小学奥数 容斥原理 知识点+例题+练习 (分类全面)
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教学内容
容斥原理
教学目标
明白容斥原理，了解包含与排除的意思
重点
难点
画图形，弄清数量关系与逻辑关系
画图形，弄清数量关系与逻辑关系
课堂精讲
一、知识梳理：
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原
理，也叫容斥原理。即当两
个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b
分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N
a
＋N
b
－N<
br>ab
。
教
学
过
程
二、典型例题
例1、五年级96名学生都订了刊物，有64人订了少年报，有48人订了小学
生报，
问两种刊物都订的有多少人？
Na
Nab
Nb
1
巩固：一个班的52人都在做语文和数学作业，有32人做完了语文作业，有35
人
做完了数学作业，这个班语文、数学作业都做完的有多少人？
例2、
某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有35
人懂英语，34人懂日语，两
种语言都懂的有21人，这个地区有多少个外语教师？
巩固：某校的
每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动，已知有900人爱好体
育活动，有850人爱好文娱活动，
其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学
生多少人？
例3、学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不
同时活动，参加象棋
组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加
的有25人。问这250名同学中，象棋组
、乒乓球组都不参加的有多少人？
2
巩固：在100位旅客中，有70人懂英语，65人懂日语，既懂英语又懂日语的有
45人，那
么，既不懂英语又不懂日语的有多少人？
例4、实验小学各年级都参
加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，
在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不
是五年级的。该校书法比赛获奖的
总人数是多少人？
巩固：
五一小学举行小学生田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，28名
运动员不是五年级的，已知五
、六年级运动员共有32名，五、六年级和中低年级
运动员各有几名？
巩固：刘老师、夏老师和胡老师共有书90本，其中刘老师和夏老师一共有70本，
夏老师和胡
老师共有50本，三位老师各有书多少本？
3
例5、在1至10000中不能被5或7整除的数共有多少个？
既不能被5整除又不
能被7整除的有多少个？
巩固：在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少
个？不是5的
倍数或不是8的倍数的数有几个？
4
课后作业
1、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优，其中，语
文
得优的有65人，数学得优的有87人，问语文、数学都得优的有多少人？
2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语、数双优的有
12人，另外还有8人语、数均未获优，这个班共有多少个学生？
3、五（1）班有学生50人，在一次测试中，语文90分以上的有30人，数学90
分以上的
35人，语文和数学都在90分以上的有20人，90分以下的有多少人？
<
br>4、少年乐团学生中有170人不是五年级的，有135人不是六年级的，已知五、六
年级的共有
205人，少年乐团中五、六年级以外的学生共有多少人？
5、在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？
5
不是6的倍数或不是5的倍数的数有几个？
6、某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人;语文
得90分以上的有21人;
两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少
人?
6