大堂副理职责-霞浦旅游

集合问题（容斥原理）4丨三者集合文氏图法
用文氏图来表示集合A、B和C：通常而 言，可以从三者都满足的A∩B
∩C入手，逐渐剔除即可。确定分类标准→把集合对应圈圆→确定各圆圈 位
置关系→确定各集合逻辑、数量关系。（部分题目圆因制图问题，省略，
请读者朋友自学时， 自行补充）

2005年A

45.对某单位的100名员工进行调查，结果 发现他们喜欢看球赛、电影和戏
剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既 喜欢
看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，
三种都喜欢看的 有12人，则只喜欢看电影的有（ ）。

A.22人 B.28人 C.30人 D.36人

【解析】A。根据仅喜欢看戏剧人=38-12-6-4 =16，故而?=100-58-4-16=22

2015年B

45.外 语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，
只能教日语的有6人，能教英、日 语的有5人，能教法、日语的有3人，
能教英、法语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有 （ ）。

A.4人 B.5人 C.6
人 D.7人

【解析】B。设只能教法语为x人， 即x=27-8-6-5-4-3-2+2+3=5，故选B。

2006年B

43.某工作组有12名外国人，其中6人会说英语，5人会说法语，5人会说
西班牙语；有3 人既会说英语又会说法语，有2人既会说法语又会说西班
牙语，有2人既会说西班牙语又会说英语；有1 人这三种语言都会说。则
只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多（ ）。

A.1人 B.2人 C.3
人 D.5人

【解析】C。通过图形简单得知，只懂英语、法语和西班牙语的人数 分别为
2，1和2，共5人，而一种语言都不会说的人数为12-(2+2+1+1+l+1+2)＝2 ，
5-2＝3

2006年江苏C

19.某研究室有12人，其中 ：7人会英语，7人会德语，6人会法语，4人
既会英语又会德语，3人既会英语又会法语，2人既会德 语又会法语，1人英语、
德语、法语三种语言都会。会且只会两种语言的有多少人

A.8 B.4 C.5 D.6

【解析】D 。从三个都满足入 手。会且只会两种语言的有：A∩B＋B∩C＋
C∩A－3A∩B∩C=4+3+2-3=6人。

2007年江苏B

77.一次运动会上，18名游泳运动员中，有8名参加了仰 泳，有10名参加
了蛙泳，有12名参加了自由泳，有4名既参加仰泳又参加蛙泳，有6名既
参 加蛙泳又参加自由泳，有5名既参加仰泳又参加自由泳，有2名这3个
项目都参加，这18名游泳运动员 中，只参加1个项目的人

A.5名 B.6名 C.7
名 D.4名

【解析】B。如图所示：

注：还有1名三种游泳均没有参加。

2014年北京

80.某旅 行团共有48名游客，都报名参观了三个景点中的至少一个。其中，
只参观了一个景点的人数与至少参观 了两个景点的人数相同，是参观了三
个景点的人数的4倍。则需要为这些游客购买多少张景点门票？
A. 48 B. 72 C. 78 D. 84

【解析】 C。考查三者集合问题。

设参观了三个景点的人数为x，则只参观了一个景点的人数、至少参 观了两
个景点的人数均为4x，所以只参观了两个景点的人数为3x。由于该旅行团

的游客都报名参观了三个景点中的至少一个，有4x+3x+x=48，解得x=6。
所以需要买的 景点门票张数为4×6×1+3×6×2+6×3=78。

2015年深圳

54.某大学法学院72名研究生均至少参加下列一种志愿者或者协会，其中
有36人是中国法律援助 网志愿者，有28人是广东省法律援助中心志愿者，
还有一些同学是学校法律援助协会会员。已知参加学 校法律援助协会的人
数是既是中国法律援助网志愿者又参加学校法律援助协会人数的3倍，是
三 种组织均参加了的人数的6倍；既参加了学校法律援助协会又是广东省
法律援助中心志愿者的人数是三种 组织都参加了的人数的2倍；既是中国
法律援助网志愿者又是广东省法律援助中心志愿者的人数有10人 ，则参加
了学校法律援助协会的有（ ）人。

A.24 B.28 C.36 D.48

【解析】C。三者集合问题。图示法如下。

工具公式得知：72=36+28+6X-10-2X-2X+X，得知X=6。

2016年

3.某出版社新招了10名英文、法文和日文方向的外文编辑，其中既会 英文
又会日文的小李是唯一掌握一种以上外语的人。在这10人中，会法文的比
会英文的多4人 ，是会日文人数的两倍。问只会英文的有几人？

A.2 B. 0 C. 3 D. 1

【解析】D。经典集合问题。可以根据图示。

令仅会日文X人，则会日 文X+1人，会法文2X+2人，会英文2X-2人，仅
会英文2X-3人，总人数：X+2X+2+2 X-3+1=10得知X=2。

2016年四川下半年

55.报纸的情况 ，发现30%的家庭订阅了日报，35%的家庭订阅了早报，45%
的家庭订阅了晚报，10%的家庭没 有订阅任何一种报纸，若每个家庭都不会
同时订早报和晚报，则同时订阅日报和早报家庭的比例在（ ）范围
之内。

A. 0~10% B. 10%~20% C. 0~20% D. 20%~30%

【解析】C。集合问题。

则订阅报 纸的家庭为90%，没有家庭同时订阅早报和晚报，早报和晚报订阅
的家庭为80%，因此只订阅日报的 家庭为10%，所以同时订阅早报和日报的
比例最多为20%

2017年陕西

127.在一项课题研究中，数据搜集方式有问卷调研、当面访谈与 电话访谈
三种。参加问卷调研的有27人，参加电话访谈的有21人。参加了三种数
据搜集方式 的有5人，既参加问卷调研又参加当面访谈的有9人，既参加
问卷调研又参加电话访谈的有12人，既参 加当面访谈又参加电话访谈的有
7人。已知只参加当面访谈的人数占数据搜集人员总数的20%，则数据 搜集
人员共有（ ）人。

A.45 B.50 C.55 D.60 E.65 F.70 G.75 H.80

【解析】A。集合问题。图示法更佳形象。

根据“问卷调研、当面访谈与电话访谈” 判定是三集合容斥问题。设只参
加当面访谈的人数为x，则数据搜集人数总数为5x，因为参加三者的有 5
人，既参加问卷调研又参加当面访谈的有9人，所以只参加问卷调研和当
面访谈的有4人；因 为既参加当面访谈又参加电话访谈的有7人，所以只
参加当面访谈又参加电话访谈的有2人。因此参加当 面访谈的有X+11人。
根据三集合容斥标准公式得，x+11+27+21-9-12-7=5x，得 知X=9

2017年河南

44.某单位有80名职工参加了义务劳动、希 望工程捐款和探望敬老院三项
公益活动中的至少一项。只参加一项的人数与参加超过一项的人数相同，< br>参加所有三项公益活动的与只捐款的人数均为12人，且只探望敬老院的人
比只参加义务劳动的人 多16人。问探望敬老院的人最多比参加义务劳动的
人多多少人？

A.28 B.32 C.36 D.44

44.【解析】D。最值问题与集合问题。（图例）

根据集合问题， 总人数80，只参加一项的人数40人，根据已知条件，三者
都参加为12，

只捐款 12人。而“只探望敬老院的人比只参加义务劳动的人多16人”得
知：只探望22人，只义务劳动6人 ，还剩余28人未知。

则为了让探望人最多，义务劳动最少，则28人均为探望与捐款者，故 而两
者差量最大为：28+16=44。 从图的角度来看：y=0，z+x=28。

2018年春季安徽版

35.联欢会上，有24人吃冰激凌、30人吃蛋糕、38人 吃水果，其中既吃冰
激凌又吃蛋糕的有12人，既吃冰激凌又吃水果的有16人，既吃蛋糕又吃
水果的有18人，三样都吃的则有6人。假设所有人都吃了东西，那么只吃
一样东西的人数是多少？
A.12 B.18 C.24 D.32

【解析】B。三者集合图示法。

如下图所示，蓝色数字代表三种都吃了，红色数字代 表只吃了两种东西，
则只吃了冰淇淋的人数为2人，只吃了蛋糕的人数为6人，只吃了水果的
人 数为10人，则只吃一样东西的人数为18人。