势在必行歌词-possible什么意思

第一讲---集合中的计数问题
一． 基本问题
1． 含有
n(nN)
个元素的集合的子集的个数；
2． 领悟容斥原理并简单的应用之.
二． 学习目标
1． 通过探究含有
n(nN)
个元素的集合的子集的个数，培养学生猜证结合的数学思想，
渗透乘法计数原理和等比数列的基 本内容；
2． 通过容斥原理的探究，加深学生对集合运算的理解，提高学生的逻辑推理能力.
3． 通过针对性的习题训练，培养学生分析问题的能力.
三． 课程内容
1．含有
n(nN)
个元素的集合的子集的个数
引例：（1）用列举法表示集合

（2）上述集合有多少个子集？

9

N|xN

_______
，

9x

答案：（1）

1,3,9

（2）共有8个子集.
注：要求学生把8个子集列举出来.
问：如何探究含有n个元素的集合的子集的个数规律呢？
填写下列表格：
集合元素个数n
1
2
3
4
5
发现了什么样的规律呢？
猜测：含有
n(nN)
个元素的集合的子集的个 数为
a
n
2
n
.
如何证明这一猜测呢？
方法一 含有n+1个元素的集合的子集个数与含有n个元素的集合的子集个数有什么关系
吗？
发现：集合每增加一个新元素x时，若将元素x加入到其原有的每一个子集，就可以得到同
等数 量的新的子集，故可知集合每增加一个元素，其子集个数翻倍。
即：
a
n1
2a
n
(nN)
.
又 ,
a
1
2
所以
a
n
2a
n1
2a
n2


2
2n1
子集个数
2
4
8
16
32
发现规律
2
1

2
2

2
3

2
4

2
5

a
1
2
n
.
方法二 我们还可以发现：把一个子集的产生过程分成n步，逐个确定每一个元素是否被选
入，完成这一过程一共 有多少种不同的方式，就对应多少个子集.

依据乘法计数原理：完成一件事需要n步， 每一步分别有
M
1
,M
2
,

,M
n种的方式，则完
成这件事共有
M
1
M
2
Mn
种不同的方式.
n

n
可得含有
n(n N)
个元素的集合的子集的个数为
a
n
22

2 2

例1 如果

1,1,2

 A 
xZ|x13
，则满足条件的集合A有_______个.
解:
x Z|x13

2,1,0,1,2,3,4


所以满 足条件的集合A的个数等于集合

2,0,3,4

的非空子集的个数，共
15
个.
总结：探究新问题时，要从简单的具体的情况入手，归纳多种特殊情况下结 论的共性或关联，
而后在想办法进行一般性论证。
2． 容斥原理及其应用
引例：如果集合A中有10个元素，集合B中有8个元素，问：
（1） 集合中最多有多少个元素？最少有多少个元素？
（2） 如果集合
AB
中有15个元素，那么集合
AB
中有多少个元素？
由此例，可以总结出怎样的规律？
设
N(A)
表示集合A中元素的个数，则
N(AB)N(A)N(B)N(AB)

这就是统计两个集合元素个数的基本原理---容斥原理.
容斥原理可以拓展为求n个集合元素总数的情形，它是以两个集合的容斥原理为基础的.
例2 某学校先后举行数学、物理、化学三科知识竞赛，共有965人参赛，事后统计表明：数
学答卷807份 ，物理答卷739份，化学答卷437份，又统计出有593人都参加了数学和物理
竞赛，有371人都 参加了数学和化学竞赛，有267人都参加了物理和化学竞赛，问：
（1）其中参加数学或物理竞赛的同学共有多少人？没有参加数学或化学竞赛的共多少人？
（2）共有多少人参加了三科竞赛？
解：设参加数学竞赛的同学构成集合A，参加物理竞赛 的同学构成集合B，参加化学竞赛的
同学构成集合C，由已知可知：
N(A)807,N(B )739,N(C)437



,N(AC)371,N(B C)267
，且
N(ABC)965
而
N(AB)593
（1） 参加数学或物理竞赛的总人数
N(AB)807 739593953
，而没有参加数

92
1
学或化学竞赛 的人数为
965N(AC)965807437371

（2） 所求
N(ABC)?

依据容斥原理，可以得到如下公式：
N(A BC)N(A)N(B)N(C)N(AB)N(AC)N(BC)N(ABC)< br>所以
N(ABC)965807739437593371267213< br>

即共有213人参加了三科竞赛.
容斥原理：在计数时，先不考虑重 叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算
出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去， 使得计算的结果既无遗漏又无重复，这
种计数的方法称为容斥原理。
练习：（1）在大于0小于1000的自然数中，能被2或3或5整除的有多少个？
（2）在 一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分
成12等份，第三种 将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多
少段？
答案：（1）
499333199166996633733
（个）；
（2）设木棍长为60，则第一种刻度线有9条，相邻两条刻度线间距为6；第二种刻度线有
1 1条，相邻两条刻度线的间距为5；第三种刻度线有14条，相邻两条刻度线的间距为4.
第一种刻度 线与第二种刻度线重叠的有1条，第一种刻度线与第三种刻度线重叠的有4条，
第二种刻度线与第三种刻 度线重叠的有2条，没有三种刻度线重叠的情况.
由容斥原理，可得不同的刻度线有
91114142027

故木棍共被锯成28段.