中餐食谱-赤脚医生

第八讲：容斥原理之重叠问题

一、 导入
?文氏图
文氏图，也叫“维恩图”，是由英国着名数学家Venn发明的．
维恩（公元1834年8月 4日─公元1923年4月4日）十九世纪英国着名的数学家和哲学家，
生于英国赫尔．他1883年获 得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员．
维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方 法，也就是发明了文氏图．他作出一系列简单
闭曲线（圆或更复杂的图形），将平面分为许多间隔．利用 这种图表，维恩阐明了演绎推理的基本
原理．为了进一步明确起见，他还引入了一些数学难题作为实例． 虽然在维恩之前，莱布尼茨
（Leibniz）已系统地运用过这类逻辑图，但今天这种逻辑图仍称作“ 维恩图”另外，维恩在概率论
和逻辑学方面也有很大贡献，他的着作——《机会逻辑》和《符号逻辑》， 在19世纪末20世
纪初曾享有很高的声誉．
除了数学以外，维恩还有一项较为特别的技能— —制作机器．他曾制作过一部板球发球机，当澳
洲板球队在1909年到访剑桥大学时，维恩的机器依然 运作正常，并使他们其中一位成员打空四
次．
什么是容斥原理？

这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样的问题在生活中就有不少，
比如 吃瓜子．我们说吃掉了一斤瓜子，指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这一斤
中还“包含 ”着瓜子壳．如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一称瓜子壳，用原来的一
斤“排除”掉瓜子 壳的重量．瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜
子壳，两者各不相关．但 本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，各部分之间会有重叠．
比如一个办公室中每个人都至少爱喝 茶或咖啡中的一种，已知有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，
那能不能就说办公室里有17个人呢？显 然不能，因为可能有一些人既爱喝茶也爱喝咖啡，如果直
接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加，会把既爱 喝茶又爱喝咖啡的人计算2次，计算人数的时候
要把这一部分减去才行．
比如，如果有3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，那总的人数就应该是7+10?3=14人．
这就 是我们今天要来研究的问题——有重叠的计数问题，即包含与排除问题．研究这种问题通常
需要画出示意 图，这样的示意图又叫做文氏图，下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公
式．
两个量之间的重叠
例1、某班有34名同学参加了学校的运动会，其中有17名参加了跳绳， 有20名参加了拔河，

问：及参加了跳绳又参加了拔河的又多少人？
如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算A+B
就会算多了，而多算的正好是共 同部分，只要把多算的减掉就可以
了．上述分析总结成公式就是：
这个公式就是两个对象的容斥原理．
17+20-34
=37-34
=3（人）
答：即参加跳绳又参加拔河的同学有3人。

练一练
1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀，其中语文成
绩优秀 的有65人，数学优秀的有87人．语文、数学都优秀的有多少人？
2、在一次数学测试中有两道题全 班同学都至少答对一题，答对第一题的有33人，答对第二题的
又38人，两题都答对的又15人，问全 班又多少人？
3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器。已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有 17人，
其中两种乐器都会的有8人，这个文艺组一共有多少人？
挑战思维
1、为 了参加一次竞赛，某班46人中，每人至少参加一项。其中有20人参加语文兴趣小组，，
参加语文同时 又参加数学兴趣小组的有2人，两项都没有报的有10人，那么参加数学兴趣小组
的有多少人？


三个量之间的重叠
换个思路想一想
至少报一项的有多少人？
1 、某单位元旦期间组织旅游，每人至少说出一个想去的地方。其中想去海南的有42

人，想去 桂
林的有44人，想去港澳的有36人，既想去海南又想去桂林的有12人，既想去桂林又想去港澳的有8人，既想去海南又想去港澳的有10人，三个地方都想去的有4人。问这个单位一共有多
少人 ？

（42=44+36）-12-8-10+4

=122-（12+8+10）+4
=122-30+4
=96（人）
答：这个单位一共有96人。
方法总结：

（1）三个量的重叠问题中，如果是全部参与，则总人数等于参加三项的人数和减去同
练一练
时参加两项的人数和，再加上同时参加的三项人数。
（2）三个量的重叠问题中，如果是部分 参与，则总人数等于至少参加一项的人数和三
1、学校对150名大学生做关于《业余生活》的调查，统 计到喜欢看电影的有63人，喜欢玩球
项都没有参加的人数和，
如果都参加了，总数等于三个量的和减去两两重叠的部分，在加上三个量重叠的部分。
的有6 6人，喜欢读书的有54人，既喜欢看电影又喜欢玩球的有18人，既喜欢玩球又喜欢读书
公式：
s
=a+b+c-ab-bc-ac+abc
15人.问：三种都喜欢的有多少人？ 的有12人，既喜欢看电影又喜欢读书的有
部分参与
2、在校园艺术活动中，五（2）班的同 学参加了美术和声乐比赛。参加美术比赛的有25人，参
公式：
s
=a+b+c-ab -bc-ac+abc+d
（d是三项都没有参加的人数）
加声乐比赛的有20人，两项都参加 的有12人，两项都没有参加的有10

人。五（2）班一共有
多少人？
挑战竞赛
3、学校举行运动会。四年级共有60名同学，其中参加百米赛跑的有21人，参加 投掷的有26
人，即参加百米有参加跳远的有12人，即参加跳远有参加投掷的有9人，即参加百米有参 加投
掷的有14人，三项都参加的有5人，三项都没有参加的有12人，问参加跳远的有多少人？
重叠问题中的极值问题
1、40人参加某次晚会，其中28人在晚会上唱了歌，25人在晚会 上跳舞，那么即唱歌有跳舞
的人最多有多少人，最少有多少人？

最多：25人
最少:(28+25)-40=13人
答：最多25人最少13人。
方法总结：

换个思路想一想
要使人数最多则重叠最多，
怎么画图才可以重叠最多两个量的极值中，两项都参加的人最多，就是较少的一项；两项都参加的人数最少，就是求
重叠部分 。

练一练
1、某校100名学生中，爱好音乐的有56人，爱好美术的有7 5人，那么即爱好音乐有爱好美
术的最多有多少人？最少有多少人？
换个思路想一想
2、某班30名同学。在一项测试中，答对一题的有19人，答对2题的14人，那么两题都答对
的最 多有多少人？最少有多少人？
挑战思维
3、希望小学音乐兴趣小组有37人，其中20人会 手风琴，16人会钢琴，24人会电子琴，即
会手风琴又会钢琴的8人，即会电子琴又会钢琴的10人， 即会手风琴又会电子琴的8人，那么
三种都不会的至少多少人？
最多56人还是75人，最少

方法总结：

换个思路想一想
根据：
：s=a+b+c-ab-bc-ac+abc+d若要d最
两个量的极值中， 两项都参加的人最多，就是较少的一项；两项都参加的人数最少，就是求
大，则abc必须怎么样？
重叠部分。
家庭作业
三个量的极值中，如果要不参加的最多，就要参加的尽量少。
1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业?请举手!”有37人举手。又问：‘谁做 完数学作业?
请举手!”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业没有做完?”没有人举手。求这个 班语文、数学作业都完成的
人数是______人。
2、某个班的全体学生进行了短跑、游泳 、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，
其余每人至少有一个项目达到优秀 ，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：
短跑 游泳 篮球 短跑、游泳 游泳、篮球 篮球、短跑 短跑、游泳、篮球
17 18 15 6 6 5 2
求这个班的学生数？
3、某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加蓝球队，10人参加排球队。已知没一个 人同时
参加3个队，且每人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加蓝球队，有2人既参加蓝球队又 参加排球队，
那么既参加足球队又参加排球队的有多少人？
4、班有46人其中会弹琴的有3 0人，会拉小提琴的有28人，则这个班级会弹琴又会拉小提琴的至少有多少
人？

5 、
某班同学中，有26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，有9人既爱打篮球又爱踢足球， 有4

人既爱打排球又爱踢足球，有7人既爱打篮球又爱打排球，没有一个人三种球都爱玩 ，也没有一个人三种球都
不爱玩，问：这个班共有多少学生？
6、某班有45名同学，其中2 2名同学参加科技兴趣小组，27名同学参加数学兴趣小组，同时参加两个小组
的人数是两个小组均未参 加的人数的2倍，那么至少参加一个兴趣小组的同学有多少名？
7、我校六年级三班学生每人至少参加 了一种竞赛，其中有32人参加数学竞赛，27人参加英语竞赛，22人
参加语文竞赛.其中参加英语和 数学两科的有12人，参加英语和语文两科的有14人，参加数学和语文两科的
有10人.问：这个班至 少有多少人？至多有多少人？