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7-7-5.容斥原理之最值问题



1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；
2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
教学目标
知识要点
一、两量重叠问题

在一些计数问题中，经 常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把
两个集合的元素个数相加 ，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，
用式子可表示成：ABABAB
(
其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符 号“”
读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示 如下:
A
表示小圆
部分，
B
表示大圆部分，
C
表示 大圆与小圆的公共部分，记为：
AB
，
即阴影面积．图示如下:
A
表 示小圆
部分，
B
表示大圆部分，
C
表示大圆与小圆的公共部分，记为 ：
AB
，
即阴影面积．


包含与排除 原理告诉我们，要计算两个集合
A、B
的并集
AB
的元素的个数，可分以下两 步进行：
第一步：分别计算集合
A、B
的元素个数，然后加起来，即先求
A B
(意思是把
A、B
的一切元素都“包含”进
来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去
CAB
(意思是“排除”了重复计算的元 素个数)．
1．先包含——
AB

重叠部分
AB
计算了
2
次，多加了
1
次；
2．再排除——
ABAB

把多加了
1
次的重叠部分
AB
减去．
二、三量重叠问题
A
类、
B
类与
C
类元素个数的总和
A
类 元素的个数
B
类元素个数
C
类元素个数

既是
A
类又是
B
类
的元素个数

既是
B
类又是
C
类的元素个数

既是
A
类又是
C
类的元 素个数

同时是
A
类、
B
类、
C
类的元< br>素个数．用符号表示为：
ABCABCABBCACABC
．图示如下：
图中小圆表示
A
的元素的个数，中圆表示
B
的元素的个数，
大圆表示
C
的元素的个数．


1．先包含：
ABC

重叠部分
AB
、
BC< br>、
CA
重叠了
2
次，多加了
1
次．
2．再排除：
ABCABBCAC

重叠部分
ABC重叠了
3
次，但是在进行
ABC

ABBCAC
计算时都被减掉了．

3．再包含：
ABCABBCACABC
．
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．
例题精讲

【例 1】 “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。每个年级12
道题，并且至少有
8
道题与其他各年
级都不同。如果每道题出现在不 同年级，最多只能出现
3
次。本届活动至少要准备 道决赛
试题。
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，4年级，决赛，第9题
【解析】 每个年级都有自己
8
道题目，然后可以三至五年级共用
4
道题目，六到八年级共用
4
道题目，总共 有
864256
（道）题目。
【答案】
56
题

【例 2】 将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中， 然后把每个
圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空

【解析】 越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小依次填写于
被重复计算 多的区格中，最大和为：
13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.
【答案】
240


【例 3】 如图，5条同样长的线段拼成了一 个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在
这个五角星上红色点最少有多少个?
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空

【解析】 如下图，下图中“”位置均有两条线段通过，也就是交点，如果这些交点所对应的线段都在“”位置
恰有 红色点，那么在五角星上重叠的红色点最多，所以此时显现的红色点最少，有
1994×5-(2-1) ×10=9960个．
【答案】
9960


【例 4】 某班共 有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少
有多少学 生这三项运动都会？
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 （法1）首先看至少有多少人会游泳、自行车两项，由于会游泳的有27人，会骑自行车的有 33人，
而总人数为48人，在会游泳人数和会骑自行车人数确定的情况下，两项都会的学生至少有27334812
人，再看会游泳、自行车以及乒乓球三项的学生人数，至少有
12 40484
人.
该情况可以用线段图来构造和示意：
23|24< br>总人数
游泳
自行车
游泳
0|1
15|1627|28
27人
33人
40人
48|
48人

（法 2）设三项运动都会的人有
x
人，只会两项的有
y
人，只会一项的有
z
人，
那么根据在统计中会
n
项运动的学生被统计
n
次的规律有以下等式：

3x2yz273340



xyz48


x,y,z0


由第一条方程可得到
z1003x2y
，将其代入第二条式子得到：

1002xy48
，即
2xy52
①
而第二条式子还能得到式子
xy48
，即
2xy48x
②
联立①和②得到
48x52
，即
x4
．可行情况构造同上．
【答案】
4


【巩固】某班有
50
名学生，参加 语文竞赛的有
28
人，参加数学竞赛的有
23
人，参加英语竞赛的有
20
人，每
人最多参加两科，那么参加两科的最多有 人．
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 根据题意可 知，该班参加竞赛的共有
28232071
人次．由于每人最多参加两科，也就是说有参
加2科的，有参加1科的，也有不参加的，共是71人次．要求参加两科的人数最多，则让这
7 1
人
次尽可能多地重复，而
712351
，所以至多有
35人参加两科，此时还有1人参加1科．
那么是否存在35人参加两科的情况呢？由于此时还有1人 是只参加一科的，假设这个人只参加数学
一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有
(28 2220)215
人，参加语文、英语两科的共
有
281513
人，参加数学、英语两科的共有
20137
人．也就是说，此时全班有15人参加语文、< br>数学两科，13人参加语文、英语两科，7人参加数学、英语两科，1人只参加数学1科，还有14人不参加．检验可知符合题设条件．所以35人是可以达到的，则参加两科的最多有35人．（当然本题
中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语）
【答案】
35

234
【巩固】60人中有的人会打乒乓球，的人会打羽毛球，的人会打排球，这三项运动都会的人 有
22
人，
345
问：这三项运动都不会的最多有多少人？
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 设只会打乒 乓球和羽毛球两项的人有
x
人，只会打乒乓球和排球两项的有
y
人，只会打羽 毛球和排
球两项的有
z
人．由于只会三项运动中的一项的不可能小于
0
，所以
x
、
y
、
z
有如下关系：

4 0

xy22

0




45

xz22

0



48

yz22

0
将三条关系 式相加，得到
xyz33
，而60人当中会至少一项运动的人数有
4045 48

xyz

22256
人，所以60人当中三项 都不会的人数最多4人（当
x
、
y
、
z
分
别取7
、
11
、
15
时，不等式组成立）．
【答案】
4


【例 5】 图书室有100本书，借阅图书者需在 图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有
33，44和55本，其中同时有甲、乙签 名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时
有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书 中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?
B
乙
A
甲
C
丙
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 设甲借过的书组成集合A，乙借过的书组成集合B，丙借过的书组成集合C．
A
=33,
B
=44，
C
=55，

AB
=29，
AC
=25，
BC
=36．
本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值，再将其与100作差即可．
ABCABCABACBCABC
,
当
ABC
最大 时，
ABC
有最大值.也就是说当三人都借过的书最多时，甲、乙、丙中至少
有一人借 过的书最多．

而
A
所以
ABCBC
最大不超过A
、
B
、
C
、
AB
、
BC
、
AC
6个数中的最小值，
最大为25．此时
ABC
=33+44+ 55-29-25-36+25=67，即三者至少有一人借过的书最多为67本，
所以这批图书中最少 有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过．
【答案】
33


【巩固】甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序 往后读．已
知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过 的故事最
少有多少个?
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 考虑甲乙两人情况，有甲乙都读过的最少为：75+60-100=35个，此时甲单独读过 的为75-35=40个，
乙单独读过的为60-35=25个；欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时 ，应将丙读过的书尽量分散在
某端，于是三者都读过书最少为52-40=12个．
【答案】
12


【例 6】 某数学竞赛共160人进入决赛，决 赛共四题，做对第一题的有136人，做对第二题的有125人，做
对第三题的有118人，做对第四题 的有104人。在这次决赛中至少有____得满分。
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】走美杯，5年级，决赛，第10题
【解析】
设得满分的人都做对
3
道题时得满分的人最少，有
136
+
125
+
118
+
104
-
160

3< br>=
3
(人)。
【答案】
3
人

【例 7】 某班有46人，其中有40人会骑自行车，38人会打乒乓球，35人会打羽毛球，27人会游泳，则该< br>班这四项运动都会的至少有 人。
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】 不会骑车的 6人，不会打乒乓球的8人，不会羽毛球的11人，不会游泳的19人，那么至少不会一
项的最多只有6 +8+11+19=44人，那么思想都会的至少44人
【答案】
44
人

【例 8】 在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇 了75盆，
丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 为了恰好被 3个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花和一个人浇过的
花数量都要尽量多 ，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是30盆，那么接下来就变成乙浇
了45盆，丙浇了50 盆，丁浇60盆了，这时共有
1003070
盆花，我们要让这70盆中恰好被3
个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了，恰好被3个人浇过的花最少有
455060140 15
盆．
【答案】
15


【巩固】 甲、乙、丙同时 给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇
过的花最少有多少 盆?
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 只考 虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46盆，此时甲单独浇过的为78-46=3 2
盆，乙单独浇过的为68-46=22盆；
欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙 浇过的花尽量分散在两端．于是三者都浇过花最少
为58-32-22=4盆．
【答案】
4


【巩固】 在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁 四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，
丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被 1个人浇过的花最少有多少盆？
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 100盆花共被浇水275次，平均每盆被浇
2.75
次，为了让被浇1次 的花多，我们也需要被浇4次的

花尽量多，为30盆，那么余下70盆共被浇 155次，平均每盆被浇
2.21
次，说明需要一些花被浇3
次才可以．我们假设70 盆都被浇3次，那么多出55次，每盆花少浇2次变为被浇1次最多可以变
27次，所以本题答案为27 盆．
【答案】
27