小学奥数计数问题之容斥原理知识点
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小学奥数计数问题之容斥原理知识点
经验是数学的基础，问题是数学的心
脏，思考是数学的核心，发
展是数学的目标，思想方法是数学的灵魂。数学思想方法是数学知识
的精髓，是分析、解决数学问题的基本原则，也是数学素养的重要内
涵，它是培养学生良好思维品质的催
化剂。以下是无忧考网整理的相
关资料，希望对您有所帮助。
【篇一】
容斥原理概念：
在计数时，必须注意无一重复，无一遗
漏。为了使重叠部分不
被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：
先
不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出
来，然后再把计数时重复计算的数目排
斥出去，使得计算的结果既无
遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理1
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总
和=属于A类元素个数+属于B
类元素个数—既是A类又是B类的
1
元素个数。(A∪B=A+B-A∩B)
容斥原理2
如果被计
数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C
类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C
类元素个数—既
是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是
B类又是C类
的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个
数。(A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-
C∩A+A∩B∩C)
经典例题：
例1、某班共有30名男生，其中20人参加足球队
，12人参加
蓝球队，10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队，且每人至
少参加一个
队，有6人既参加足球队又参加蓝球队，有2人既参加
蓝球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排
球队的有()人.
考点：重叠问题.
分析：如图所示，设既参加是球队又参加排球队的
人数为x，
则依容斥原理，有20+12+10-6-2-x=30，解方程即可.
解答：解：如图所示，设既参加是球队又参加排球队的人数为
x，则依容斥原理，
有20+12+10-6-2-x=30，
解得x=4.
故答案为：4.
点评：此题考查学生依据容斥原理解答问题的能力.
例2、在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名
2
<
br>学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题
的学生中,解出第二题的
人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第
一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;
(4)只解出一道
题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是
()
解答：根据每个人至少答出三题中的一道题可知答题情况分
为7类：只答第1题，只答第2题
，只答第3题，只答第1、2题，
只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由(1)知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…①
由(2)知：a2+a23=(a3+a23)×2……②
由(3)知：a12+a13+a123=a1-1……③
由(4)知：a1=a2+a3……④
再由②得a23=a2-a3×2……⑤
再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥
然后将④⑤⑥代入①中，整理得到
a2×4+a3=26
由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：
当a2=6、5、4、3、2、1时，a3=2、6、10、14、18、22
又根据a23=a2-a3×2……⑤可知：a2>a3
因此，符合条件的只有a2=6，a3=2。
然后可以推出a1=8，a12+a13+a123=7，a23=2，总人数
3
=8+6+2+7+2=25，检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数a2=6人。
【篇二】
1、在1到500的全部自然数中，不是7的倍数，也不是9的
倍数的数共有多少个?
2、
六年级一班有45名同学，每人都参加暑假体育培训班，其
中足球班报25人，篮球班报20人，游泳班
报30人，足球、篮球都
报者有10人，足球、篮球都报者有12人。问三项都报的有多少人?
3、某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，
其中数学有30人参加，英
语有20人参加，语文小组有10人参加，
老师告诉同学既参加数学又参加语文小组的有3人，既参加数
学又参
加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只
有1人，求既参加英
语又参加数学小组的人数。
4、某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，
语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文
两科满分者7人，语文、英语两科满
分者9人，三科都没有得满分
者3人。问这个班最多多少人?最少多少人?
5、向50名同
学调查春游去颐和园还是去动物园的态度，赞成
去颐和园的人数是全体的35，其余不赞成;赞成去动物
园的比赞成去
4
颐和园的学生多3人，其余不赞成，另外对去两处
都不赞成的学生数
比对去两处都赞成的学生数的13多1人，同时去颐和园和去动物园
都赞成和
都不赞成的学生各有多少人?
6、分母是1001的最简真分数共有多少人?
7、*出
了两道数学题，全班40人中，第一有30人做对，第二
题有12人未做对，两题都做对的有20人。
(1)第2题对第1题不对有几个人?
(2)两题都不对的有几人?
8、每
边长为10厘米的正方形纸片，正中间挖一个正方形的洞，
成为宽1厘米的方框，把五个这样的方框放在
桌面上，成为如的图案。
问桌面上放这些方框盖住部分的面积是多少平方厘米?
9、一次数
学竞赛都是填空题，小明答错的恰是题目总数的14，
小亮答错5题，两人都答错的题目的总数的16，
已知小明，小亮都
答对题目超过了试题总数的一半，则他们都答对了多少道题?
10、在1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7
整除的数有多少个?
【篇三】
奥数计数问题之容斥原理解析
1.有三个面积各为50平方厘米的圆放在桌面上，两两相交的面
5
积分别是8、10、12平方厘米，三个圆相交的面积是5平方厘米，
求三个圆盖住桌面的面积?
2.某区有100名外语教师懂英语或日语，其中懂英语的有75
名，既懂英语又懂日语的有
20人。只懂日语的有多少名?
3.某班数学测验时有10人得优，英语得优有12人，两门都得<
br>优有3人，两门都没得优的有26人。全班有多少人?
4.六年级一班春游，带矿泉水的有1
8人，带水果的有16人，
这两种至少带一种的有28人，求两种都带的有多少人?
5.在1至100的自然数中，不能被2整除的数或不能被3整除
或不能被5整除的数共有多少个?
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