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个 ．其中仅参
加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加
自然小组，恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然
小组的人数是3个小 组全参加的人数的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个
不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小 组的人有多少人？



29. 在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只 摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比
只摘李子的人数多
3
个；只摘草莓者比摘了 山莓和草莓但没有摘李子者多
4
人；
50
个
人没有摘草莓；
11
个人摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有
60
人摘了李子.如果参
与采 摘水果的总人数是
100
，你能回答下列问题吗？
① 有 人摘了山莓；
山莓
② 有 人同时摘了三种水果；
A
③ 有 人只摘了山莓；
E
G
D
④ 有 人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；
B
F
C
⑤ 有 人只摘了草莓.
草莓
李子



30. 某学校派出若 干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、
跳高、标枪三个项目的人数分别为 10、15、20人，长跑、跳高、标枪每一项的的参
加选手中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛 项目，求这所学校一共派出多少人
参加比赛？

体育55人
17
文艺56人

15

4
x
科学51人

模块三、图形中的重叠问题
31. 长
38
厘米和
53
厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长
4
厘米，焊接后这根
铁条有多长？


32. 把长
23
厘米和
37
厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长
3
厘米 ，焊接后这
根铁条有多长？


33. 两张长
4
厘米， 宽
2
厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在
4
桌面上，覆盖面积有多 少平方厘米？
厘

米

2厘米
34. 如图，一张长8
厘米，宽
6
厘米，另一个正方形边长为
6
厘米，它们中间重叠 的部分是
图3
一个边长为
4
厘米的正方形，求这个组合图形的面积．
8


6
4

6

35. 一个 长方形长
图3
12
厘米，宽
8
厘米，另一个长方形长
10< br>厘米，宽
6
厘米，它们中间重叠
的部分是一个边长
4
厘米的正 方形，求这个组合图形的面积．
12


8
4

6

10
36. 三个面积均为
50
平方厘米的圆纸片放在 桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是
10
平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100
厘米．问：图中阴影部分面积之和是
多少？


A
B
10


C

37. 如图，三角形 纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影
部分的面积总和是40平方厘米， 3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠
部分的面积是多少平方厘米？



38. 如图所示，
A
、
B
、
C分别是面积为
12
、
28
、
16
的三张不同形状的纸片 ，它们重叠在
一起，露在外面的总面积为
38
．若
A
与
B< br>、
B
与
C
的公共部分的面积分别为
8
、
7< br>，
A
、
B
、
C
这三张纸片的公共部分为
3< br>．求
A
与
C
公共部分的面积是多少？


B
A


C
模块四、容斥原理在数论问题中的应用
39. 在
1~100
的全部自然数中，不是
3
的倍数也不是
5
的倍数的数有多少个？


40. 在自然数
1~100中，能被
3
或
5
中任一个整除的数有多少个？


41. 在前
100
个自然数中，能被
2
或
3
整除的数有多少个？


42. 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?


43. 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．

44. 以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？



45. 分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.



46. 在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有 个．


47. 在从1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个？


48. 50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：
现在面向老 师的同学还有多少名?

49. 有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着， 现按其顺序编号为1，2，3，…，
2000，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍 数的灯线拉一下，最
后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？


50. 写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉 一次
开关，第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？



51. 在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发 放奖
品的规则如下：那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?
（1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔；（2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；
（3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；（4）其他标签号均奖1支铅笔．



52. 在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份；第二 种将木棍分
成十二等份；第三种将木棍分成十五等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总
共被锯成________段．



53. 一根101厘米长的木棒， 从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔
3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个 刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可
以截出 段．



54. 一根
1.8
米长的木棍，从左端开始每隔2厘米画一个刻度，涂完后再从左端 开始每隔3
厘米画一个刻度，再从左端每隔5厘米画一个刻度，再从左端每隔7厘米画一个刻度，
涂过按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？


模块五、容斥原理中的最值问题
55. 将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个 大小相同的圆分割成的13个区域
中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最 大是多少？


56. 如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段 上恰有1994个点被染成
红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个?



57. 某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球． 那么，
这个班至少有多少学生这三项运动都会？


58. 某班有
50
名学生，参加语文竞赛的有
28
人，参加数学竞赛的有
23
人 ，参加英语竞赛
的有
20
人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有 人．


59. 60人中有
2
的人会打乒乓球，
3的人会打羽毛球，
4
345
的人会打排球，这三项运动都会
的人有
22
人，问：这三项运动都不会的最多有多少人？


60. 图书室 有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签
名的分别有33，44 和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙
签名的图书为25本，同时有乙、丙签 名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本
没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?




61. 甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事．每 个人都从某一个故事开始，
按顺序往后读．已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故 事．那么
甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?


62. 在阳 光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，
乙浇了75盆，丙浇了 80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少
盆？恰好被1个人浇过的花最多有多少盆 ？


63. 甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68 盆，丙浇了58盆，
那么3人都浇过的花最少有多少盆?