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拉灯问题 （容斥原理）

题目1. 2000年小学数学奥林匹克初赛试题B卷
有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按 其顺序号编号为1，2，3，…，2000，
然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数 的灯线拉一下，最后将编号为5
的倍数的灯线拉一下，三次拉完之后，亮着的灯有 盏。
分析与解：先考虑什么样的灯的亮着的，分两类，一类是动都没动过的，一类是动过两次的。画三个集合圈的韦恩图来表示。
也就是我们最终要求框内圈外部分的数据是一动不动的。D，E， F三小部分是动过两次的。
你可以把图中每一小块填出来，再相加，也可以用下面的方法做。
2
A
D
G
E F
C
5

如右图所示，拉了3次的灯(即能同时被2,3，5整除的数)有G=
[

]66(盏)。
A
235

3
B
2000
被拉了2次的灯有DEF［
333200133 -366468(盏)。
2
］［］［］-3G
232535
2
］［］［］-2(DEF)-3G

253
1000666400-2468-366932(盏)。
被拉了1次的灯有ABC［
被拉了一次和三次的灯灭了，所以亮的灯还有2000-66-9321002。

题目2. 六（2）班同学47名，一天上体育课时，排成一列横队，都面向老师，然后按
1，2，3，4，……4 6，47报数，老师要求学生按照如下的步骤进行操作：
先让报数是3的倍数的同学向后转；
再让报数是5的倍数的同学向后转。
经过这两步骤以后，还有多少名同学面向老师？
与上题形式一样换个说法，是一个关于两个元素的集合问题。把面向老师理解为灯亮着，
背向理解为灯 灭了。试试看是多少，极为典型，小升初必备知识。

答案：29名。
47÷3=15……2
47÷5=9……2，
47÷（3×5）=3……2 两次向后转的共15+9=24（人次），其中有3人两次都向后转了，所以面向老师的同学还有
4 7-（24-3×2）=29名。.

题目3. 在1997*1997的正方形棋盘上 的每一格都装有一盏灯和一个按钮。按钮每按一
次，与它同一行和同一列的灯泡改变一次状态，即由亮变 为不亮，或由不亮变为亮。如果原
来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变 亮？

题目分析：每按一次按钮，同行、同列的灯泡都改变一次状态，对角线上的灯泡都是既 不同
行、也不同列的，所以，对角线上有多少个，最少就必须要有多少次。这样，剩下的关键是
对角线上的个数次能否实现。题中1997*1997的正方形棋盘对角线上有1997个灯泡，1997
是奇数，可以实现。

解答：一方面，原来每盏灯都是不亮的，要使得灯全部变亮，每个灯泡必须被改变状态奇数
次；
另一方面，按钮每按一次，与它同一行和同一列的灯泡改变一次状态，对角线上的灯泡既不
同行 、也不同列，所以，要使得灯全部变亮，即至少改变状态一次，则至少需要1997次；
同时，1997 次可以实现使全部灯变亮。
实现方法：依次将第一排中的1997个按钮各按一遍。

题目4. 设标有A、B、C、D、E、F、G记号的7盏顺次排成一行，每盏灯安装一个开关。
现在A、C、E、G4盏灯开着，其余3盏灯是关的。小刚从灯A开始，顺次拉动开关，即从A
到G， 再从A开始依次拉动开尖，即又从A到G,….他这样拉动了1999次开关后。问：哪几
盏灯是开着的 ？
答案：A、C、F开着。
分析：一盏灯被拉动奇数次后，改变原来的状态，即开的变成关 的，关的变成开的，而一盏
灯的开关被拉动偶数次后，不改变原来的状态，即开的仍为开的关的仍为关的 。因此本题 的
关键是计算各盏灯被拉次数的奇偶性。由于1999=7×285+4，再由灯的开关的 拉法，我们知
A，B，C，D4盏灯的开关各被拉支了286次，而E，F，G3盏灯的开关各被拉动了 285闪。
所以小刚拉动1999次开关后，A，B，C，D4盏灯不改变原来的状态，E，F，G3盏 灯将改变
原来的状态。由于开始时A，C，E，G，4盏灯是开着的。因此最后A、C、F3盏灯是开着 。

题目5. 四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下
两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行
下去 ，问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？

红
蓝
黄
白


蓝
红
白
黄


白
黄
蓝
红
分析与解：经观察发现，每经过4次互换，四盏灯 的颜色排列重复一次，而1小时＝60分
钟＝120×30秒，所以此题实质是求120除以4的余数， 因为120≡0（mod 4），所以开灯1
小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。

题目6. 走廊里有10盏电灯，从1到10编号，开始时电灯全部关闭。有10个学生依
次通 过走廊，第1个学生把所有的灯绳都拉了一下，第2个学生把2的倍数号的灯绳都拉了
一下，第3个学生 把3的倍数号的灯绳都拉了一下……第10个学生把第10号灯的灯绳拉了
一下。假定每拉动一次灯绳， 该灯的亮与不亮就改变一次。试判定：当这10个学生通过走
廊后，走廊里哪些号数的灯是亮的？

答案：1，4，9号灯。
提示：灯绳被拉动奇数次的灯亮着。可从最简单的情 况考虑，把拉过某号的学生号码写出来
寻找规律，如1号是第1个学生拉过，4是1,2，4号拉过，6 是1,2，3,4号学生拉过，10
是1,2，5,10号学生拉过，也就是第i号灯的灯绳被拉的次数 就是i的所有约数的个数。由
自然数因数分解的性质知，只有当i是平方数时，i的约数的个数才是奇数 ，所以只有1，4，
9号灯亮着。
题目7. 将上题数据改成2006：走廊里有2006盏 电灯，从1到2006编号，开始时电
灯全部亮着。有2006个学生依次通过走廊，第1个学生把所有 的灯绳都拉了一下，第2个
学生把2的倍数号的灯绳都拉了一下，第3个学生把3的倍数号的灯绳都拉了 一下……第
2006个学生把第2006号灯的灯绳拉了一下。假定每拉动一次灯绳，该灯的亮与不亮就 改变
一次。试判定：当这2006个学生通过走廊后，走廊里还有多少灯是亮的？

解答：可把小于2006的平方数的个数找出来，44的平方=1936,45的平方=2025大于2006，
所以小于2006的平方数有44个。亮着的灯有2006-44=1962盏。
解题在于实践：
题目8. 设标有A，B，C，D，E，F，G的7盏灯顺次排成一行，每盏 灯安装一个开
关。现在A，C，D，G这4盏灯亮着，其余3盏灯没亮。小华从灯A开始顺次拉动开关，
即从A到G，再从A开始顺次拉动开关，他这样拉动了999次开关后，哪些灯亮着，哪些
灯没 亮？
解：一盏灯的开关被拉动奇数次后，将改变原来的状态，即亮的变成熄的，熄的变成亮
的；而一盏灯的开关被拉动偶数次后，不改变原来的状态。由于999=7×142+5，
因此，灯 A，B，C，D，E各被拉动143次开关，灯F，G各被拉动142次开关。所以，
当小华拉动999 次后B，E，G亮，而A，C，D，F熄。
题目9. 有2009盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控 制着，现按其顺序号编号为1，2，
3，…，2006，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号 为3的倍数的灯线拉一下，
最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完之后，亮着的灯有 盏。
本题模仿例题做一下。不提供答案。