重叠问题(容斥原理,包含与排除)
男人的命运-工作方法六十条
包含与排除
例题1，(1)五年级一班参加体育兴趣小组的有30人，参加
文艺兴趣小组的有25人，两项活
动都参加的有13人，全班每人至少参加一项活动。问这个班有多少人
？
(2)三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队
的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的
有14人。这两队都没有参加的有10人。请算一算，这个班
共有多少人？
1，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，
已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17
人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共
有多少人？
2,某班在一次测验中有26人语文获优，有
30人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另
外还有8人语文、数学均未获优。这个班共有多少
人？
3，第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对
第一题的有15人，做对第二题的有10人，
两题都做对的有7人，两题都做错的有2人。第一小组共有
多少人？
例题2，(1)五年级一班有42人，参加体育
兴趣小组的有30人，参加文艺兴趣小组的有25人，
全班每人至少参加一项活动。问这个班两项活动都
参加的有多少人？
(2)一个旅行社有36人，其中会英
语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。两样
都会的有多少人？
1
(3)3
,某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答
对的有1
5人。问多少个同学两题都答得不对？
1，五年级有12
2名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文
成绩优秀的有65人，数学
优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？
2，一
个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都
不会下的有
12人。问这两种棋都会下的有多少人？
3，学校开展课
外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，
参加象棋组的有83人，参
加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250
名同学中，象棋组、乒乓球组都不参
加的有多少人？
例题3，(1)四年级一班有54人，订
阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13
人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人
至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？
(2)
全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒
乓球又不会
打羽毛球的有6人。仅会打羽毛球的有多少人？
1，40
人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题。已知做对第一题的有30人，做
对第二题的有21
人。只做对第一题的有多少人？
2
2，五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至
少有一门得优。已知语文65人得优，数学
78人得优，求只有语文一门得优的人数。
3，某班有66名同学，仅会打乒乓球的有28人，会打乒
乓球又会打羽毛球的有16人，不会打
乒乓球又不会打羽毛球的有10人。仅会打羽毛球的有多少人？
例题4，光明小学举办学生书法展览。学校的橱
窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中
有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级
参展的书法作品共有10幅，其他年
级参展的书法作品共有多少幅？
1，科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110
件不是一年级
的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。其他年级参展的作品共
有多
少件？
2，六（1）儿童节那天，学校的画
廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25幅画不是
三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四
两个年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画
共有多少幅？
3，实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有28幅不
是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有20幅。一、二年级参展
的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅？
3
例题5：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
1，在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？
2，在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？
3，a,b是自然数，若a=b×b，则称a是完全平方数
；若a=b×b×b，则称a是完全立方数。在
1至1000之间既不是完全平方数，也不是完全立方数
的整数有多少个？
4．在游艺会上，有100
名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品
的规则如下：①标签号为2的倍数，
奖2支铅笔；②标签号为3的倍数，奖3支铅笔；③标
签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；④
其他标签号均奖1支铅笔．那么游艺会为
该项活动准备的奖品铅笔共有多
少支?
5. 有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘
米作一记号，每隔4厘米也作一记号，
然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段?
4
例6，在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其
中有6人要了冰
棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的有1人
，只要
汽水和雪碧的有1人。问：共有多少个小朋友去了冷饮店？
1,五奥三班有54人，每人至少都爱好一种球类。爱好乒乓球的有40人；爱好
足球的有20人，
爱好排球的有30人，既爱好乒乓球又爱好排球的有18人，既爱好乒乓球又爱好足球
的有14
人，既爱好足球又爱好排球的有12人。问三种球都爱的有多少人？
2,一个工厂有一批工人，每人至少会一门技术。其中会开铣床的有2
35人，会开车床的有218
人，会开刨床的有207人。既会开铣床又会开刨床的有63人，既会开车
床又会开铣床的有112
人，既会开车床又会开刨床的有71人，三种都会的有19人。这个工厂一共有
多少名工人？
3,某班有46人，其中40人
会骑车，38人会打乒乓球，35人会打羽毛球，27人会游泳，则这个
班至少有多少人以上四项都会
5