腾空而起-雾中的大海

容斥原理之重叠问题（一）


教学目标

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；
2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
知识要点

一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素 个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把
两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个 数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，
用式子可表示成：
ABAB AB
(
其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”
读作 “交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:
A< br>表示小圆
部分，
B
表示大圆部分，
C
表示大圆与小圆的公共部 分，记为：
AB
，
即阴影面积．图示如下:
A
表示小圆
部分 ，
B
表示大圆部分，
C
表示大圆与小圆的公共部分，记为：
AB，
即阴影面积．


包含与排除原理告诉我们，要计 算两个集合
A、B
的并集
AB
的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合
A、B
的元素个数，然后加起来，即先求
AB
(意思 是把
A、B
的一切元素都“包含”进
来，加在一起)；
第二步：从上面的和 中减去交集的元素个数，即减去
CAB
(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
1．先包含——
AB

重叠部分
AB
计算了
2
次，多加了
1
次；
2．再排除——
ABAB

把多加了
1
次的重叠部分
AB
减去．

二、三量重叠问题
A
类、
B
类与
C
类元素个数的 总和
A
类元素的个数
B
类元素个数
C
类元素个数
既是
A
类又是
B
类
的元素个数

既 是
B
类又是
C
类的元素个数

既是
A
类又 是
C
类的元素个数

同时是
A
类、
B
类、
C
类的元
素个数．用符号表示为：
ABCABCABBCAC ABC
．图示如下：
图中小圆表示
A
的元素的个数，中圆表示
B< br>的元素的个数，
大圆表示
C
的元素的个数．

1．先包含：
ABC

重叠部分
AB
、
BC< br>、
CA
重叠了
2
次，多加了
1
次．
2．再排除：
ABCABBCAC

重叠部分
ABC重叠了
3
次，但是在进行
ABC

ABBCAC
计算时都被减掉了．

3．再包含：
ABCABBCACABC
．
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．

例题精讲


1

两量重叠问题

【例 1】 小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、 音乐、陶艺、跳
绳。用圆A、圆B分别表示小明、小英的爱好，如图所示，则图中阴影部分表示____ ____。
A
B
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第3题
【解析】 阴影部分是两人都爱好的：数学、音乐
【答案】数学、音乐

【例 2】 四（1）班全体同学站成一排，当从左向右报数 时，小华报：18；当从右向左报数时，小华报：13.
那么该班有学生______________ 名。
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第2题
【解析】 该班学生人数为：
1813130
（名）。
【答案】
30
名

【例 3】 实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有
28
人，参加数 学兴趣小组的有
29
人，有
12
人两个小
组都参加．这个班有多少人 参加了语文或数学兴趣小组？

AC
B
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 如图所示，
A
圆表示参加语文兴趣小组 的人，
B
圆表示参加数学兴趣小组的人，
A
与
B
重合的部分
C
(阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中
A
圆不含阴影的部分表示只 参加语文兴趣小组未参
加数学兴趣小组的人，有
281216
(人)；图中
B
圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参
加语文兴趣小组的人，有
291 217
(人)．
方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：
16121745
(人)．
方法二：根据包含排除法，直接可得：

参加语文或数学兴趣小组的人
< br>参加语文兴趣小组的人

参加数学兴趣小组的人

两个小
组都 参加的人，即：
28291245
(人)．
【答案】
45
人

【巩固】 芳草地小学四年级有
58
人学钢琴，
43
人学 画画，
37
人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画
的分别有多少人？

A
CB
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的 对象
与不同的区域对应清楚．建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义．
如图 ，
A
圆表示学画画的人，
B
圆表示学钢琴的人，
C
表示既学 钢琴又学画画的人，图中
A
圆不含
阴影的部分表示只学画画的人，有：
43 376
(人)，图中
B
圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，
有：
583721
(人)．

2

【答案】
21
人

【巩固】 四(二)班有
48
名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有
30
人，写完数学作业的有
20
人，语文
数学都没写完的有
6
人．
⑴ 问语文数学都写完的有多少人？
⑵ 只写完语文作业的有多少人？
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 ⑴ 由题意，有
48642
(人) 至少完成了一科作业，根据包含排除原理，两科作业都完成的学生有：
3020428
( 人)．
⑵ 只写完语文作业的人数

写完语文作业的人数- 语文数学都写完的人数，即
30822
(人)．
【答案】
22
人

【巩固】 四（1）班有46人，其中会弹钢琴 的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉
小提琴的至少有 人。
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第6题
【解析】 至少一项不会的最多有(46-30)+(46-28)=34,那么两项都会的至少有46-34=12人
【答案】
12
人

【例 4】 如图，圆A表示1到50这50个 自然数中能被3整除的数，圆B表示这50个数中能被5整除的数，
则阴影部分表示的数是 。
A
B
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第4题
【解析】 阴影部分是A和B共有的，即1到50这50个自然数中能被3×5＝15整除的数，即15，30，45
【答案】
15
，
30
，
45


【例 5】 学校为了丰富学生的课余生活，组建了乒乓球俱乐部和篮球俱乐部，同学们踊跃报名参加， 其中
有321人报名参加乒乓球俱乐部，429人报名参加了篮球俱乐部，但学校最后发现有50人既报 名
参加了乒乓球俱乐部，又报名参加了篮球俱乐部，还有23人什么俱乐部都没报名，问该学校共有
名学生．
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，4年级，第5题
【解析】
3214295023723
人
【答案】
723
人

【例 6】 某班共有
46
人，参加美术小组的有
12
人 ，参加音乐小组的有
23
人，有
5
人两个小组都参加了．这
个班既没 参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班 总人数减去这个人数，
就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数．根据包含排除法知，该班至少 参加了一个小组
的总人数为
1223530
(人)．所以，该班未参加美术或音 乐小组的人数是
463016
(人)．
【答案】
16
人

【巩固】 四年级一班有
45
人，其中
26
人参加了数学 竞赛，
22
人参加了作文比赛，一
12
人两项比赛都参加了．
班有多 少人两项比赛都没有参加？
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是：
26221236
(人)，所以，两项比赛都没有参
加的人数为：
45369
(人)．
【答案】
9
人

3

【巩固】 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演 的有7
人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：
1018721
(人)．
【答案】
21
人

【例 7】 全班50个学生，每人恰有三角板 或直尺中的一种，28人有直尺，有三角板的人中，男生是14人，
若已知全班共有女生31人，那么有 直尺的女生有____人。
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第8题
【解析】 有三角板的学生共50-28=22（人），其 中女生22-14=8（人），那么有直尺的女生有31-8=23（人）。
【答案】
23
人

【例 8】 某次英语考试由两部分组成，结果 全班有
12
人得满分，第一部分有
25
人做对，第二部分有
19人有
错，问两部分都有错的有多少人？
只做对两部只做对
第一部分全第二部< br>分的对的分的
两部分都有错的
【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如图，用长方形表示参加考试的人数，
A
圆表示第一部分对 的人数．
B
圆表示第二部分对的人数，
长方形中阴影部分表示两部分都有错的人数．
已知第一部分对的有
25
人，全对的有
12
人，可知只对第一部分的 有：
251213
(人)．又因为第二
部分有
19
人有错，其中 第一部分对第二部分有错的有
13
人，那么余下的
19136
(人)必是 第一部分
和第二部分均有错的，两部分都有错的有
6
人．
【答案】
6
人

【例 9】 对全班同学调查发现，会游泳的有< br>20
人，会打篮球的有
25
人．两项都会的有
10
人，两项都 不会的
有
9
人．这个班一共有多少人？
两项
会打
都会
篮球的
的

会游
泳的
两项都不会的
【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如图，用长方形表示全班人数，
A
圆表示会游泳的人数，< br>B
圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影
部分表示两项都不会的人数．
由图中 可以看出，全班人数

至少会一项的人数

两项都不会的人数，至少会一项的 人数为：
20251035
(人)，全班人数为：
35944
(人)．
【答案】
44
人

【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛 ，参加象棋比赛的有
32
人，参加军棋比赛的有
28
人，有
18人两项比赛都
参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？
只参加
象棋比赛的
A
两项
比赛
都参
加的
只参加
围棋比
赛的
B

【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如图，
A
圆表示参加象棋比赛的人，
B
圆表示参加军棋比 赛的人，
A
与
B
重合的部分表示同时参加

4

两项比赛的人．图中
A
圆不含阴影的部分表示只参加象棋比赛不参加军 棋比赛的人，有
321814
(人)；图中
B
圆不含阴影的部分表示只参 加军棋比赛不参加象棋比赛的人，有
281810
(人)．由此得到参加棋类比赛的人有< br>14181042
(人)．
或者根据包含排除法直接得：
32281842
(人)．
【答案】
42
人

【例 10】 在
46
人参加 的采摘活动中，只采了樱桃的有
18
人，既采了樱桃又采了杏的有
7
人，既没 采樱桃又
没采杏的有
6
人，问：只采了杏的有多少人？
既采
樱桃
又采
杏的
A
B
既没采樱桃又没采杏的
【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如图，用长方形表示全体采摘人员
46
人，
A
圆表示采了樱桃的人数，
B
圆表示采了杏的人数．长方
形中阴 影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数．
由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没 采的人数之和，则至少采了一种的人
数为：
46640
(人)，而至少采了一种的 人数

只采了樱桃的人数

两种都采了的人数

只采了杏< br>的人数，所以，只采了杏的人数为：
4018715
(人)．
【答案】
15
人


【例 11】 甲、乙、丙三个小组 学雷锋，为学校擦玻璃，其中
68
块玻璃不是甲组擦的，
52
块玻璃不是乙组 擦
的，且甲组与乙组一共擦了
60
块玻璃．那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻 璃？
【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 68块玻 璃不是甲组擦的，说明这
68
块玻璃是乙、丙两组擦的；
52
块玻璃不是乙组 擦的，说明这
52
块玻璃是甲、丙两组擦的．
如图，用圆
A
表示乙 、丙两组擦的
68
块玻璃，
B
圆表示甲、丙两组擦的
52
块 玻璃．因甲乙两组共擦
了
60
块玻璃，那么
68526060
(块)，这是两个丙组擦的玻璃数．
60230
(块)．丙组擦了
30
块
玻璃．乙组擦了：
683038
(块)玻璃，甲组擦了：
52302 2
(块)玻璃．
【答案】甲组擦了：
523022
(块)玻璃，乙组擦 了：
683038
(块)玻璃，丙组擦了
30
块玻璃。

【例 12】 育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级 的，五、
六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？
乙
A
丙
B
甲
【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 通过16幅画不是六年级的可以知道，五年级和其他年级的画作数量之和是1 6，通过15幅画不是五
年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是15，那也就是说五年级的 画比六年级多1幅，
我们还知道五、六年级共展出25幅画，进而可以求出五年级画作有13幅，六年级 画作有12幅，那
么久可以求出其他年级的画作共有3幅．
【答案】
3
幅

【例 13】
47
名学生参加数学和语文考试，其中语文得分
9 5
分以上的
14
人，数学得分
95
分以上的
21
人 ，两
门都不在
95
分以上的有
22
人．问：两门都在
95< br>分以上的有多少人？


5

语文
95分< br>以上
的
A
两门
95分
以上
的
数学
9 5分
以上
的
B
两门都不在95分以上的
【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如图，用长方形表示这
47
名学生，< br>A
圆表示语文得分
95
分以上的人数，
B
圆表示数学得
95
分以上
的人数，
A
与
B
重合的部分表示两门都在95
分以上的人数，长方形内两圆外的部分表示两门都不在
95
分以上的人数．
由图中可以看出，全体人数是至少一门在
95
分以上的人数与两门都不在
95
分以上的人数之和，则至
少一门在
95
分以上的人数为：
4722 25
(人)．根据包含排除法，两门都在
95
分以上的人数为：
1421 2510
(人)．
【答案】
10
人

【巩固】 有
100
位旅客，其中有
10
人既不懂英语又不懂俄语，有
75
人懂英语，
83
人懂俄语．问既懂英语又
懂俄语的有多少人？
【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】迎春杯
【解析】 方法一：在
100
人中懂英语或俄语的有：
1001090< br>(人)．又因为有
75
人懂英语，所以只懂俄语的
有：
90751 5
(人)．从
83
位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的
8315< br>
68
(人)就是既懂
英语又懂俄语的旅客．
方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：
ABABAB75839068
(人)．

【答案】
68
人

【例 14】 一个班
48
人 ，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作
业没完成语文作业； 一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有
37
人；做完数学作
业的有< br>42
人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？
【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 不妨用下图来表示：

线段
AB
表示全班人数，线段
AC
表示做完语文作业的人数，线段
D B
表示做完数学作业的人数，重
叠部分
DC
则表示语文、数学都做完的人数．
根据题意，做完语文作业的有
37
人，即
AC37
．做完数学作业 的有
42
人，即
DB42
．
①
ACDB374279
(人)
②
AB48
(人)
①式减②式，就有
DC794831
(人),所以，数学、语 文作业都做完的有
31
人．
【答案】
31
人
【巩固】 四年级科技活动组共有
63
人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老 师
到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有
42
人，装配好一架飞机模型的同学有
34
人．每个同
学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？
【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 因
42 3476
，
7663
，所以必有人同时完成了这两项活动．由于每个同学都至少完 成了一项活动，
根据包含排除法知，
4234
(完成了两项活动的人数)

全组人数，即
76
(完成了两项活动的人
数)
63
． 由减法运算法则知，完成两项活动的人数为
766313
(人)．也可画图分析．
【答案】
13
人

【巩固】 科技活动小组有
55
人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清

6