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容斥问题
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在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为 了使重叠部分不被重复计
算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的< br>情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复
计算的数目排斥出去 ，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称
为容斥原理。
关于这类的问题就称为 容斥问题。由于容斥原理用公式解答容斥问题涉及
到集合，学生较难理解，故本节主要教学生画文氏图来 解答相关问题，生动形
象，容易理解又富趣味性。
精典例题
例1：五年甲班参加无 线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线电小
组的有17人，参加航模小组的有14人，两组都参 加的有多少人？。
模仿练习
50名同学参加兴趣小组，参加科技组的有40人，参加数奥数 组的有28
人，两个兴趣小组都参加的有几人？
例2：五年级的课外小组分为美术、音乐、手 工三个小组，参加美术小组有
20人，参加音乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和 音乐两
个小组有5人，同时参加音乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手工两
个小组的有 7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共
有多少人？
模仿练习 五年乙班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既
会骑车又会游泳的有7 人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？
例3：1到200中，能同时被3跟5整除的数共有多少个？
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模仿练习
在1至200的自然数中，不能被2整除的数或不能被3整除或不能被5整
除的数共有多少个？
例4：有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。
第一次达到优秀的 有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀
的有15人，三次都达到优秀的只有1人。只有 两次达到优秀的有多少人？
模仿练习
在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要 了一样冷饮，其中
有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只
要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。问：共
有几个小朋友去了冷饮店 ？
例5：某校五年级甲班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数
学有30人参加 ，英语有20人参加，语文小组有10人。老师告诉同学既参加数
学小组又参加语文小组的有3人，既参 加数学又参加英语和既参加英语又参加
语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又 参加数学小
组的人数。
模仿练习
某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学 20人，语文20人，英
语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英
语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。问这个班最多多少人？最少多少
人？课后作业 < br>1.五年乙班每人都订阅了课外书，订阅《小学生数学报》的有30人，订阅
《时代学习报》的有 26人，两种都订阅的有14人，这个班共有多少人？
2.在1到1000这1000个自然数中，能被5或11整除的数有多少个？：
3.某市有 100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄
语的20人,那么懂俄语的教师 为多少人？
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4.某班共有30名男生,其 中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排
球队.已知没一个人同时参加3个队,且每人至 少参加一个队,有6人既参加足球队
又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球 队又参加排球
队的有多少人？
5.某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳 远得优者18
人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得
优者 8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是
优秀的人数。
6. 在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其
中6个人带了汉堡，6个人带了 鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，2个人既带了汉堡
又带了芝士蛋糕。问：
（1）三种吃的都带了的人有几个？
（2）只带了一种吃的的人有几个？
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