集合问题(容斥原理)5丨三者集合公式法(包含)
养殖业贷款-商业银行中间业务
集合问题（容斥原理）5丨三者集合公式法（包含）
A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C
A∪B∪C表示A
BC三个圆圈覆盖的面积；A∩B∩C表示符合三个条件，在实
际的解题中注意两点：①有不符合ABC
任意一项的，并未在图中展示②A∩
B是包含A∩B∩C，仅满足A∩B=A∩B-A∩B∩C，其他同
理。
2007年广州下半年
如图所示，每个圈纸片的面积都是36，圈纸片A 与B、B 与C、C 与A 的
重叠部分面
积分别为7、6、9，三个圈纸片覆盖的总面积为88，则图中阴
影部分的面积为？
A.66 B.68 C.70 D.72
【解析】C。根据公式，得知A∩B∩C=2，
进一步得知，周边空白处，依次为5、4、7，故而阴影部分为：
88-7-6-9=88-5-4-7-2=70
2009年国考
116.如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸
片，覆盖住桌
面的总面积是290，其中X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分的面
积依次是24、70、36，那么阴影
部分的面积
A.15 B.16 C.14 D.18
【解析】B。利用
公式即可得知：设阴影部分的面积为A，根据图形的重叠
情况，减去重叠部分的面积，可知：X＋Y＋Z
－24－70－36＋A＝290。代入
数据：
即：64＋180＋160－24－70－36＋A＝290得知：解得：A＝16。
2011年安徽
15.如图所示：Ａ、Ｂ、Ｃ分别是面积为60、170、150的
三张不同形状的
卡片，它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为280，且Ａ与
1
Ｂ、Ｂ与Ｃ、Ｃ与Ａ重叠部分的面积分别是22、60、35。问阴影部
分的面
积是多少？（）
A.15 B.16 C.17
D.18
【解析】C。套用三集合容斥原理公式，60＋170＋150－22－60－35
＋X＝
280，根据尾数法知答案为C。
2009年北京社招
2
4.对39钟食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：
含甲的有17种，含乙的有1
8种，含丙的有15种，含甲、乙的有7种，含
甲、丙的有6种，含乙、丙的有9种，三种维生素都不含
的有7种，则三
种维生素都含的有多少种?
A.4
B.6 C.7
D.9
【解析】A。
三者集合问题。设A=含甲的有17种，B=含乙的有18种，C=
含丙的有15种，AB=含甲、乙的
有7种，AC=含甲、丙的有6种，BC
=含乙、
丙的有9种，ABC=三种维生素都含的有种数。根据容斥原理ABC=A+B+C- AB-
AC- BC+
ABC可知，39-7=17+18+15-7-6-9+ABC，因此ABC=4。
注：直接套用公式即可。
2009年浙江
55.某专业有学生5
0人，现开设有甲、乙、丙三门必修课。有40人选修甲
课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，
兼选甲、乙两门课程的有28
人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲
、
乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人？
A 1人
B. 2人 C.3人 D.4人
【解析】B。利用公式直接解决。
2015年陕西
71.针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，3
0人喜欢华山，
42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，
2
5人既喜欢华山又喜欢黄山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中
任何一个的有（ ）人。
A. 20 B. 18 C. 17 D.
15
E. 14 F. 13 G. 12 H. 10
【
解析】A。三集合标准型公式得，至少喜欢一个景点的人数为
28+30+42-8-10-5+3=8
0，则不喜欢任何一个的人数为20人。
2015年广东乡镇级
46.某
乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个项目。参加长跑的有49
人，参加跳远的有36人，参加短
跑的有28人，只参加其中两个项目的有
13人，参加全部项目的有9人。那么参加该次运动会的总人数
为（ ）。
A.75 B.82 C.88 D.95
【解析】 B 。三者集合问题及差量思维。49+36+28-13-2×9=82人。
2018年陕西
60.有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧
化剂达标的
有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐
剂都达
标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白
剂都达标的有35种，三种食品添加
剂都达标的有30种，那么三种食品添
加剂都不达标的有（ ）种
A.14
B.15 C.16 D.17 E.18 F.19 G.20 H.21
【解析】E。考查多年的三者集合问题。令三者均不达标为X，则有：
120-X=68+77+59-54-43-35+30，根据尾数得知：8
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