小学奥数 容斥原理之重叠问题(二) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)

温柔似野鬼°
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2020年12月05日 21:34
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2020年12月5日发(作者:岑范)



7-7-2.容斥原理之重叠问题(二)



1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容;
2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.
教学目标
知识要点
一、两量重叠问题

在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个 集合并集的元素的个数,不能简单地把
两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计 算的元素个数,即减去交集的元素个数,
用式子可表示成:
ABABAB
(其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“”
读作“交”,相当于中文 “且”的意思.)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理.图示如下:
A
表示小圆部分,
B
表示大圆部分,
C
表示大圆与小圆的公共部分,记为:
A
部分,
B
表示大圆部分,
C
表示大圆与小圆的公共部分,记为:< br>A
B

即阴影面积.图示如下:
A
表示小圆
B

即阴影面积.
1.先包含——
AB

重叠部分
AB
计算了
2
次,多加了
1
次;


ABAB
包含与排除原理告诉我们,要计算两个集 合
A、B
的并集
AB
的元素的个数,可分以下两步进行:
第一步: 分别计算集合
A、B
的元素个数,然后加起来,即先求
AB
(意思是把AB
A、B
的一切元素都“包含”进
1
来,加在一起);
第二 步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去
CAB
(意思是“排除”了重复计算的元素个 数).

二、三量重叠问题
A
类、
B
类与
C< br>类元素个数的总和
A
类元素的个数
B
类元素个数
C类元素个数

既是
A
类又是
B

的元素个数< br>
既是
B
类又是
C
类的元素个数

既是A
类又是
C
类的元素个数

同时是
A
类、B
类、
C
类的元
素个数.用符号表示为:
ABCABC ABBCACABC
.图示如下:
图中小圆表示
A
的元素的个数,中 圆表示
B
的元素的个数,
C
1.先包含:
ABC
重叠部分
AB

BC

C
多加了
1
次 .
A
重叠了
2
次,
2.再排除:
ABCABBC AC


ABC
3ABC



在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考.
例题精讲


模块一、三量重叠问题

【例 1】 一栋居民楼里的住户每 户都订了2份不同的报纸。如果该居民楼的住户只订了甲、乙、丙三种报
纸,其中甲报30份,乙报34 份,丙报40份,那么既订乙报又订丙报的有___________户。
【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯,4年级,1试
【解析】 总共有(30+34+40)

2=52户居民,订丙和乙的有52-30=22户。
【答案】
22


【例 2】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三 种颜色的小旗,已知手中有红旗的共有
34
人,手中有黄旗的共

26
人,手中有蓝旗的共有
18
人.其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有
6
人. 而手中只有红、黄
两种小旗的有
9
人,手中只有黄、蓝两种小旗的有
4
人,手中只有红、蓝两种小旗的有
3
人,那么
这个班共有多少人?
【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答
B
A
C

【解析】 如图,用
A
圆表示手中有红旗 的,
B
圆表示手中有黄旗的,
C
圆表示手中有蓝旗的.如果用手中有
红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加,发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次,应减去,
手中有 三种颜色小旗的重复计算了二次,也应减去,那么,全班人数为:
(342618)(943 )

6250
(人).
【答案】
50


【巩固】 某班有
42
人,其中
26
人爱打篮球,
17人爱打排球,
19
人爱踢足球,
9
人既爱打篮球又爱踢足球,
4
人既爱打排球又爱踢足球,没有一个人三种球都爱好,也没有一个人三种球都不爱好.问:既爱打
篮球又爱打排球的有几人?
【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由于全班
42
人没有一个人三种球都不爱好,所以全班至少爱好一种球的有
42
人.根据包含排除法,
42(261719)(94
既爱打 篮球又爱打排球的人数
)0
,得到既爱打篮球又爱打排球的人数
为:
49 427
(人).
【答案】
7


【例 3】 四年级 一班有46名学生参加3项课外活动.其中有24人参加了数学小组,20人参加了语文小组,
参加文艺 小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3.5倍,又是3项活动都参加人数
的7倍,既参加 文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍,既参加数学小
组又参加语文小组的有1 0人.求参加文艺小组的人数.
【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设参加数学小组的学生组成集合A,参加语文小组的学生组成集合B,参加文艺小组的学生组 成集
合G.三者都参加的学生有z人.有
ABC
=46,
A
=24,
B
=20,
C
=3.5,
AC
=7
ABC


BC
=2
ABC

AB
=10.
因为
ABCABCABACBCABC

所以46=24+20+7x-10-2x-2x+x,解得x=3,
即三者的都参加的有3人.那么参加文艺小组的有3

7=21人.
【答案】
21


【巩固】 五年级三班学生参加课外兴趣小组, 每人至少参加一项.其中有25人参加自然兴趣小组,35
人参加美术兴趣小组,27人参加语文兴趣小 组,参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人,
参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人,参加自 然同时又参加语文兴趣小组的有9人,
语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人.求这个班的学生 人数.

【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答

A自然
B美术
C语文

【解析】 设参加自然兴趣小组的人组成集合 A,参加美术兴趣小组的人组成集合日,参加语文兴趣小组的人
组成集合C.

A
=25,
B
=35,
C
=27,
BC
= 12,
AB
=8,
AC
=9,
ABC
=4.
ABC
=
ABCABACBCABC
.
所以,这个班 中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62,而这个班每人至少参加一项.即
这个班有62人.
【答案】
62


【巩固】 光明小学组织 棋类比赛,分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行,参加围棋比赛的有
42
人,
参 加中国象棋比赛的有
55
人,参加国际象棋比赛的有
33
人,同时参加了围棋 和中国象棋比赛
的有
18
人,同时参加了围棋和国际象棋比赛的有
10
人,同时参加了中国象棋和国际象棋比赛
的有
9
人,其中三种棋赛都参加的有
5
人,问参加棋类比赛的共有多少人?
【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 根据包含排除法,先把参加围棋比赛的
42
人,参加中国象 棋比赛的
55
人与参加国际象棋比赛的
33

加起来,共是
425533130
人.把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的
18
人,同时 参加围棋
和国际象棋的
10
人与同时参加中国象棋和国际象棋的
9
人 减去,但是,同时参加了三种棋赛的
5

被加了
3
次,又被减了3
次,其实并未计算在内,应当补上,实际上参加棋类比赛的共有:
130(1810 9)598
(人).
或者根据学过的公式:
ABCABCABBC ACABC
,参加棋类比赛的总
人数为:
425533181095 98
(人).
【答案】
98


【例 4】 新年联 欢会上,共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出.如果只参加跳舞的人数三倍
于只参加合唱 的人数;同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人;只参加演奏的比同时参
加演奏、跳舞但没有参 加合唱的人多4人;50人没有参加演奏;10人同时参加了跳舞和合唱但没
有参加演奏;40人参加了 合唱;那么,同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有________人.
【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】西城实验
【解析】 设只参加合唱的有
x
人,那么只参加跳舞的人数为
3x
,由
50
人没有参加演奏、< br>10
人同时参加了跳


舞和合唱但没有参加演奏,得到只参加合唱的和只参 加跳舞的人数和为
501040
人,即
x3x40
,得
x 10
,所以只参加合唱的有
10
人,那么只参加跳舞的人数为
30
人 ,又由“同时参加
三种节目的人比只参加合唱的人少
7
人”,得到同时参加三项的有< br>3
人,所以参加了合唱的人中“同时
参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”有:
401010317
人.
【答案】
17


【巩固】 六年级100名同学,每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项.其中,爱好体育的55 人,爱
好文艺的56人,爱好科学的51人,三项都爱好的15人,只爱好体育和科学的4人,只爱好体 育
和文艺的17人.问:有多少人只爱好科学和文艺两项?只爱好体育的有多少人?
【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 只是A类和B类的 元素个数,有别于容斥原理Ⅱ中的既是A类又是B类的元数个数.依题意,画图
如下.设只爱好科学和文 艺两项的有
x
人.由容斥原理,列方程得
555651(1715)(415)(x15)15100


55565117x4
111x100


152

x11
只爱好体育的有:
551715419
(人).
【答案】
11
人只爱好科学和文艺,
19
人只爱好体育。

【例 5】 在某个风和日丽的日子,
10
个同学相约去野餐,每个人都带了吃的,其 中
6
个人带了汉堡,
6
个人
带了鸡腿,
4
个人带了 芝士蛋糕,有
3
个人既带了汉堡又带了鸡腿,
1
个人既带了鸡腿又带了芝士< br>蛋糕.
2
个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕.问:
⑴ 三种都带了的有几人?
⑵ 只带了一种的有几个?
【考点】三量重叠问题 【难度】4星 【题型】解答
A
B
C

【解析】 如图,用
A
圆表示带汉堡的人 ,
B
圆表示带鸡腿的人,
C
圆表示带芝士蛋糕的人.
⑴ 根据包含 排除法,总人数
(
带汉堡的人数

带鸡腿的人数

带芝士 蛋糕的人数
)(
带汉堡、鸡
腿的人数

带汉堡、芝士蛋糕的人数< br>
带鸡腿、芝士蛋糕的人数
)
三种都带了的人数,即
10(66 4)(321)
三种都带了的人数,得三种都带了的人数为:
10100
(人).
⑵ 求只带一种的人数,只需从10人中减去带了两种的人数,即
10(32 1)4
(人).只带了一种
的有
4
人.
【答案】(1)0人,(2)
4


【巩固】 盛夏的一天,有< br>10
个同学去冷饮店,向服务员交了一份需要冷饮的统计表:要可乐、雪碧、橙汁的
各有
5
人;可乐、雪碧都要的有
3
人;可乐、橙汁都要的有
2
人 ;雪碧、橙汁都要的有
2
人;三样都
要的只有
1
人,证明其中一定有
1
人这三种饮料都没有要.
【考点】三量重叠问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 略
【答案】根据根据包含排除法,至少要了一种饮料的人数

(要可乐的人数

要雪碧的人数

要橙汁的人
数)
(要可乐、雪碧的人数

要可乐、橙汁的人数

要雪碧、橙汁 的人数)

三种都要的人数,即至
少要了一种饮料的人数为:
(555) (322)19
(人).
1091
(人),所以其中有
1人这三种
饮料都没有要.



【例 6】 全班有
25
个学生,其中
17
人会骑自行车,
13
人会游泳,
8
人会滑冰,这三个运动项目没有人全会,
至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了,但又 都不是优秀.若全班有
6
个人数学不及格,
那么,⑴ 数学成绩优秀的有几个学生?
⑵ 有几个人既会游泳,又会滑冰?
【考点】三量重叠问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 ⑴ 有
6
个数学不及格,那么及格的有:
256 19
(人),即最多不会超过
19
人会这三项运动之一.而
又因为没人全会 这三项运动,那么,最少也会有:于
(17138)219
(人)至少会这三项运动之 一.
是,至少会三项运动之一的只能是
19
人,而这
19
人又不是优 秀,说明全班
25
人中除了
19
人外,剩
下的
6
名 不及格,所以没有数学成绩优秀的.
⑵ 上面分析可知,及格的
19
人中,每人都会 两项运动:会骑车的一定有一部分会游泳,一部分会滑
冰;会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰,而会 滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳,但既会
游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车.所以,全班有
19172
(人)既会游泳又会滑冰.
【答案】(1)0人,(2)
2


【巩固】 五年级一班共有< br>36
人,每人参加一个兴趣小组,共有
A

B

C< br>、
D

E
五个小组,若参加
A

的有
15
人,参加
B
组的人数仅次于
A
组,参加
C
组 、
D
组的人数相同,参加
E
组的人数最少,只

4
人.那么,参加
B
组的有_______人.
【考点】三量重叠问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 参加
B

C

D
三组的总人数是
3615417
(人),
C

D
每组至少
5
人,当
C

D
每组
6
人时,
B
组为
5
人,不符合题意,所以参加
B
组的有
17557
(人).
【答案】
7


【例 7】 五一班有28位同学,每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个.其中仅参加数学与语文
小组的人数等于仅参加数学小组的人数,没有同学仅参加语文或仅参加自然小组,恰有6个同学
参加数学 与自然小组但不参加语文小组,仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数
的5倍,并且知道 3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数,那么仅参加数学和语文小组的人
有多少人?
【考点】三量重叠问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 参加3个小组的人 数是一个不为0的偶数,如果该数大于或等于4,那么仅参加语文与自然小
组的人数则大于等于20,而 仅参加数学与自然小组的人有6个,这样至少应有30人,与题意
矛盾,所以参加3个小组的人数为2. 仅参加语文与自然小组的人数为10,于是仅参加语文与
自然、仅参加数学与自然和参加3个小组的人数 一共是18人,剩下的10人是仅参加数学与语
文以及仅参加数学的.由于这两个人数相等,所以仅参加 数学和语文小组的有5人.
【答案】
5


【例 8】 在一个 自助果园里,只摘山莓者两倍于只摘李子者;摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的
人数多
3
个;只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多
4
人;
50
个 人没有摘草莓;
11
个人
摘了山莓和李子但没有摘草莓;总共有
60
人摘了李子.如果参与采摘水果的总人数是
100
,你能回
答下列问题吗?
① 有 人摘了山莓;
② 有 人同时摘了三种水果;
③ 有 人只摘了山莓;
④ 有 人摘了李子和草莓,而没有摘山莓;
⑤ 有 人只摘了草莓.


山莓
A
E
G
B
F
草莓
C
李子
D
【考点】三量重叠问题 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 如图,根据题意有
A2C

GC3

BE4

ADC50

D11

CDFG60

ABE40


代入求解:
A26

B9

C13

D11

E5

F20

G16

所以①有
ADEG261151658
(人)摘了山莓;
②有
16
人同时摘了三种水果;
③有
26
人只摘了山莓;
④有
20
人摘了李子和草莓,而没有摘山莓;
⑤有
9
人只摘了草莓.
【答案】①有
58
(人)摘了山莓;②有
16
人同时摘了三种水果;
③有
26
人只摘了山莓;④有
20
人摘了李子和草莓,而没有摘山莓 ;
⑤有
9
人只摘了草莓.

【例 9】 某学校派出若干名学生 参加体育竞技比赛,比赛一共只有三个项目,已知参加长跑、跳高、标枪
三个项目的人数分别为10、1 5、20人,长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之
一的人还参加了别的比赛项目,求 这所学校一共派出多少人参加比赛?
体育55人
17
文艺56人
15
x
4
科学51人
【考点】三量重叠问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 由条件可知,参加长跑的人中有2人参加其它项目,参加跳高的人中有3人参加其 它项目,参加标
枪的人中有4人还参加别的项目,假设只参加长跑和跳高的人数为x,只参加长跑和标枪 的人数为y,
只参加标枪和跳高的有z人,三项都参加的有n人.那么有以下方程组:
参加其 它项目,参加标枪的人中有4人还参加别的项目,假设只参加长跑和跳高的人数为x,只参加
长跑和标枪 的人数为y,只参加标枪和跳高的有z人,三项都参加的有n人.那么有以下方程组:

xyn2

xzn3






zyn4
由条件可知,参加长跑的人中有2人参加其它项目,参加跳高的人中有3人
将3条等 式相加则有2(x+y+z)+3n=9,由这个等式可以得到,n必须是奇数,所以,n只能是1或
3 、5、7……,如果n≥3时x、y、z中会出现负数.所以n=1,这样可以求得x=0,y=1,z=2.由 此可得
到这个学校一共派出了10+15+20-0-1-2-2×1=40人.
将3条等式 相加则有2(x+y+z)+3n=9,由这个等式可以得到,n必须是奇数,所以,n只能是1或


3、5、7……,如果n≥3时x、y、z中会出现负数.所以n=1,这样可以求得x=0,y=1 ,z=2.由此可得
到这个学校一共派出了10+15+20-0-1-2-2×1=40人.
【答案】
40


模块二、四个量的重叠问题

【例 10】 养牛场有2007头黄牛和水牛,其中母牛1105头,黄牛1506头,公水牛200头,那么母黄牛有
头。
【考点】四个量的重叠问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯,4年级,1试
【解析】 解:公牛有2007-1105=902头,公 黄牛有902-200=702头,母黄牛有1506-702=804头
【答案】
804


【例 11】 一个书架上有数学、语文、英 语、历史4种书共35本,且每种书的数量互不相同。其中数学书和
英语书共有l6本,语文书和英语书 共有17本:有一种书恰好有9本,这种书是 书。
【考点】四个量的重叠问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】迎春杯,四年级,初赛,5题
【解析】 如果 数学书有x本,那么英语书有16-x本,语文书有17-(16-x)=x+1本,历史书为
35-( x+16-x+x+1)=18-x本,其中有可能出现相等的有x和16-x,x和18-x因为它们奇偶性相 同.为了
不相等,x≠8且x≠9,有此得到16-x不等于8和7,x+1不等于9和10,18-x 不等于10和9,只有
16-x可以等于9,所以英语书有9本.
【答案】英语




河蟹吃什么-dnf奶爸


吉林松花江-匆匆那年主题曲


电子菜谱-审计公司


人中长-无极剑圣出装


好春光-一泄千里


文具用品清单-宙组词


昵称符号-交通银行的理财产品


空巢老人产生的原因-绝口不提