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四季教育-2014暑假-精英班-四年级-第十一讲
第十一讲 容斥原理
知识要点：
两量重叠问题：
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合
A 、B
的并集
AUB
的元素的个数，可
分以下两步进行：
第一步：分 别计算集合
A、B
的元素个数，然后加起来，即先求
AB
(意思是把
A、B
的一切元素都“包含”进来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个 数，即减去
CAIB
(意思是“排除”了重
复计算的元素个数)。
三量重叠问题：
A
类、
B
类与
C
类元素个数的总 和
A
类元素的个数
B
类元素个数
C
类元素个
数

既是
A
类又是
B
类的元素个数

既是
B
类又是
C
类的元素个数

既是
A
类又是
C
类的元素个数

同时是
A
类、
B
类、< br>C
类的元素个数。
用符号表示为：
AUBUCABCAIBBICAICAIBIC
。

一、基础应用：
【例1】 四季小学四年级二班，参加数独兴趣小组的有
28
人，参加九连环兴趣小组的
有
29
人，有
12
人两个小 组都参加。这个班有多少人参加了数独或九连环兴趣
小组？
AC
B

【例2】 一个班
48
人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作 业；
一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了。已
知做完语文作业 的有
37
人；做完数学作业的有
42
人。这些人中语文、数学作
业都 完成的有多少人？



【例3】 四(二)班有
48
名学生，在一次体育测评中，跳远达标的有
30
人，长跑达标的
有
20
人，跳远长跑都没有达标的有
6
人。
⑴ 问跳远长跑都达标的有多少人？
⑵ 只有跳远达标的有多少人？





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四季教育-2014暑假-精英班-四年级-第十一讲
【例4】 养牛场 有
2014
头黄牛和水牛，其中母牛
1110
头，黄牛
1506头，公水牛
200
头，
那么母黄牛有多少头？



二、拓展训练：
【例5】 在
1~2014
的全部自然数中，不是
3
的倍数也不是
5
的倍数的数有多少个？



B
A

【例6】
50
名同学面向老师站成一行。老师先让 大家从左至右
按
1
、
2
、
3
、…、
49< br>、
50
依次报数；然后让报数是
3
的倍数的同学向后转，
接着 又让报数是
7
的倍数的同学向后转。问：现在面向老师的同学还有多少
名？




【例7】 某班有
42
人，其中
26
人爱打篮球，
17
人爱打排球，
19
人爱踢足球，
9
人既
爱打篮球又爱踢足球，
4
人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱
好 ，也没有一个人三种球都不爱好。问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？




【例8】 在
1
至
2014
这
2014
个自然数中，恰好是
3
，
5
，
7
中两个数的倍数的数共有多
少个？




【例9】 在某个风和日丽的日子，每个 人都带了吃的，其中
6
个
10
个同学相约去野餐，
人带了汉堡，6
个人带了鸡腿，
4
个人带了芝士蛋糕，有
3
个人既带了汉堡又
带了鸡腿，
1
个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕。
2
个人既带了汉堡又 带了芝土
蛋糕。问：（1）三种都带了的有几人？（2）只带了
A
一种的有几个？
B



C

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四季教育-2014暑假-精英班-四年级-第十一讲
【例10】
2013
年第
24
届亚太杯结束后，四季对第一期创新实验班学生的成绩进行
了如下统计：共有
30
人参赛，其中取得上海赛区决赛一等奖的同学有
15
人 ，
取得新加坡第一回合一等奖的同学有
14
人，有
6
人两次都取得一 等奖。已知
上海赛区决赛与新加坡第一回合一等奖人数都是
20
人，那么：
(1)
四季创新实验班有多少人这两轮比赛中至少取得一个一等奖？
(2)
取得一等奖的所有同学中至少有多少人不是创新实验班的同学？








三、难题解析：
【例11】 四年级三班有
46
名学生参加三项课外活动，其中
24
人参加了绘画小组，
20
人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵 小
组人数的
3.5
倍，又是三项活动都参加人数的
7
倍，既参加朗诵 小组又参加合
唱小组的人数相当于三项都参加人数的
2
倍，既参加绘画小组又参加合唱 小
组的有
10
人，求参加朗诵小组的人数。








【例12】 图中只含有一颗“★”的长方形共有多少个？
★
★
★







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四季教育-2014暑假-精英班-四年级-第十一讲
四、巩固练习：
1. 两张长
4
厘米，宽
2
厘米的长方形纸摆放成如图所示形状。把 它放
4
在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？
厘
米


2厘米

图3
2. 有
100
位旅客，其中有
10
人既不懂英语又不懂俄语，有
75
人懂英语，
83
人懂俄语。
问既懂英语又懂俄语的有多少人？


3. 在前
100
个自然数中，能被
2
或
3
整除的数有多少个？


4. 某次英语考试由两部分组成，结果全班有
12
人得满分， 第一部分有
25
人做对，第
二部分有
19
人有错，问两部分都有错的 有多少人？
只做
对第
一部
分的
只做
对第
二部分的
两部
分全
对的

5. 妈妈要买些花布置房间，从花市买回 了一些花共
46
朵，其中红颜色的花有
22
朵，
塑料花有
2 1
朵，玫瑰花有
18
朵，又发现红塑料花有
5
朵，红玫瑰花有
6
朵，塑料
玫瑰花有
7
朵，问红色塑料玫瑰花有多少朵？



6. 有编号
1~30
的
30
枚硬币正面朝上 放在桌子上，先将编号为
3
的倍数的硬币翻个身，
再将编号为
4
的倍 数的硬币翻个身，问：最后仍有几个硬币正面朝上？


7. 连续
7
个偶数的和是
196
，这七个数中最大的一个偶数是多少？


8. 如果
A135L1995
，
B246L 1994
，那么这两个数中较大的数比
较小的数多多少？
两部分都有错的
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