包含与排除问题(容斥原理)
黎诺懿个人资料-浙江高考分数线
包含与排除(一)
包含与排除问题也叫容斥原理。“容”是容纳、包含的意思,“斥”是排斥、
排除的意思,从题目名称上看,比较抽象,下面我们结合具体实例来说明这种问
题的思考方法。
【典型例题】
例1:如下图,桌面上放着两个正方形,求盖住桌面的面积。(单位:厘米)
分析与解:
这是一个组合图形,是由两个正方形组成的,中间重合部分是一个长方形,
要想求出盖住桌面的面积,可以有三种不同方法:
方法一:
方法二:
方法三:
答:盖住桌面的面积是64平方厘米。
例2:四(1)班同学中有37人喜欢打乒乓球,26人喜欢打羽毛球,21人
既爱打乒乓球又爱打羽毛
球。问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人?
分析与解:
根据题意可画图如下
此类问题画集合图比画线段图更直观,更形象一些。
方法一:37 + 26—21 = 42(人)
方法二:37—21 +
26 = 42(人)
方法三:37 +(26—21)= 42(人)
以上三种方法是紧密联系的,都是要从中减去重叠部分,可以从其中一部分
中减去,再与另一部分合并,
也可以从两部分之和中减去重叠部分。
三种方法比较,你喜欢哪一种解法呢?
我们根据以上两个例题可以得出这样的数量关系:
第一部分 + 第二部分 — 重叠部分
= 两部分之和
例3:四年级一班在期末考
试中,语文得“优”的有15人,数学得“优”
的有17人,老师请得“优”的同学都站起来,数了数有
24人。两科都得“优”
的有几人?
分析与解:
根据“第一部分
+ 第二部分 — 重叠部分 = 两部分之和”可以求出两科都
得“优”的人数。
15 + 17—24 = 8(人)
另外,从下图中我们还能得出两种不同方法
方法二:17—(24—15)= 8(人)
15—(24—17)= 8(人)
答:两科都得优的有8人。
例4:图新小学四年级二班有24人参加了美术小组,有18人参加了音乐小
组,其中11人两个小组都
参加,还有5人什么组都没参加。这个班共有学生多
少人?
分析与解:
这个题与例2相比,多了一个已知条件,那就是“有5个人什么组都没参加”。
如果按前面的画图方式,
这5人无法在图上表示,根据题意,我们可以这样画图。
要求全班有多少人,除了知道有5人什么组都没参加外,还要求出参加课外
小组的有多少人。
24 + 18—11 = 31(人)
31 + 5 = 36(人)
答:这个班共有学生36人。
例5:某班学生参加音乐组的有11人,参加美术组
的有8人,参加英语组
的有12人,既参加音乐组又参加美术组的有5人,既参加音乐组又参加英语组<
br>的有3人,既参加美术组又参加英语组的有4人,三个组都参加的只有1人,问:
至少参加一个组的有多少人?
分析与解:
根据题意画图如下:
如果我们把三个集合圈看成三张纸片,参加两个组的部分是2
层,参加三个
组的部分是3层,要求至少参加一个组的人数,就是求三张纸片盖住桌面的大小,
因此要从三组人数之和中减去重叠部分的人数
11 + 8 + 12—5—3—4 + 1
= 20(人)
答:至少参加一个组的有20人。
【模拟试题】(答题时间:30分钟)
1. 四年级三班订阅《少年文摘》的有19人,
订阅《学与玩》的有24人,两
种都订的有13人。问订阅《少年文摘》或《学与玩》的有多少人?
2. 幼儿园有58人学钢琴,43人学画
画,37人既学钢琴又学画画,问只学钢琴
和只学画画的分别有多少人?
3. 1至100的自然数中:
(1)是2的倍数又是3的倍数的数有多少个?
(2)是2的倍数或是3的倍数的数有多少个?
(3)是2的倍数但不是3的倍数的数有多少个?
4. 某班数学、英语期中考试的成绩统
计如下:英语得100分的有12人,数学
得100分的有10人,两门功课都得100分的有3人,两
门功课都未得100分的
有26人。这个班共有学生多少人?
5.
全班50人,会骑车的有32人,会滑旱冰的有21人,两样都会的有8人,
求两样都不会的有多少人?
6. 一
个班有学生42人,参加体育队的有30人,参加文艺队的有25人,并且
每人至少参加一个队。这个班
两队都参加的有多少人?
【试题答案】
1. 四年级三班订阅《少年文摘》的有19人,订阅《学与玩》的有24
人,两
种都订的有13人。问订阅《少年文摘》或《学与玩》的有多少人?
19 +
24—13 = 30(人)
答:订阅《少年文摘》或《学与玩》的有30人。
2. 幼儿园有58人学钢琴,43人学画画,37人既学钢琴又学画画,问只学钢
琴和只
学画画的分别有多少人?
只学钢琴人数:58—37 = 21(人)
只学画画人数:43—37 = 6(人)
3. 1至100的自然数中:
(1)是2的倍数又是3的倍数的数有多少个?
既是3的倍数又是2的倍数,一定是6的倍数
100÷6 = 16……4
所以,既是2的倍数又是3的倍数有16个
(2)是2的倍数或是3的倍数的数有多少个?
100÷2 =
50,100÷3 = 33……1
50 + 33—16 = 67(个)
所以,是2的倍数或是3的倍数的数有67个。
(3)是2的倍数但不是3的倍数的数有多少个?
50—16 = 34(个)
答:是2的倍数但不是3的倍数的数有34个。
4. 某班数学、英语期中考试的成绩
统计如下:英语得100分的有12人,数学
得100分的有10人,两门功课都得100分的有3人,
两门功课都未得100分的
有26人。这个班共有学生多少人?
12 + 10—3
+ 26 = 45(人)
答:这个班共有学生45人。
5.
全班50人,会骑车的有32人,会滑旱冰的有21人,两样都会的有8人,
求两样都不会的有多少人?
50—(30 + 21—8)= 7(人)
答:两样都不会的有7人。
6. 一个班有学生42人,参加体育队的有30人,参加文艺队的有25人,并且每人至少参加一个队。这个班两队都参加的有多少人?
30 + 25—42 =
13(人)
答:这个班两队都参加的有13人。
包含与排除(二)
在日常生活中,我们需要把具有相同性质的对象放在一起考虑,并且给它一
个总称。如钢笔、铅笔、本、橡皮……总称为文具;西红柿、黄瓜、土豆、白菜……
总称为蔬菜;苹果、
香蕉、梨……总称为水果等等。
在数学里,我们把具有某种相同性质的对象放在一起考虑,这
些相同性质的
对象便组成了一个“集合”,每个集合总是由一些成员组成的,集合中的这些成
员
叫做这个集合的元素。
名词解释:
(1)由所有属于集合A或
属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A、B
的并集(又叫A与B的和)。记作
AB,记号“
”读作“并”,
AB
读作
“A并B”。
(2)A、B两个集合公共的元素,也就是那些既属于A,又属于B的元素,
它们所组成的集合叫做A和
B的交集,记作“
AB
”,记号“
”读作“交”,
AB
读作“A交B”。
下面我们就利用“集合”的知识来解决有关“包含与排除”问题。
(一)典型例题
例1. 六一班同学参加数学小组和作文小组,其中参加
数学小组的有16人,
参加作文小组的有20人,两组都参加的有5人,六一班参加数学小组或作文小<
br>组的一共有多少人?
分析与解:参加数学小组的可以看成集合|A|,参加作文小组的
可以看成是
集合|B|,两组都参加的可以看成
|AB|
,问题是求参加数学小组或
作文小组的
一共有多少人,也就是把集合|A|和集合|B|合并在一起,即
|AB|
1620531
(人)
根据上面列式,我们可以得出:
|A||B||AB||AB|
答:参加数学小组或作文小组的一共有31人。
例2.
求1~20的自然数中2的倍数或3的倍数的个数。
分析与解:
(1)1~20的自然数中2的倍数用集合A表示
A={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
|A|=10
(2)1~20的自然数中3的倍数用集合B表示
B={3,6,9,12,15,18}
|B|=6
(3)既是2的倍数又是3的倍数,也就是
AB
AB{6,12,18}
|AB|3
(4)
|AB||A||B||AB|
13
答:1~20的自然数中2的倍数或3的倍数一共有13个。
例3. 四年级有学
生75人,在一次校田径运动会中,参加田赛的有35人,
参加径赛的有29人,既参加田赛又参加径赛
的有6人,问两项都未参加的有多
少人?
分析与解:如图,要求两项都未参加的,要
先求出至少参加一项的有多少人,
从全年级中除去至少参加一项的就是所求。
田 6 径
35人 人 29
?人
75人
1063
|A|表示田赛人数,|B|表示径赛人数
|AB||A||B||AB|
35296
=58(人)
75-58=17(人)
答:两项都未参加的有17人。
例4. 40人参加测验,答对第一题的有30人,答对第二题的有21人,两题
都没答对的有4人,则
两题都答对的有多少人?
分析与解:如下图,要求出两题都答对的人数,要先求出至少答对一题的有
多少人。
30人
? 21人
4人
40人
答对第一题的人数用|A|表示
答对第二题的人数用|B|表示
|AB|40436
(人)
|AB||A||B||AB|
302136
=15(人)
答:两题都答对的有15人。
例5. 某班同学中,有26人爱打篮球,17人爱
打排球,19人爱踢足球,有
9人既爱打蓝球又爱踢足球,有4人既爱打排球又爱踢足球,有7人既爱打
篮球
又爱打排球,没有一个人三种球都爱玩,也没有一个人三种球
都不爱玩,问:这
个班共有多少学生?
分析与解:根据题意,可画集合图如下:
篮 排
26人 7 17人
4
9
足19人
用|A|表示爱打篮球的人数
|A|=26
|B|表示爱打排球的人数
|B|=17
|C|表示爱踢足球的人数
|C|=19
|ABC||A||B||C||AB||AC||BC|
=26+17+19-7-9-4
=42(人)
答:这个班共有42人。
[答题时间:30分钟]
二. 尝试体验
1. 48名学生参加了数学和语文考试,其中语文得100分的有12人,数学得
100分的有17人
,两门都没得100分的有26人。问两门都得100分的有多少人?
2. 有一批游客,有75人懂英语,83人懂俄语,10人既不懂
英语又不懂俄语,
68人两种语言都会,问这批游客共有多少人?
3. 一个车间有70个工人,其中每个工人或者会打网球,或者会
跳舞,或者两
样都会,现在知道会打网球的有48人,会打网球又会跳舞的有24人。问会跳舞
的有多少人?
4.
求1~100的自然数中
(1)是5的倍数或是8的倍数的自然数个数
(2)既不是5的倍数又不是8的倍数的自然数的个数
5. 一次数学小测验中只有两道题,结果全班有10人全对,第一题
有25人做对,
第二题有18人做错。那么两题都做错的有多少人?
【试题答案】
二. 尝试体验
1. 48名学生参
加了数学和语文考试,其中语文得100分的有12人,数学得
100分的有17人,两门都没得100
分的有26人。问两门都得100分的有多少人?
48-26=22(人)
12+17-22=7(人)
答:两门都得100分的有7人。
2. 有一批
游客,有75人懂英语,83人懂俄语,10人既不懂英语又不懂俄语,
68人两种语言都会,问这批游
客共有多少人?
75+83-68+10=100(人)
答:这批游客共有100人。
3. 一个车间有70个工人,其中每个工人或者会打网球,或者会
跳舞,或者两
样都会,现在知道会打网球的有48人,会打网球又会跳舞的有24人。问会跳舞
的有多少人?
70-48+24=46(人)
答:会跳舞的有46人。
4. 求1~100的自然数中
(1)是5的倍数或是8的倍数的自然数个数
100÷5=20
100÷8=12……4
100÷40=2……20
20+12-2=30
(2)既不是5的倍数又不是8的倍数的自然数的个数
100-30=70
5. 一次数学小测验中只有两道题,结果全班有10人全对,第一题有25人做
对,第二题有18人做
错。那么两题都做错的有多少人?
25-10=15(人)只做对第1题的人数
18-15=3(人)两题都做错的人数