函授大专-八个字的唯美句子

小学奥数容斥原理教案


【篇一：四年级奥数讲义：容斥原理(1)】

四年级数学讲义

奥数：容斥原理(1)

教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答
案。

2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。

3、培养学生良好的书写习惯。

一、教学衔接

二、教学内容

（一）知识介绍

容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复 包含时，为了不重复计数，应从它们的和
中排除重复部分。

容斥原理：对n个事物 ，如果采用不同的分类标准，按性质a分类
与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个 数
=na＋nb－nab。

（二）例题精讲 nanb

例 1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请
举手！”有37人举手。又问：“谁做 完数学作业？请举手！”有42人
举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求< br>这个班语文、数学作业都完成的人数。

【思路导航】完成语文作业的有37人，完成 数学作业的有42人，
一共有37＋42=79人，多于全班人数。这是因为语文、数学作业都
完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数
学作业的人数时又算了一次，这样就多 算了一次。所以，这个班语
文、数作业都完成的有：79－48=31人。

例2、 某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答
对第二题的有23人，两题都答对的有15 人。问多少个同学两题都
答得不对？

【分析与解答】已知答对第一题的有25人， 两题都答对的有15人，
可以求出只答对第一题的有25－15=10人。又已知答对第二题的有
23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少

有一题答对的人数 ：10＋23=33人。所以，两题都答得不对的有36
－33=3人。

例3、 某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有
27人，如果两科都没有参加的有25人， 那么同时参加语文、数学两
科竞赛的有多少人？

【分析与解答】要求两科竞赛同时 参加的人数，应先求出至少参加
一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：
28＋27－31=24人。

例4、1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数
有多少个？

例5、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级
学生的书法作品，其中有24幅不是五 年级的，有22幅不是六年级
的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作
品共有多少幅？

【分析与解答】由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、

三、教学练习

1、五年 级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功
课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65 人，数学优秀的有87
人。语文、数学都优秀的有多少人？

2、五（1）班有4 0个学生，其中25人参加数学小组，23人参加
科技小组，有19人两个小组都参加了。那么，有多少 人两个小组都
没有参加？

3、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会 法语的有18人，
两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？

4、在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数
的数有多少个？

5、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，
其中有110件不是一年级的，有1 00件不是二年级的，一、二年级
参展的作品共有32件。其他年级参展的作品共有多少件？

四、教学小结

六、课后练习

1、学校文艺组每人至少 会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24
人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人 。这个
文艺组一共有多少人？

2、某校选出50名学生参加区作 文比赛和数学比赛，结果3人两项
比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的< br>有14人，问数学比赛获奖的有多少人？

3、三年级一班参加合唱队的有40人， 参加舞蹈队的有20人，既
参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。这两队都没有参加的有10人。
请算一算，这个班共有多少人？

4、在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数
的数有多少个？

5、六（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画
作品，其中有25幅画不是三年级的 ，有19幅画不是四年级的，三、
四两个年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅？

【篇二：小学奥数之容斥原理】


容斥原理（一）

【例题分析】

例1. 有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方形。 如图
放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？

分析与解：阴影部分是直角三角形，是两个图形的重叠部分，它的
面积是：

方法一：

方法二：

方法三：（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米）

答：盖住桌面的面积是67平方厘米。

例2. 六一班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线
电小组的有17人，参加航模小组 的有14人，两组都参加的有多少
人？

分析与解：把17人和14人相加，是把两 组都参加的人算了两次，
所以减去总人数，就是两组都参加的人数（人）。

也可以这样解：

或（人） （人）

答：两组都参加的有5人。

例3. 六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游 泳的有
25人，既会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的
有多少人？

分析与解：先求出46人中会骑车或会游泳的有多少人，从中减去会
骑车或会游泳的人数，剩 下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。

（人）

（人）

答：既不会骑车又不会游泳的有9人。

例4. 某年 级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术
小组有20人，参加音乐小组有24人，参加手 工小组有31人，同时
参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个小组有6
人， 同时参加美术和手工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3
人，这个年级参加课外小组的同学共有多 少人？分析与解：图中的5、
6、7人都是两两重叠的部分，图中的3人是三个重叠的部分，要从
三个组的总人数中减去重复多余的部分。

（人）

答：这个年级参加课外小组的有60人。

分析与解：根据题意画出如下图

要求全班有多少人，先要求出跑、跳、投至少有一项达到优秀的人
数，加上三项都未达到优秀 的，就是全班人数。

（人） （人）

答：全班有42人。

例6. 分母是105的最简真分数有多少个？

分析与解：这些分数是最简真分 数，所以分子应小于105，只能是
1—104中的自然数，而且分子与105要互质。因为，所以分母 不能
是3的倍数或5的倍数或7的倍数。所以，要求有多少个最简真分
数，实际上就是求1—1 04这104个自然数中不能被3、5、7整除
的数有多少个。因此要先求出能被3整除或能被5整除或 能被7整
除的数有多少个。

能被3整除的数：

能被5整除的数：

能被7整除的数：

能同时被3和5整除的数：

能同时被3和7整除的数：

能同时被5和7整除的数：

（个） （个） （个） （个）

（个）

答：分母是105的最简真分数有48个。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 有三个面积各为50平方厘米 的圆放在桌面上，两两相交的面积
分别是8、10、12平方厘米，三个圆相交的面积是5平方厘米，求
三个圆盖住桌面的面积？

2. 某区有100名外语教师懂英语或日语，其中懂英 语的有75名，
既懂英语又懂日语的有20人。只懂日语的有多少名？

3. 某班 数学测验时有10人得优，英语得优有12人，两门都得优有
3人，两门都没得优的有26人。全班有多 少人？

4. 六年级一班春游，带矿泉水的有18人，带水果的有16人，这两
种 至少带一种的有28人，求两种都带的有多少人？

5. 在1至100的自然数中，不能被2整除的数或不能被3整除或不
能被5整除的数共有多少个？

容斥原理（二）

【例题分析】

例1. 有25人参加跳 远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到
优秀。第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有1 3人，第
三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。只有两次达
到优秀的有多少人 ？

分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀
的。要求只 有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中
阴影部分）。

（人）

答：只有两次达到优秀的有11人。

例2. 在一个炎热的夏 日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样
冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧 ，只要冰
棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1
人；三样都要的有 1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？

分析与解：根据题意画图。

方法一：

方法二：（人） （人）

答：共有10个小朋友去了冷饮店。

例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项 比赛。已知有8
人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数
都是17人。 问：只参加跑和投掷两项的有多少人？

分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参 加的，也没有参
加一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。

【篇三：小学奥数知识点汇编大全之五(容斥原理)】


小学奥数知识点汇编大全之五(容斥原理

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