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小学奥数容斥原理
之最值问题

7-7-5.容斥原理之最值问题



1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；
2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
教学目标
知识要点
一、两量重叠问题

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个 集合并集的元素的个数，不能简单地
把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计 算的元素个数，即减去交集的元素个
数，用式子可表示成：
AUBABAIB
(
其中符号“
U
”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符
号“< br>I
”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理． 图示如下:
A
表示小圆部分，
B
表示大圆部分，
C
表示大圆 与小圆的公共部分，记为：
AIB
，
即阴影面积．图示如下:
A
表示 小圆部分，
B
表示大圆部分，
C
表示大圆与小圆的公共部分，记为：
AIB
，
即阴影面积．
1．先包含——
AB

重叠部分
AIB
计算了
2
次，多加了
1
次；
2．再排除——
ABAIB

把多加了
1
次的重叠部分
AIB
减去．


包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合
A、B
的并集
AUB< br>的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合
A、B
的元素个数 ，然后加起来，即先求
AB
(意思是把
A、B
的一切元素都“包含”
进来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去
CAIB
(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
二、三量重叠问题
A
类、
B
类与
C
类元素个数的总和
A
类元素的个数
B
类元素个数
C
类元素个数

既是
A
类又是
B类的元素个数

既是
B
类又是
C
类的元素个数

既是
A
类又是
C
类的元素个数

同时是
A
类、
B
类、
C
类
的元素个数．用符号表示为：
A UBUCABCAIBBICAICAIBIC
．图示如下：
图中小圆表示< br>A
的元素的个数，中圆表示
B
的元素的个数，大圆
表示
C的元素的个数．


1．先包含：
ABC

重叠 部分
AIB
、
BIC
、
CIA
重叠了
2
次 ，多加了
1
次．
2．再排除：
ABCAIBBICAIC

重叠部分
AI BIC
重叠了
3
次，但是在进行
ABC

AIBBICAIC
计算时都被减掉了．

3．再包含：
ABCAIBBICAICAIBIC
．
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．

【例 1】 “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。每个年级12
道题，并且至少有
8
道题与其他各
年级都不同。如果每道题出现在不 同年级，最多只能出现
3
次。本届活动至少要准备 道
决赛试题。
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，4年级，决赛，第9题
【解析】 每个年级都有自己
8
道题目，然后可以三至五年级共用
4
道题目，六到八年级共用
4
道题目，总共
有
864256
（道）题目。
【答案】
56
题

【例 2】 将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13 个区域中，然后把
每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空
例题精讲

【解析】 越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小依次填写< br>于被重复计算多的区格中，最大和为：
13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.
【答案】
240


【例 3】 如图，5条同样长的线段拼成了一 个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么
在这个五角星上红色点最少有多少个?
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空

【解析】 如下图，下图中“
d
”位置均有两条线段通过，也就是交点，如果这些交点所对应的线段都在“
d
”位
置恰有红色点，那么在五角星上重叠的红色点最多，所以此时显现的红色点最少 ，有1994×5-(2-
1)×10=9960个．
【答案】
9960


【例 4】 某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓 球．那么，这个班至
少有多少学生这三项运动都会？
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 （法1）首先看至少有多少人会游泳、自行车两项，由于 会游泳的有27人，会骑自行车的有33
人，而总人数为48人，在会游泳人数和会骑自行车人数确定的 情况下，两项都会的学生至少有
27334812
人，再看会游泳、自行车以及乒乓球三 项的学生人数，至少有
1240484
人.
该情况可以用线段图来构造和示意：

（法2）设三项运动都会的人有x
人，只会两项的有
y
人，只会一项的有
z
人，

那么根据在统计中会
n
项运动的学生被统计
n
次的规律有以下等式：

3x2yz273340



xyz48


x,y,z0

由第一条方程可得到
z1003x2y
，将其代入第二条式子得到：

1002xy48
，即
2xy52LLLL
①
而第二条式子还能得到式子
xy48
，即
2xy48xLLLL
①
联立①和①得到
48x52
，即
x4
．可行情况构造同上．
【答案】
4


【巩固】某班有
50
名学生，参加 语文竞赛的有
28
人，参加数学竞赛的有
23
人，参加英语竞赛的有
20
人，
每人最多参加两科，那么参加两科的最多有 人．
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 根据题意可 知，该班参加竞赛的共有
28232071
人次．由于每人最多参加两科，也就是说有< br>参加2科的，有参加1科的，也有不参加的，共是71人次．要求参加两科的人数最多，则让这
7 1
人次尽可能多地重复，而
71235LL1
，所以至多有
35
人参加两科，此时还有1人参加1
科．
那么是否存在35人参加两科的情况呢？由于此时还有 1人是只参加一科的，假设这个人只参加
数学一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有
( 282220)215
人，参加语文、英语两
科的共有
281513人，参加数学、英语两科的共有
20137
人．也就是说，此时全班有15人
参加语文、数学两科，13人参加语文、英语两科，7人参加数学、英语两科，1人只参加数学1
科，还 有14人不参加．检验可知符合题设条件．所以35人是可以达到的，则参加两科的最多有
35人．（当 然本题中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语）
【答案】
35


234
【巩固】60人中有的人会打乒乓球，的人会打羽毛球，的人会打排球，这三项运动都会 的人有
22
345
人，问：这三项运动都不会的最多有多少人？
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 设只会打乒 乓球和羽毛球两项的人有
x
人，只会打乒乓球和排球两项的有
y
人，只会打羽 毛球和
排球两项的有
z
人．由于只会三项运动中的一项的不可能小于
0
，所以
x
、
y
、
z
有如下关系：

4 0

xy22

0




45

xz22

0



48

yz22

0
将三条关系 式相加，得到
xyz33
，而60人当中会至少一项运动的人数有
4045 48

xyz

22256
人，所以60人当中三项 都不会的人数最多4人（当
x
、
y
、
z
分别取
7< br>、
11
、
15
时，不等式组成立）．
【答案】
4


【例 5】 图书室有100本书，借阅图书者需在 图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别
有33，44和55本，其中同时有甲、乙签 名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，
同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书 中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人
借阅过?
B
乙
A
甲
C
丙

【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 设甲借过的书组成集合A，乙借过的书组成集合B，丙借过的书组成集合C．
A
=33, B
=44，
C
=55，
AIB
=29，
AIC
=25，
BIC
=36．
本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值，再将其与100作差即可．
AUBUCABCAIBAICBICAIBIC
,
当
AI BIC
最大时，
AUBUC
有最大值.也就是说当三人都借过的书最多时，甲、乙、丙 中至
少有一人借过的书最多．
而
AIBIC
最大不超过
A
、
B
、
C
、
AIB
、
BIC
、
A IC
6个数中的最小值，所以
AIBIC
最大为25．此时
AUBUC=33+44+55-29-25-36+25=67，即三者至少有一人借过的书
最多为67本， 所以这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过．
【答案】
33


【巩固】甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开 始，按顺序往后
读．已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3 人共同读
过的故事最少有多少个?

【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 考虑甲乙两人情况，有甲乙都读过的最少为：75+60 -100=35个，此时甲单独读过的为75-35=40
个，乙单独读过的为60-35=25个；欲 使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量
分散在某端，于是三者都读过书最少为52- 40=12个．
【答案】
12


【例 6】 某数学竞赛共16 0人进入决赛，决赛共四题，做对第一题的有136人，做对第二题的有125人，
做对第三题的有11 8人，做对第四题的有104人。在这次决赛中至少有____得满分。
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】走美杯，5年级，决赛，第10题
【解析】
设得满分的人都做对
3
道题时得满分的人最少，有
136
+
125
+
118
+
104
-
160

3< br>=
3
(人)。
【答案】
3
人

【例 7】 某班有46人，其中有40人会骑自行车，38人会打乒乓球，35人会打羽毛球，27人会游泳，则该班这四项运动都会的至少有 人。
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】 不会骑车的 6人，不会打乒乓球的8人，不会羽毛球的11人，不会游泳的19人，那么至少不会
一项的最多只有6 +8+11+19=44人，那么思想都会的至少44人
【答案】
44
人

【例 8】 在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇 了75
盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 为了恰好被 3个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花和一个人浇过
的花数量都要尽量多 ，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是30盆，那么接下来就变
成乙浇了45盆，丙浇了50 盆，丁浇60盆了，这时共有
1003070
盆花，我们要让这70盆中
恰好被3 个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了，恰好被3个人浇过的花最少有
455060140 15
盆．
【答案】
15


【巩固】 甲、乙、丙同时 给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都
浇过的花最少有多少 盆?

【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46盆，此时甲单独 浇过的为78-46=32
盆，乙单独浇过的为68-46=22盆；
欲使甲、乙、丙三人都 浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端．于是三者都浇过花最
少为58-32-22=4盆．
【答案】
4


【巩固】 在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁 四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，
丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被 1个人浇过的花最少有多少盆？
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 100盆花共被浇水275次，平均每盆被浇
2.75
次，为了让被浇1次 的花多，我们也需要被浇4次
的花尽量多，为30盆，那么余下70盆共被浇155次，平均每盆被浇< br>2.21
次，说明需要一些花被
浇3次才可以．我们假设70盆都被浇3次，那么多出5 5次，每盆花少浇2次变为被浇1次最多
可以变27次，所以本题答案为27盆．
【答案】
27