小学思维数学讲义:容斥原理之重叠问题(一)-带答案解析
腾空而起-雾中的大海
容斥原理之重叠问题(一)
教学目标
1.
了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容;
2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.
知识要点
一、两量重叠问题
在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素
个数的计算.求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把
两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个
数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,
用式子可表示成:
ABAB
AB
(
其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“”
读作
“交”,相当于中文“且”的意思.)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理.图示如下:
A<
br>表示小圆
部分,
B
表示大圆部分,
C
表示大圆与小圆的公共部
分,记为:
AB
,
即阴影面积.图示如下:
A
表示小圆
部分
,
B
表示大圆部分,
C
表示大圆与小圆的公共部分,记为:
AB,
即阴影面积.
包含与排除原理告诉我们,要计
算两个集合
A、B
的并集
AB
的元素的个数,可分以下两步进行:
第一步:分别计算集合
A、B
的元素个数,然后加起来,即先求
AB
(意思
是把
A、B
的一切元素都“包含”进
来,加在一起);
第二步:从上面的和
中减去交集的元素个数,即减去
CAB
(意思是“排除”了重复计算的元素个数).
1.先包含——
AB
重叠部分
AB
计算了
2
次,多加了
1
次;
2.再排除——
ABAB
把多加了
1
次的重叠部分
AB
减去.
二、三量重叠问题
A
类、
B
类与
C
类元素个数的
总和
A
类元素的个数
B
类元素个数
C
类元素个数
既是
A
类又是
B
类
的元素个数
既
是
B
类又是
C
类的元素个数
既是
A
类又
是
C
类的元素个数
同时是
A
类、
B
类、
C
类的元
素个数.用符号表示为:
ABCABCABBCAC
ABC
.图示如下:
图中小圆表示
A
的元素的个数,中圆表示
B<
br>的元素的个数,
大圆表示
C
的元素的个数.
1.先包含:
ABC
重叠部分
AB
、
BC<
br>、
CA
重叠了
2
次,多加了
1
次.
2.再排除:
ABCABBCAC
重叠部分
ABC重叠了
3
次,但是在进行
ABC
ABBCAC
计算时都被减掉了.
3.再包含:
ABCABBCACABC
.
在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考.
例题精讲
1
两量重叠问题
【例 1】 小明喜欢:踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学;小英喜欢:数学、英语、
音乐、陶艺、跳
绳。用圆A、圆B分别表示小明、小英的爱好,如图所示,则图中阴影部分表示____
____。
A
B
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】希望杯,四年级,二试,第3题
【解析】 阴影部分是两人都爱好的:数学、音乐
【答案】数学、音乐
【例 2】 四(1)班全体同学站成一排,当从左向右报数
时,小华报:18;当从右向左报数时,小华报:13.
那么该班有学生______________
名。
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】希望杯,四年级,二试,第2题
【解析】
该班学生人数为:
1813130
(名)。
【答案】
30
名
【例 3】 实验小学四年级二班,参加语文兴趣小组的有
28
人,参加数
学兴趣小组的有
29
人,有
12
人两个小
组都参加.这个班有多少人
参加了语文或数学兴趣小组?
AC
B
【考点】两量重叠问题
【难度】1星 【题型】解答
【解析】 如图所示,
A
圆表示参加语文兴趣小组
的人,
B
圆表示参加数学兴趣小组的人,
A
与
B
重合的部分
C
(阴影部分)表示同时参加两个小组的人.图中
A
圆不含阴影的部分表示只
参加语文兴趣小组未参
加数学兴趣小组的人,有
281216
(人);图中
B
圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参
加语文兴趣小组的人,有
291
217
(人).
方法一:由此得到参加语文或数学兴趣小组的有:
16121745
(人).
方法二:根据包含排除法,直接可得:
参加语文或数学兴趣小组的人
<
br>参加语文兴趣小组的人
参加数学兴趣小组的人
两个小
组都
参加的人,即:
28291245
(人).
【答案】
45
人
【巩固】 芳草地小学四年级有
58
人学钢琴,
43
人学
画画,
37
人既学钢琴又学画画,问只学钢琴和只学画画
的分别有多少人?
A
CB
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 解包含与排除题,画图是一种很直观、简捷的方法,可以帮助解决问题,画图时注意把不同的
对象
与不同的区域对应清楚.建议教师帮助学生画图分析,清楚的分析每一部分的含义.
如图
,
A
圆表示学画画的人,
B
圆表示学钢琴的人,
C
表示既学
钢琴又学画画的人,图中
A
圆不含
阴影的部分表示只学画画的人,有:
43
376
(人),图中
B
圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人,
有:
583721
(人).
2
【答案】
21
人
【巩固】 四(二)班有
48
名学生,在一节自习课上,写完语文作业的有
30
人,写完数学作业的有
20
人,语文
数学都没写完的有
6
人.
⑴
问语文数学都写完的有多少人?
⑵ 只写完语文作业的有多少人?
【考点】两量重叠问题
【难度】1星 【题型】解答
【解析】 ⑴ 由题意,有
48642
(人)
至少完成了一科作业,根据包含排除原理,两科作业都完成的学生有:
3020428
(
人).
⑵ 只写完语文作业的人数
写完语文作业的人数-
语文数学都写完的人数,即
30822
(人).
【答案】
22
人
【巩固】 四(1)班有46人,其中会弹钢琴
的有30人,会拉小提琴的有28人,则这个班既会弹钢琴又会拉
小提琴的至少有
人。
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】希望杯,四年级,二试,第6题
【解析】
至少一项不会的最多有(46-30)+(46-28)=34,那么两项都会的至少有46-34=12人
【答案】
12
人
【例 4】 如图,圆A表示1到50这50个
自然数中能被3整除的数,圆B表示这50个数中能被5整除的数,
则阴影部分表示的数是
。
A
B
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】希望杯,四年级,二试,第4题
【解析】
阴影部分是A和B共有的,即1到50这50个自然数中能被3×5=15整除的数,即15,30,45
【答案】
15
,
30
,
45
【例 5】 学校为了丰富学生的课余生活,组建了乒乓球俱乐部和篮球俱乐部,同学们踊跃报名参加,
其中
有321人报名参加乒乓球俱乐部,429人报名参加了篮球俱乐部,但学校最后发现有50人既报
名
参加了乒乓球俱乐部,又报名参加了篮球俱乐部,还有23人什么俱乐部都没报名,问该学校共有
名学生.
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】学而思杯,4年级,第5题
【解析】
3214295023723
人
【答案】
723
人
【例 6】 某班共有
46
人,参加美术小组的有
12
人
,参加音乐小组的有
23
人,有
5
人两个小组都参加了.这
个班既没
参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人?
【考点】两量重叠问题 【难度】1星
【题型】解答
【解析】 已知全班总人数,从反面思考,找出参加美术或音乐小组的人数,只需用全班
总人数减去这个人数,
就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数.根据包含排除法知,该班至少
参加了一个小组
的总人数为
1223530
(人).所以,该班未参加美术或音
乐小组的人数是
463016
(人).
【答案】
16
人
【巩固】 四年级一班有
45
人,其中
26
人参加了数学
竞赛,
22
人参加了作文比赛,一
12
人两项比赛都参加了.
班有多
少人两项比赛都没有参加?
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 由包含排除法可知,至少参加一项比赛的人数是:
26221236
(人),所以,两项比赛都没有参
加的人数为:
45369
(人).
【答案】
9
人
3
【巩固】 实验二校一个歌舞表演队里,能表演独唱的有10人,能表演跳舞的有18人,两种都能表演
的有7
人.这个表演队共有多少人能登台表演歌舞?
【考点】两量重叠问题
【难度】1星 【题型】解答
【解析】
根据包含排除法,这个表演队能登台表演歌舞的人数为:
1018721
(人).
【答案】
21
人
【例 7】 全班50个学生,每人恰有三角板
或直尺中的一种,28人有直尺,有三角板的人中,男生是14人,
若已知全班共有女生31人,那么有
直尺的女生有____人。
【考点】两量重叠问题 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】华杯赛,初赛,第8题
【解析】 有三角板的学生共50-28=22(人),其
中女生22-14=8(人),那么有直尺的女生有31-8=23(人)。
【答案】
23
人
【例 8】 某次英语考试由两部分组成,结果
全班有
12
人得满分,第一部分有
25
人做对,第二部分有
19人有
错,问两部分都有错的有多少人?
只做对两部只做对
第一部分全第二部<
br>分的对的分的
两部分都有错的
【考点】两量重叠问题 【难度】2星
【题型】解答
【解析】 如图,用长方形表示参加考试的人数,
A
圆表示第一部分对
的人数.
B
圆表示第二部分对的人数,
长方形中阴影部分表示两部分都有错的人数.
已知第一部分对的有
25
人,全对的有
12
人,可知只对第一部分的
有:
251213
(人).又因为第二
部分有
19
人有错,其中
第一部分对第二部分有错的有
13
人,那么余下的
19136
(人)必是
第一部分
和第二部分均有错的,两部分都有错的有
6
人.
【答案】
6
人
【例 9】 对全班同学调查发现,会游泳的有<
br>20
人,会打篮球的有
25
人.两项都会的有
10
人,两项都
不会的
有
9
人.这个班一共有多少人?
两项
会打
都会
篮球的
的
会游
泳的
两项都不会的
【考点】两量重叠问题 【难度】2星
【题型】解答
【解析】 如图,用长方形表示全班人数,
A
圆表示会游泳的人数,<
br>B
圆表示会打篮球的人数,长方形中阴影
部分表示两项都不会的人数.
由图中
可以看出,全班人数
至少会一项的人数
两项都不会的人数,至少会一项的
人数为:
20251035
(人),全班人数为:
35944
(人).
【答案】
44
人
【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛
,参加象棋比赛的有
32
人,参加军棋比赛的有
28
人,有
18人两项比赛都
参加了,这个班参加棋类比赛的共有多少人?
只参加
象棋比赛的
A
两项
比赛
都参
加的
只参加
围棋比
赛的
B
【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如图,
A
圆表示参加象棋比赛的人,
B
圆表示参加军棋比
赛的人,
A
与
B
重合的部分表示同时参加
4
两项比赛的人.图中
A
圆不含阴影的部分表示只参加象棋比赛不参加军
棋比赛的人,有
321814
(人);图中
B
圆不含阴影的部分表示只参
加军棋比赛不参加象棋比赛的人,有
281810
(人).由此得到参加棋类比赛的人有<
br>14181042
(人).
或者根据包含排除法直接得:
32281842
(人).
【答案】
42
人
【例 10】 在
46
人参加
的采摘活动中,只采了樱桃的有
18
人,既采了樱桃又采了杏的有
7
人,既没
采樱桃又
没采杏的有
6
人,问:只采了杏的有多少人?
既采
樱桃
又采
杏的
A
B
既没采樱桃又没采杏的
【考点】两量重叠问题
【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如图,用长方形表示全体采摘人员
46
人,
A
圆表示采了樱桃的人数,
B
圆表示采了杏的人数.长方
形中阴
影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数.
由图中可以看出,全体人员是至少采了一种的人数与两种都没
采的人数之和,则至少采了一种的人
数为:
46640
(人),而至少采了一种的
人数
只采了樱桃的人数
两种都采了的人数
只采了杏<
br>的人数,所以,只采了杏的人数为:
4018715
(人).
【答案】
15
人
【例 11】 甲、乙、丙三个小组
学雷锋,为学校擦玻璃,其中
68
块玻璃不是甲组擦的,
52
块玻璃不是乙组
擦
的,且甲组与乙组一共擦了
60
块玻璃.那么,甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻
璃?
【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 68块玻
璃不是甲组擦的,说明这
68
块玻璃是乙、丙两组擦的;
52
块玻璃不是乙组
擦的,说明这
52
块玻璃是甲、丙两组擦的.
如图,用圆
A
表示乙
、丙两组擦的
68
块玻璃,
B
圆表示甲、丙两组擦的
52
块
玻璃.因甲乙两组共擦
了
60
块玻璃,那么
68526060
(块),这是两个丙组擦的玻璃数.
60230
(块).丙组擦了
30
块
玻璃.乙组擦了:
683038
(块)玻璃,甲组擦了:
52302
2
(块)玻璃.
【答案】甲组擦了:
523022
(块)玻璃,乙组擦
了:
683038
(块)玻璃,丙组擦了
30
块玻璃。
【例 12】 育才小学画展上展出了许多幅画,其中有16幅画不是六年级的,有15幅画不是五年级
的,五、
六年级共展出25幅画,其他年级的画共有多少幅?
乙
A
丙
B
甲
【考点】两量重叠问题 【难度】2星
【题型】解答
【解析】 通过16幅画不是六年级的可以知道,五年级和其他年级的画作数量之和是1
6,通过15幅画不是五
年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是15,那也就是说五年级的
画比六年级多1幅,
我们还知道五、六年级共展出25幅画,进而可以求出五年级画作有13幅,六年级
画作有12幅,那
么久可以求出其他年级的画作共有3幅.
【答案】
3
幅
【例 13】
47
名学生参加数学和语文考试,其中语文得分
9
5
分以上的
14
人,数学得分
95
分以上的
21
人
,两
门都不在
95
分以上的有
22
人.问:两门都在
95<
br>分以上的有多少人?
5
语文
95分<
br>以上
的
A
两门
95分
以上
的
数学
9
5分
以上
的
B
两门都不在95分以上的
【考点】两量重叠问题
【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如图,用长方形表示这
47
名学生,<
br>A
圆表示语文得分
95
分以上的人数,
B
圆表示数学得
95
分以上
的人数,
A
与
B
重合的部分表示两门都在95
分以上的人数,长方形内两圆外的部分表示两门都不在
95
分以上的人数.
由图中可以看出,全体人数是至少一门在
95
分以上的人数与两门都不在
95
分以上的人数之和,则至
少一门在
95
分以上的人数为:
4722
25
(人).根据包含排除法,两门都在
95
分以上的人数为:
1421
2510
(人).
【答案】
10
人
【巩固】 有
100
位旅客,其中有
10
人既不懂英语又不懂俄语,有
75
人懂英语,
83
人懂俄语.问既懂英语又
懂俄语的有多少人?
【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】迎春杯
【解析】 方法一:在
100
人中懂英语或俄语的有:
1001090<
br>(人).又因为有
75
人懂英语,所以只懂俄语的
有:
90751
5
(人).从
83
位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人,剩下的
8315<
br>
68
(人)就是既懂
英语又懂俄语的旅客.
方法二:学会把公式进行适当的变换,由包含与排除原理,得:
ABABAB75839068
(人).
【答案】
68
人
【例 14】 一个班
48
人
,完成作业的情况有三种:一种是完成语文作业没完成数学作业;一种是完成数学作
业没完成语文作业;
一种是语文、数学作业都完成了.已知做完语文作业的有
37
人;做完数学作
业的有<
br>42
人.这些人中语文、数学作业都完成的有多少人?
【考点】两量重叠问题
【难度】2星 【题型】解答
【解析】 不妨用下图来表示:
线段
AB
表示全班人数,线段
AC
表示做完语文作业的人数,线段
D
B
表示做完数学作业的人数,重
叠部分
DC
则表示语文、数学都做完的人数.
根据题意,做完语文作业的有
37
人,即
AC37
.做完数学作业
的有
42
人,即
DB42
.
①
ACDB374279
(人)
②
AB48
(人)
①式减②式,就有
DC794831
(人),所以,数学、语
文作业都做完的有
31
人.
【答案】
31
人
【巩固】
四年级科技活动组共有
63
人.在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中,老
师
到时清点发现:剪贴好一辆汽车模型的同学有
42
人,装配好一架飞机模型的同学有
34
人.每个同
学都至少完成了一项活动.问:同时完成这两项活动的同学有多少人?
【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 因
42
3476
,
7663
,所以必有人同时完成了这两项活动.由于每个同学都至少完
成了一项活动,
根据包含排除法知,
4234
(完成了两项活动的人数)
全组人数,即
76
(完成了两项活动的人
数)
63
.
由减法运算法则知,完成两项活动的人数为
766313
(人).也可画图分析.
【答案】
13
人
【巩固】 科技活动小组有
55
人.在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中,老师到时清
6
点发现:制作好一架飞机模型的同学有
40
人,制作好一艘舰艇的同学有
32
人.每个同学都至少完
成了一项制作.问两项制作都完成的同学有多少人?
【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答
A
C
B
【解析】 因为
403272
,7255
,所以必有人两项制作都完成了.由于每个同学都至少完成了一项制作,
根据包
含排除法可知:全组人数
4032
完成了两项制作的人数,即
5572完成了两项制作的
人数.所以,完成了两项制作的人数为:
725517
(人
).
【答案】
17
人
11
【例 15】 一次数学测
验,甲答错题目总数的,乙答错3道题,两人都答错的题目是题目总数的.求甲、
46
乙都答对
的题目数.
【考点】两量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答
n
ac(1)
4
【解析】 (法一)设
共有n道题.由右图知d即为所求,并有关系式
cb3(2)
由①③知,n是4
和6的公倍数,
n
c(3)
6
n
即12的倍数.将③代入②,有
b3
, 由于b是非负整数,所以n=12,由此求出c=
2,b=1,
6
a=1.又由a+b+c+d=n,得到d=n-(a+b+c)=8(法二)
显然两人都答错的题目不多于3道,所以题目
总数只可能是6、12、18,其中只有12,能使甲答错
题目总数是整数.
【答案】
8
道题
【例 16】 小赵、小钱
、小孙、小李、小周、小吴、小郑、小王,这8名同学站成一排.其中小孙和小周不
能相邻,小钱和小吴
也不能相邻,小李必须在小郑和小王之间(可相邻也可不相邻).则不同的排列
方法共有_______
_种.
【考点】两量重叠问题 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 8名同学
站成一排,所有的排法共有
8!40320
种,其中小孙和小周相邻的排法,根据“捆绑法”
有
27!10080
种,小钱和小吴相邻的也有
10080
种,这两对都
相邻的有
226!2880
种.根据
容斥原理,符合前两个条件的排法有
40320210080288023040
种.在这
23040
种排法里面,
小李、小郑、小王
3
个人的排列中每个人在中间的可能性都相等,所以小
李在小郑和小王之间的排
1
1
法占其中的,即有
230407680种.
3
3
【答案】
7680
种
7