天安门广场升旗仪式-别有洞天

简单的容斥原理

教学目标：1、理解容斥原理的内涵，能够独立通过图形分析题中关系，求解一
般容 斥原理问题。
2、理解运用容斥原理解决实际问题。
3、用变通思想来看容斥原理，将理论与实际相结合求解更深的容斥
原理类型题。
教学过程：
一、引入：（1） 一张照片上有两对父子，数数却只有三个人，为什么呢？
（2）一个艺术 学院班有45人，你学歌我练舞.唱歌的人有26人，跳舞的有
25人。问唱跳都学的有几人？
经过学生回答，得出容斥原理的概念：因为有了容斥问题的发生，当中出现了包
含和排斥现象，这是一 个重要的原理-----容斥原理。
分析引入（2）：


唱歌

?人


26人






共45人
跳舞
25人

解题过程：26＋25-45=6（人）
【例1】 一次期末考试，某班所有同学语、数成绩 至少有一门得满分。已知有
25人数学得满分，有22人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班有多少人？
分析：“4人语、数都是满分”，也就是说在统计数学满分时这4人被计算 了一次，
在统计语文满分时这4个人又被统计了一次。这4人被多计算了一次。
解析：



人 2522人

4人





全班？人
25＋22-4=43（人）

答：这个班有43人。

练习：
1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课 取得优秀成
绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有
多 少人？
2、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子
琴的 有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？

【例2】 某班有 48人，班主任说：“做完语文作业的请举手。”有37人举手。
又说：“做完数学作业的请举手。”有 42人举手。最后问：“有没有哪
个同学一门作业也没完成呀？”结果无人举手。问：这个班语文、数< br>学作业都完成的人数是多少？

分析：没有人一门也没完成，即排除了一次手都没有举 的可能。剩下的同学要么
举过一次手，要么举过两次手。
解析
：








37人
?人

42人
共48人

37＋42－48=31（人）

答：这个班语文、数学作业都做完的人数是31人。

小结：关于容斥原理中的计数 问题，通常寻求问题的关键是排除叠加的部分，画
示意图是一个比较好的帮助我们理解题意的好方法。

练习：
1、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技 小组，有
19人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？
2、某校选出50 名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，
有27人两项比赛都没有获奖。已知作 文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的
有多少人？

【例3】 某班有56人， 参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如
果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语 文、数学两科竞赛的有
多少人？
分析：这道题中告诉我们的已知条件中增加了一个两科都没有 参加的人有25人，
意思就是至少参加一科竞赛的人数是56－25=31(人)。再求两科竞赛同时参 加的
人数。
解析：

25人未参加



28人 27人

?人






全班56人

56－25=31（人）
28＋27－31=24（人）

答：参加语文、数学两科竞赛的有24人。

练习：
1、一个 旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会
的有4人。两样都会的有多少 人？
2、三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又
参加舞 蹈队的有14人。这两队都没有参加的有10人。请算一算，这个班共有多
少人？

补充思考题：
1、 光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法 作品，
其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品
共有1 0幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？（红卡奖励题）
2、科技节那天，学校的科技室里展出 了每个年级学生的科技作品，其中有110
件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展 的作品共有32件。
其他年级参展的作品共有多少件？

总结：本次课主要学习有关 容斥原理的一些简单应用题。求解此类问题的关键是
找准叠加的数据，排除叠加和没有存在的部分，解题 过程中准确画出示意图是求
解容斥原理问题的关键。它能够帮助我们很好的理解题意，从而正确、快速解 题。