悲天悯人-北京高考满分作文

容斥原理之图示法
济南华图 杨东时

为了使广大考生更好的准备2015年山东省公务员考试，我们为大家准备了
数学运算中的一些解题技巧。
数学运算作为行测中的重要模块，数学运算中涉及到多种题型，但每种题
型的出现频率有所差异，其中容斥原理相对来说出现的频率还是比较高的，但容
斥原理中会出现 各种不同的公式，不仅增加了学习的负担，更重要的是如果不能
透彻的理解公式的适用条件，很可能用错 ，费时费力。所以容斥原理，重在理解！
容斥原理其实就是我们中学时所学的集合问题。主要包括两集 合问题和三
集合问题。容斥原理理解到位的话必须借助图示，并且我们所推导出来的公式也
是来 源于图示所以容斥原理的理解关键在于图示的理解！
一、两集合问题：
公式：满足条件A+满足条件B－两者都满足=总个数-两者都不满足


两集合的问题公式就是通过上图得到的:A,B所覆盖的面积=集合A+集合
B-两集合重复的部分（ 即两者都满足的）=总个数-A,B都不满足
【真题】某科研单位共有68名科研人员，其中45人具 有硕士以上学历，
30人具有高级职称，12人兼而有之。没有高级职称也没有硕士以上学历的科研人员是多少人？（ ）
A. 13 B. 10
C. 8 D. 5
【解析】首先判定这是关于 学历和职称的两集合问题。解法1：这道题给
出的量完全符合两集合的公式，所以可以直接代入公式计算 即：45+30-12=68-x

解出x=5。
解法2：图示法，根据图 示A,B对应的数值分别为45,30，重复的部分为
12，则AB都不满足的为68-（45+30- 12）=5
二、三集合问题：
三集合问题较两集合的问题复杂，所以理解更为重要！
对应的标准公式：





|A
< br>B

C|
|A||B||C|-|AB|-|BC|-|AC| |ABC|
总个数-三者都不满足的个数

公式对应的意义为ABC所覆盖的面积为A,B,C3个面积和-重复部分
（A∩B,B∩C,A∩C） 这时最中间的部分多减了1次，再加上即为ABC所覆盖的
面积。
【真题】某专业有学生50 人，现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人
选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼 选甲、乙两门课程的有28
人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、 乙、
丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人？（ ）
A.1人 B.2人
C.3人 D.4人
【解析】这个题目为三集合问题，通过分析题目给出的条件和问题都符合公
式 所以可以直接代入公式：40+36+30-28-26-24+20=50－x 解得x=2
这里需要注意的是满足条件AB和只满足条件AB的区别。公式中A∩B表示的
是满足条件AB，而只满 足条件AB的为下图右边所示的部分红色部分

满足条件AB 只满足条件AB
如果三集合题目中的条件不能完全满足公式时，我们就需要借助图示来解题

根据上图我们可以得出ABC所覆盖的面积为ABC三个集合的面积- 重复1次的
部分（即红，蓝，绿三部分）-重复2次（黑色部分）
【真题】某乡镇 对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保质期的7种，
防腐添加剂不合格的9种，产品外包装标识不 规范的6种。其中，两项同时不合
格的5种，三项同时不合格的2种。问三项全部合格的食品有多少种? （ ）
A. 14
C. 23
B. 21
D. 32

【解析】这个题目为 三集合问题，通过分析题目给出的条件和问题不完全符合
公式所以需要借助图示来分析题目：题目给出的 是两项同时不合格即为只满足2
项的有5种（为上图中红，蓝，绿三部分）三项同时不合格为2种（黑色 部分）
所以36－（6+7+9－5－2×2）=23
通过以上几个真题我们了解到无论题目 给出的量是否符合公式，我们都可以
用图示法来分析，所以理解好图示，特别是三集合的不同部分所代表 的意义对于
我们解决容斥问题具有很大的帮助！