公务员笔试之行测：巧解三集合容斥原理问题
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2014年公务员行测：巧解三集合容斥原理问题
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三集合容斥原理此类题型主要出现在近年来各省的省考中，主要是有三个独立的个体，
此类题型主要的做
题方法是公式法和作图法。近年来直接套用三集合公式的题目有所减少，
开始出现条件变形的题目，不管
容斥原理的题目怎么变化，但我们只要掌握住核心思想——
剔除重复，那么做任何一个容斥原理题目都能
够得心应手。
x
A
B
C
根据上图，可得三集合容斥原理核心公式：
ABC=A+B+C-AB-BC-
AC+ABC=总数-x
一、直接利用公式型
【例1】（2012年4月联考）某
公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42
人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别
是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位
的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那
么同时报乙、丙职位的人数为：
A. 7人
C. 5人
【答案】A
【解析】设同时报乙、丙职位的人数为x，则根据三集合容斥原理公式有：
B. 8人
D. 6人
22+16+25-8-6-x+0=42-0，解得x=7。因此，本题答案为A选项。
二、三集合容斥原理作图型
若在题目中任何一个位置看到“只满足”或“仅满足”，则公式
法不能够再用，采用作
图法来解题，注意，在作图的时候不管三七二十一，先画三个两两相交的圈，再往
里填数字
即可，填的时候注意从中间往外一层一层填。
【例2】（2007年江苏）一次运
动会上，17名游泳运动员中，有8名参加了仰泳，有10
名参加蛙泳，有12名参加了
自由泳，有4名既参加仰泳又参加蛙泳，有6名既参加蛙泳又
参加自由泳，有5名既参加仰泳又参加自由
泳，有2名这3个项目都参加，这17名游泳运
动员中，只参加1个项目的人有多少？（ ）
A.5名
C.7名
B.6名
D.4名
【答案】B
【解析】本题问题中出现了“只”，故只能采用作图法。于是有
仰
1
2
2
2 3
4 3
蛙 自由
只参加1个项目的人数为1+2+3=6。因此，本题答案为B选项。
【例3】（2012年
河北）某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保持期的7
种，防腐添加剂不合格的9种，产品
外包装标识不规范的6种。其中，两项同时不合格的5
种，三项同时不合格的2种。问三项全部合格的食
品有多少种？（ ）
A.14
C.23
B.21
D.32
【答案】C
【解析】
a
d b
c
其中d为三项同时不合格的部分，a+b+c为两项同时不合格的部分。设三项全部合格的
食品有x种。根据题意有：36-x=7+9+6-5-2×2，解得x=23。因此，本题答案为C选
项。
【注】该题注意，由于7+6+9这部分把三项同时不合格的部分共加了3次，减去5的
时候只是减去了同时两项不合格的部分，而未减去三项同时不合格的部分，实际上三项同时
不合格的部分只需算一次即可，故在最后再减去2×2，保证每部分面积只算一次。
在三集合原理中
只要掌握住核心要点，不管形式怎么变化，只需要用剔除重复的方法把
重复计算的部分减去即可。