黎诺懿个人资料-浙江高考分数线

包含与排除（一）

包含与排除问题也叫容斥原理。“容”是容纳、包含的意思，“斥”是排斥、
排除的意思，从题目名称上看，比较抽象，下面我们结合具体实例来说明这种问
题的思考方法。

【典型例题】
例1：如下图，桌面上放着两个正方形，求盖住桌面的面积。（单位：厘米）

分析与解：
这是一个组合图形，是由两个正方形组成的，中间重合部分是一个长方形，
要想求出盖住桌面的面积，可以有三种不同方法：
方法一：
方法二：
方法三：
答：盖住桌面的面积是64平方厘米。

例2：四（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人
既爱打乒乓球又爱打羽毛 球。问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？
分析与解：
根据题意可画图如下

此类问题画集合图比画线段图更直观，更形象一些。
方法一：37 + 26—21 = 42（人）
方法二：37—21 + 26 = 42（人）
方法三：37 +（26—21）= 42（人）
以上三种方法是紧密联系的，都是要从中减去重叠部分，可以从其中一部分
中减去，再与另一部分合并， 也可以从两部分之和中减去重叠部分。
三种方法比较，你喜欢哪一种解法呢？
我们根据以上两个例题可以得出这样的数量关系：
第一部分 + 第二部分 — 重叠部分 = 两部分之和

例3：四年级一班在期末考 试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”
的有17人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有 24人。两科都得“优”
的有几人？
分析与解：
根据“第一部分 + 第二部分 — 重叠部分 = 两部分之和”可以求出两科都
得“优”的人数。
15 + 17—24 = 8（人）
另外，从下图中我们还能得出两种不同方法

方法二：17—（24—15）= 8（人）
15—（24—17）= 8（人）
答：两科都得优的有8人。

例4：图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小
组，其中11人两个小组都 参加，还有5人什么组都没参加。这个班共有学生多
少人？
分析与解：
这个题与例2相比，多了一个已知条件，那就是“有5个人什么组都没参加”。
如果按前面的画图方式， 这5人无法在图上表示，根据题意，我们可以这样画图。

要求全班有多少人，除了知道有5人什么组都没参加外，还要求出参加课外
小组的有多少人。
24 + 18—11 = 31（人）
31 + 5 = 36（人）
答：这个班共有学生36人。

例5：某班学生参加音乐组的有11人，参加美术组 的有8人，参加英语组
的有12人，既参加音乐组又参加美术组的有5人，既参加音乐组又参加英语组< br>的有3人，既参加美术组又参加英语组的有4人，三个组都参加的只有1人，问：

至少参加一个组的有多少人？
分析与解：
根据题意画图如下：

如果我们把三个集合圈看成三张纸片，参加两个组的部分是2 层，参加三个
组的部分是3层，要求至少参加一个组的人数，就是求三张纸片盖住桌面的大小，
因此要从三组人数之和中减去重叠部分的人数
11 + 8 + 12—5—3—4 + 1 = 20（人）
答：至少参加一个组的有20人。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 四年级三班订阅《少年文摘》的有19人， 订阅《学与玩》的有24人，两
种都订的有13人。问订阅《少年文摘》或《学与玩》的有多少人？





2. 幼儿园有58人学钢琴，43人学画 画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴
和只学画画的分别有多少人？





3. 1至100的自然数中：
（1）是2的倍数又是3的倍数的数有多少个？
（2）是2的倍数或是3的倍数的数有多少个？
（3）是2的倍数但不是3的倍数的数有多少个？

4. 某班数学、英语期中考试的成绩统 计如下：英语得100分的有12人，数学
得100分的有10人，两门功课都得100分的有3人，两 门功课都未得100分的
有26人。这个班共有学生多少人？








5. 全班50人，会骑车的有32人，会滑旱冰的有21人，两样都会的有8人，
求两样都不会的有多少人？








6. 一 个班有学生42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，并且
每人至少参加一个队。这个班 两队都参加的有多少人？

【试题答案】
1. 四年级三班订阅《少年文摘》的有19人，订阅《学与玩》的有24 人，两
种都订的有13人。问订阅《少年文摘》或《学与玩》的有多少人？
19 + 24—13 = 30（人）
答：订阅《少年文摘》或《学与玩》的有30人。

2. 幼儿园有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢
琴和只 学画画的分别有多少人？
只学钢琴人数：58—37 = 21（人）
只学画画人数：43—37 = 6（人）

3. 1至100的自然数中：
（1）是2的倍数又是3的倍数的数有多少个？
既是3的倍数又是2的倍数，一定是6的倍数
100÷6 = 16……4
所以，既是2的倍数又是3的倍数有16个

（2）是2的倍数或是3的倍数的数有多少个？
100÷2 = 50，100÷3 = 33……1
50 + 33—16 = 67（个）
所以，是2的倍数或是3的倍数的数有67个。

（3）是2的倍数但不是3的倍数的数有多少个？
50—16 = 34（个）
答：是2的倍数但不是3的倍数的数有34个。

4. 某班数学、英语期中考试的成绩 统计如下：英语得100分的有12人，数学
得100分的有10人，两门功课都得100分的有3人， 两门功课都未得100分的
有26人。这个班共有学生多少人？
12 + 10—3 + 26 = 45（人）
答：这个班共有学生45人。

5. 全班50人，会骑车的有32人，会滑旱冰的有21人，两样都会的有8人，
求两样都不会的有多少人？
50—（30 + 21—8）= 7（人）
答：两样都不会的有7人。

6. 一个班有学生42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，并且每人至少参加一个队。这个班两队都参加的有多少人？
30 + 25—42 = 13（人）
答：这个班两队都参加的有13人。

包含与排除（二）

在日常生活中，我们需要把具有相同性质的对象放在一起考虑，并且给它一
个总称。如钢笔、铅笔、本、橡皮……总称为文具；西红柿、黄瓜、土豆、白菜……
总称为蔬菜；苹果、 香蕉、梨……总称为水果等等。
在数学里，我们把具有某种相同性质的对象放在一起考虑，这 些相同性质的
对象便组成了一个“集合”，每个集合总是由一些成员组成的，集合中的这些成
员 叫做这个集合的元素。

名词解释：
（1）由所有属于集合A或 属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A、B
的并集（又叫A与B的和）。记作
AB，记号“

”读作“并”，
AB
读作
“A并B”。
（2）A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，又属于B的元素，
它们所组成的集合叫做A和 B的交集，记作“
AB
”，记号“

”读作“交”，
AB
读作“A交B”。
下面我们就利用“集合”的知识来解决有关“包含与排除”问题。

（一）典型例题
例1. 六一班同学参加数学小组和作文小组，其中参加 数学小组的有16人，
参加作文小组的有20人，两组都参加的有5人，六一班参加数学小组或作文小< br>组的一共有多少人？
分析与解：参加数学小组的可以看成集合|A|，参加作文小组的 可以看成是
集合|B|，两组都参加的可以看成
|AB|
，问题是求参加数学小组或 作文小组的
一共有多少人，也就是把集合|A|和集合|B|合并在一起，即
|AB|


1620531
（人）
根据上面列式，我们可以得出：

|A||B||AB||AB|

答：参加数学小组或作文小组的一共有31人。

例2. 求1～20的自然数中2的倍数或3的倍数的个数。
分析与解：
（1）1～20的自然数中2的倍数用集合A表示
A={2，4，6，8，10，12，14，16，18，20}
|A|=10
（2）1～20的自然数中3的倍数用集合B表示
B={3，6，9，12，15，18}
|B|=6
（3）既是2的倍数又是3的倍数，也就是
AB


AB{6,12,18}


|AB|3

（4）
|AB||A||B||AB|

13
答：1～20的自然数中2的倍数或3的倍数一共有13个。

例3. 四年级有学 生75人，在一次校田径运动会中，参加田赛的有35人，
参加径赛的有29人，既参加田赛又参加径赛 的有6人，问两项都未参加的有多
少人？
分析与解：如图，要求两项都未参加的，要 先求出至少参加一项的有多少人，
从全年级中除去至少参加一项的就是所求。


田 6 径
35人 人 29
？人

75人
1063

|A|表示田赛人数，|B|表示径赛人数

|AB||A||B||AB|


35296

=58（人）
75－58＝17（人）
答：两项都未参加的有17人。

例4. 40人参加测验，答对第一题的有30人，答对第二题的有21人，两题
都没答对的有4人，则 两题都答对的有多少人？
分析与解：如下图，要求出两题都答对的人数，要先求出至少答对一题的有
多少人。


30人
？ 21人

4人
40人

答对第一题的人数用|A|表示
答对第二题的人数用|B|表示

|AB|40436
（人）

|AB||A||B||AB|


302136

=15（人）
答：两题都答对的有15人。

例5. 某班同学中，有26人爱打篮球，17人爱 打排球，19人爱踢足球，有
9人既爱打蓝球又爱踢足球，有4人既爱打排球又爱踢足球，有7人既爱打 篮球

又爱打排球，没有一个人三种球都爱玩，也没有一个人三种球 都不爱玩，问：这
个班共有多少学生？
分析与解：根据题意，可画集合图如下：
篮 排

26人 7 17人
4
9

足19人

用|A|表示爱打篮球的人数
|A|=26
|B|表示爱打排球的人数
|B|=17
|C|表示爱踢足球的人数
|C|=19

|ABC||A||B||C||AB||AC||BC|

＝26＋17＋19－7－9－4
＝42（人）
答：这个班共有42人。

［答题时间：30分钟］
二. 尝试体验
1. 48名学生参加了数学和语文考试，其中语文得100分的有12人，数学得
100分的有17人 ，两门都没得100分的有26人。问两门都得100分的有多少人？






2. 有一批游客，有75人懂英语，83人懂俄语，10人既不懂 英语又不懂俄语，
68人两种语言都会，问这批游客共有多少人？






3. 一个车间有70个工人，其中每个工人或者会打网球，或者会 跳舞，或者两
样都会，现在知道会打网球的有48人，会打网球又会跳舞的有24人。问会跳舞
的有多少人？

4. 求1～100的自然数中
（1）是5的倍数或是8的倍数的自然数个数
（2）既不是5的倍数又不是8的倍数的自然数的个数







5. 一次数学小测验中只有两道题，结果全班有10人全对，第一题 有25人做对，
第二题有18人做错。那么两题都做错的有多少人？

【试题答案】
二. 尝试体验
1. 48名学生参 加了数学和语文考试，其中语文得100分的有12人，数学得
100分的有17人，两门都没得100 分的有26人。问两门都得100分的有多少人？
48－26＝22（人）
12＋17－22＝7（人）
答：两门都得100分的有7人。
2. 有一批 游客，有75人懂英语，83人懂俄语，10人既不懂英语又不懂俄语，
68人两种语言都会，问这批游 客共有多少人？
75＋83－68＋10＝100（人）
答：这批游客共有100人。
3. 一个车间有70个工人，其中每个工人或者会打网球，或者会 跳舞，或者两
样都会，现在知道会打网球的有48人，会打网球又会跳舞的有24人。问会跳舞
的有多少人？
70－48＋24＝46（人）
答：会跳舞的有46人。
4. 求1～100的自然数中
（1）是5的倍数或是8的倍数的自然数个数
100÷5＝20
100÷8＝12……4
100÷40＝2……20
20＋12－2＝30
（2）既不是5的倍数又不是8的倍数的自然数的个数
100－30＝70
5. 一次数学小测验中只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做
对，第二题有18人做 错。那么两题都做错的有多少人？
25－10＝15（人）只做对第1题的人数
18－15＝3（人）两题都做错的人数