冰花男孩-英雄联盟虚空先知出装

小学奥数精讲：容斥原理习题及答案

年级 班 姓名 得分

一、填空题
1.一个班有45个小 学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书.借
语文课外书的有39人,借数学课 外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有 人.

2.有长8厘米,宽6厘 米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图
形的重叠部分),那么这两个图形盖 住桌面的面积是 平方厘米.


3
8
6
4
5


3.在1~100的自然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有 个.
4.某区10 0个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,
那么懂俄语的教师为 人.
5.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4< br>人,问两样都不会的有 人.
6.在1至10000中不能被5或7整除的数共有 个.
7.在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有 个. 8.某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没
一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既
参加蓝球 队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有 人.

9.分母是1001的最简真分数有 个.
10.在100个学生中 ,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体
育的人最少有 人,最多有 人.
二、解答题
11.某进修班有50人,开甲、乙、丙三门进修课 、选修甲这门课的有38人,选修乙这门课
有的35人,选修丙这门课的有31人,兼选甲、乙两门课的 有29人,兼选甲、丙两门课的有28
人,兼选乙、丙两门课的有26人,甲、乙、丙三科均选的有24 人.问三科均未选的人数?


12.求小于1001且与1001互质的所有自然数的和.


13.如 图所示,A、B、C分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片,它们重叠放在
一起盖住的面积 是18,且A与B,B与C,C与A公共部分的面积分别是5、3、4,求A、B、C
三个图形公共部分 (阴影部分)的面积.

C



B


14.分母是385的最简真分数有多少个,并求这些真分数的和.





A

———————————————答 案——————————————————————

1. 26
从图 中可以看出全班45人,借语文或数学课外读物的共39+32=71(人),超过全班人数
71-45 =26(人),这26人都借了语文、数学两种课外书。


共45人

语文 数学


39人
32人

2． 67
将长方形和正文形面积相加，则图中阴影部分即三角形面积被多算了一次，即这两个图
1
形盖住的图形面积为
86554367
(平方厘米).
2
3. 32
在1到100这100个自然数中,5的倍数有20个,7的倍数有 14个,既是5的倍数又是7
的倍数有2个,故5的倍数或7的倍数的个数是20+14-2=32.
4. 45
从图中可以看出:懂俄语的人数(即阴影部分)等于总人数减去只懂英语的人数 ,即
100-(75-20)=45(人)

75


英
20
俄



5. 19
所求人数=全班人数-(会骑车人数+会游泳人数- 既会骑车又会游泳人
数)=46-(17+14-4)=19(人)


会奇车 会游泳


6. 6857

10000< br>
在1到10000中,能被5整除的有

2000
(个),能被7 整除的有


5


10000

10 000

(个),能被35整除的有
1428285
(个).因此能被5 或7整除的共有

7
37


全班
2000+1428-285=3143(个).从而不能被5或7整除的有10000-3143=6857( 个).
7. 9883
1~10000中完全平方数有100个(因为100
2
=10000),完全立方数有21个(因为
21
3
<10000<223
),完全六次方数有4个(因为4
6
<10000<5
6
)

故1~10000中是完全平方数或完全立方数的数共有100+21-4=117个; 从而既不是完全平
方数,又不是完全立方数的数有10000-117=9883(个).
8. 4
如图所示,设既参加是球队又参加排球队的人数为x,则依容斥原理,有
20+12+10-6-2-x=30,解得x=4.
排球队

10

x
2


足球队
6
蓝球队
12
20


9. 720

1001
1001

1~1001中,有7的倍数

(个);有11的倍数
143

11

91
(个),有13的倍数
7

1001

1001

1001

(个);有711=77的倍数(个),有713=91的倍数
7713

13

77

91

11
(个) ,有


1001

1113=143的倍数

7
(个).有1001的倍数1个.
143

由容斥原理 知:在1~1001中,能被7或11或13整除的数有
(43+91+7)-(13+11+7)+1 =281(个),从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720(个).也
就是说, 分母为1001的最简分数有720个.
10. 31,56
如图,当100人都是或者 音乐爱好者,或者体育爱好者时,这两者都爱好的人数为最小值
即56+75-100=31(个).
当所有的音乐爱好者都是音乐爱好者时,这两者都爱好的人数最大可为56人.


音乐 体育

爱好者 爱好者

11. 如图,选甲乙而不选丙的有a=29-24=5(人),选甲丙而不选乙的b=28-
24=4(人),选乙丙而不选甲的有c=26-24=2(人), 仅选了丁的人有d=35-24- a-c=4(人),仅选了
丙的人有e=31-24-b-c=1(人),故少选了一科的人数是:甲+ d+c+e=45(人),故三门均未选的人
数为50-45=5(人).

乙
甲

a
d

24
b c

e


丙

a
12. 由第9题的结论知分 母是1001的最简分数的个数是720.又真分数和真分数
1001

1001 a
(a与1001互质)是成对出现的,故上述720个真分数可以分成360对,每一对=数之< br>1001
和为1,故上述720个分母是1001的真分数之和为360.
所以所有小于1001且与1001互质的数之和为3601001=360360.
13. 设阴影部分的面积是x,由容斥原理知28-(5+3+4)+x=18,故x=2.
14. 因为385=5711,故在1~385这385个自然数中,5的倍数有
< br>385

385

385

(个),7的倍数有 (个),11的倍数有
765535
(个),


5

7

5


385

385

57=35的倍数有

(个),511=55的倍数有
117
(个),711=77的倍数有


35

55


385


77

=5(个),385的倍数有1个.

由容斥原理知,在 1~385中能被5、7或11整除的数有77+55+35-(11+7+5)+1=145(个),
而5、7、11互质的数有385-145=240(个).即分母为385的真分数有240(个).
a385a
如果有一个真分数为,则必还有另一个真分数,即以385为分母的最简真分数
385385
是成对出现的,而每一对之和恰为1.故以385为分母的240最简分数可以分成120 时,它们的
和为1120=120.