(29)包含与排除(上下)
话务员是做什么的-补血食谱
(二十九)包含与排除(上)
《奥赛天天练》第二十一讲《包含与排除》。包含与排除
问题也叫重叠问题,从三年
级奥数课堂开始由浅入深逐步学习,此类问题说明及容斥原理具体内容,请查
阅:
三年级奥数解析(三十九)重叠问题与容斥原理
四年级奥数解析(二十九)容斥原理
这一讲将在三、四年级学习的基础上,进一步学习运用容
斥原理二解答稍复杂的包含
与排除问题。
【容斥原理二】
如果被计数的事物有A、B、C三类,则:
三类元素总个数= A类元素个数+B类
元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的
元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是
C类的元素个数+既是A类又
是B类又是C类的元素个数。
【原理证明】
如下图,三个圆片两两重叠,用红色圆片面积表示A类事物元素个数、黄色圆片面
积表示B类事
物元素个数、蓝色圆片面积表示C类事物元素个数,三个圆片覆盖的总面
积就表示三类元素的总个数:<
br>
A、B、C三个圆片共同重叠的正中间的一块,覆盖了三层圆片,重叠了2次;剩下
的重叠部分都覆盖了两层圆片,重叠了1次。三个圆片覆盖的总面积就等于三个圆片的面
积之和
减去重叠部分的面积,重叠1次的减去重叠面积,重叠2次的减去重叠面积的2倍。
但用三个
圆片的总面积依次减去AB的重叠部分、AC的重叠部分和BC的重叠部分,
重叠1次的面积正好减去了
,可三个圆片共同重叠的部分既属于AB的重叠部分,也属于
AC的重叠部分,同时属于BC的重叠部分
。这一块儿面积重叠2次,却减去了3次,多
减了1次,要补上去。所以:
三类元素总个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的
元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又
是B类又
是C类的元素个数。
《奥赛天天练》第21讲,模仿训练,练习1
【题目】:
在参加数学竞赛的46人中,做对第二题的有32人,做对第4题的有2
4人,两道题
都做对的有20人,两道题都没有做对的有几人?
【解析】:
如下图:
用做对第2题与做对第4题的人数和,减去两题都做对的人数(
重叠部分),求出的
就是这两题中至少做对了一题的人数:
32+24-20=36(人)。
所以这两道题都没有做对的人数为:
46-36=10(人)。
《奥赛天天练》第21讲,模仿训练,练习2
【题目】:
某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生,参加语文竞赛的有1
20名女生、80
名男生,该校总共有260名学生参加竞赛,其中75名男生两科都参加了,那么只参
加数
学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人?
【解析】:
先求出既参加了语文竞赛又参加了数学竞赛的男女生总人数:
(120+80)×2-260=140(人)。
所以既参加了语文竞赛又参加了数学竞赛的女生人数为:
140-75=65(人)。
即参加数学竞赛的女生中有65人同时参加了语文竞赛
,则只参加数学竞赛而没有参
加语文竞赛的女生有:
80-65=15(人)。
(三十)包含与排除(下)
《奥赛天天练》第21讲,巩固训练,习题1
【题目】:
如图,
在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片,它们的面积都是50平方厘米,三个
圆片共同重叠的面积是12
平方厘米,三个圆片盖住桌面的总面积是92平方厘米。问图中
阴影部分面积是多少平方厘米?
【解析】:
三个圆片两两重叠,中间三个圆片共同重叠的部分重叠了2次
;阴影部分只有两个圆
片叠放,这部分重叠了1次。
先求出重叠的总面积为:
50×3-92=58(平方厘米)。
再用重叠的总面积减去中间重叠了两次的面积,剩下的就是阴影部分面积:
58-12×2=34(平方厘米)。
《奥赛天天练》第21讲,巩固训练,习题2
【题目】:
如图,小飞骑自行车去游玩A,B,C三个景点,他如果从A地出发,经过B地到C
地,共行10千米;如果从B地出发,经C地到达A地,共行13千米;如果从C地出发,
经A地到达B
地,共行11千米,问哪两个景点之间的距离最短?最短的距离是多少千米?
【解析】:
由题意可知:
AB+BC=10千米;BC+AC=13千米;AC+AB=11千米;
这三条路线的长度之和就等于图中三角形三边和的2倍。所以:
AB+BC+AC=(10+13+11)÷2=17(千米)
根据三边总和和两边
之和,可以求出第三边,三边总和是一定的,根据题目给出的条
件,可知A、B两个景点之间的距离最短
,最短距离是:
17-13=4(厘米)。
《奥赛天天练》第21讲,拓展提高,习题1
【题目】:
某单位
有64人订A,B,C三种杂志,订A种杂志的有28人,订B种杂志的有41人,
订C种杂志的有20
人,订A,B两种杂志的有10人,订B,C两种杂志的有12人,订A,C
两种杂志的有12人,问三
种杂志都订的有多少人?
【解析】:
假设三种杂志都订的有x人,根据容斥原理二,可得:
64=28+41+20-10-12-12+x
解得:x=9
所以,三种杂志都订的有9人。
《奥赛天天练》第21讲,拓展提高,习题2
【题目】:
体育课
上,50名学生面向老师站成一行,按老师的口令从左到右报数1,2,3,„„,
50,报完后老师让
所有报数是4的倍数的同学向后转,接着又让报数是6的倍数的同学向
后转,问现在仍然面向老师的有多
少同学?
【解析】:
报数是4的倍数的同学有:50÷4=12(人)„„2
报数是6的倍数的同学有:50÷6=8(人)„„2
12既是4的倍数,也是6的
倍数,所有12的倍数都是4的倍数,也是6的倍数。所
以这50名同学中报数即使4的倍数,又是6的
倍数的同学有:
50÷12=4(人)„„2
向后转的同学总人数就是报
数是4的同学人数与报数是6的同学人数之和减去重复计
算的既是4的倍数又是6的倍数的同学人数:<
br>
12+8-4=16(人)。
所以,现在仍然面向老师的同学有:
50-16=34(人)。
四年级奥数解析(二十九)容斥原理
《奥赛天天练》第26讲《容斥原理》。
日常生活或数学问题中,在把一些数据按照某个标准分类时,常常出现其中的一部分
数据同时属于两
种或两种以上不同的类别,这样在计算总数时就会出现重复计算的情况,
这类问题就叫做重叠问题,容斥
原理就是重叠问题的解题原理,也叫包含与排除原理。在
三年级奥数课堂已经初步学习了运用容斥原理(
一)解决简单的重叠问题,相关知识点请
查阅:
本讲在三年级学习的《重
叠问题》的基础上,进一步学习运用容斥原理(一)解决稍
复杂一点的重叠问题。解答问题的关键是,画
出示意图,认真分析已知条件,找出哪些是
重复的,重复了几次?题目要求的又是哪一部分?借助示意图
进行思考,找到正确的解答
方法。
《奥赛天天练》第26讲,模仿训练,练习1
【题目】:
两个边
长分别为5厘米,3厘米的正方形重叠在一起,重叠部分的面积为1平方厘米。
求这个图所能覆盖的面积
。
【解析】:
先求出两个正方形
的面积,分别是:5×5=25(平方厘米);3×3=9(平方厘米)。根据
容斥原理一,可得所求覆
盖面积为:25+9-1=33(平方厘米)。
《奥赛天天练》第26讲,巩固训练,习题1
【题目】:
在一次
校运动会上,甲班参加田赛的有15人,参加径赛的有12人,既参加田赛又参
加径赛的7人,没有参加
比赛的有21人,那么这个班有多少人?
【解析】:
先画
出参赛情况示意图,如下图:用长方形的面积表示全班人数;字母A所在的椭
圆表示参加田赛的人数15
人;字母B所在的椭圆表示参加径赛的人数12人;字母C所
在区域即两个椭圆的重叠部分表示既参加田
赛又参加径赛的人数7人;字母D所在的空
白部分表示没有参加比赛的人数21人。
根据容斥原理一,可求出参赛总人数为:15+12-7=20(人)。
全班人数即参赛人数与没有参加比赛的人数之和:20+21=41(人)。
《奥赛天天练》第26讲,巩固训练,习题2
【题目】:
有50
个学生,他们穿的裤子是白色的或黑色的,上衣是蓝色的或红色的。若有14人
穿的是蓝色上衣白裤子,
31人穿黑裤子,18人穿红上衣,那么穿红上衣黑裤子的学生有
多少人?
【解析】:
根据题意,如果有人既没穿红上衣,又没穿黑裤子,就一定是穿了蓝上衣
白裤子,即
穿蓝上衣白裤子的人数就是既没穿红上衣又没穿黑裤子的学生总数。所以穿黑裤子或红上衣或两样都穿的学生总数为:50-14=36(人)。
其中有31人穿了黑裤子,有1
8人穿了红上衣,,那么穿红上衣黑裤子的学生就是前
面两类学生的重叠部分,人数为:
31+18-36=13(人)。
《奥赛天天练》26讲,拓展提高,习题1
【题目】:
在1到100的全部自然数中,既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个?
【解析】:
①100÷5=20;
②100÷6=16„„4;
③100÷(5×6)
=100÷30
=3„„10
1到100的全部
自然数中,5的倍数有20个,6的倍数有16个,有3个数既是5的倍
数又是6的倍数(既是5的倍数
又是6的倍数的数最小是30,则所有30的倍数也就是既
是5的倍数又是6的倍数的数)。
则1到100的全部自然数中,是6的倍数和5的倍数的数总共有:20+16-3=33(个)。
所以既不是6的倍数又不是5的倍数的数有:100-33=67(个)。
《奥赛天天练》第26讲,拓展提高,习题2
【题目】:
一批外
国旅游者,会说英语的有88人,会说法语的有60人,其中两种语言都能说的
有40人,还有16人这
两种语言都听不懂。这批旅游者一共有多少人?
【解析】:
这道题与前面
的“巩固训练,习题1”相似,可以画出与上题相似的示意图,先求出
会说英语、法语的这两类人的总数
:88+60-40=108(人)。
把前两类人的总数加上两种语言都不会说的人数,求出这批旅游者的总人数为:
108+16=124(人)。
三年级奥数解析(三十九)重叠问题与容斥原理
《奥赛天天练》第45讲《重叠问题》。
日常生活或数学问题中,在把一些数据按照
某个标准分类时,常常出现其中的一部分
数据同时属于两种或两种以上不同的类别,这样在计算总数时就
会出现重复计算的情况,
这类问题就叫做重叠问题,
解答重叠问题常用方法是:先不
考虑重叠的情况,把有重复包含的几个计数部分加
起来,再从它们的和中排除重复部分元素的个数,使得
计算的结果既无遗漏又不重复。
这个原理叫做包含与排除原理,也叫容斥原理。容斥原理包含以下两条基
本计算公式:
①容斥原理一,如果被计数的对象,被分为A、B两大类,则:
被计数对象的总个数=A类元素个数+B类元素个数—同时属于A类和B类的元素个
数。
②容斥原理二,如果被计数的对象,被分为A、B、C三大类,则:
被计数对象的总
个数=A类元素+B类元素个数+C类元素个数—同时属于A类和B类
的元素个数—同时属于A类和C类
的元素个数—同时属于B类和C类的元素个数+同时
属于A、B、C三类的元素个数。这条原理比较复杂
,等到高年级再向孩子介绍。
本讲学习简单的重叠问题,只需孩子理解容斥原
理一就可以了。运用容斥原理解答重
叠问题应用题的关键是,画出示意图,认真分析已知条件,找出哪些
是重复的,重复了几
次?题目要求的又是哪一部分?借助示意图进行思考,找到正确的解答方法。
《奥赛天天练》第45讲,巩固训练,习题1
【题目】:
三
(1)班有48人,其中订《少年报》的有32人,订《数学报》的有38人,有25
人两份报都订,那
么:
(1)只订《少年报》而没有订《数学报》的有多少人?
(2)只订《数学报》而没有订《少年报》的有多少人?
(3)有多少人两种报都没订?
【解析】:
先画出订报情况示意
图,如下图:用长方形的面积表示全班人数;字母A所在的椭
圆表示订《少年报》的人数32人;字母B
所在的椭圆表示订《数学报》的人数38人;
字母C所在区域即两个椭圆的重叠部分表示同时订了两份报
的人数25人;字母D所在的
空白部分表示两种报都没有的订的人数。
(1)用订《少年报》的总人数A,减去重叠部分C,剩下来的就是只订《少年报》而
没有订《数学报》的人数:32-25=7(人);
(2)同理,(B-C)就是只订《数
学报》而没有订《少年报》的人数:38-25=13(人);
(3)先求出订报的总人数,
即图中所有阴影部分表示的人数,再用班级总人数减去
订报总人数,即是两种报都没订的人数D。这题有
两种解法。
解法一:在(1)、(2)两小题中已求出只订《少年报》的人数7人、只订《数
学报》
的人数13人,即图中纯黑色阴影部分和纯红色阴影表示的人数,中间重叠部分为25人,
所以订报总人数为:7+25+13=45(人)。
所以,两种报都没有订的人数为:48-45=3(人)。
解法二:不考虑重叠部分
,订《数学报》和《少年报》的总人数为:32+38=70
(人)。有25人两份报都订了,这些人既
包含在32人之中,又包含在38人之中,我们
在求和时,这25人就加了两遍,重复计
算了一遍,要去掉多算的一遍。因此,订报总人
数为:70-25=45(人)。
两种报都没有订的人数就是:48-45=3(人)。
《奥赛天天练》第45讲,巩固训练,习题2
【题目】:
一次老
师给全班同学做两道智力趣题,结果全班10人两题都对,8人两题都错,第
二道题有15人错,问第一
道对而第二道错的同学有多少人?
【解析】:
解答这题要抓住题中的有效条件,避免受无效条件的干扰。
因为第二道题有15人错,全班只
有8人两题都错,而两题都错的人第二道题肯定错
了,所以两题都错的8个人包含在前面15人之中,从
15人里去掉这8个人还剩:15-8=7
(人)。
去掉两题都错的8人,剩下的7
人肯定只错了一道题,他们第二道题错了,第一道题
肯定是对的,所以第一道对而第二道错的同学有7人
。
《奥赛天天练》第45讲,拓展提高,习题2
【题目】:
100位旅游者中,70人懂中文,52人懂英语,还有10人两种语言都不懂。
(1)懂中文和英语的一共有多少人?
(2)既懂英语又懂中文的有多少人?
(3)只懂中文不懂英语的有多少人?
(4)只懂英文不懂中文的有多少人?
【解析】:
(1)100名旅游者中,有10人两种语言都不懂,所以懂
中文和英语的人一共有:10
0-10=90(人)。
(2)70人懂中文,52人
懂英语,不考虑重叠情况(即既懂英语又懂中文人数),懂
两种语言的共有:70+52=122(人)
。在第(1)小题已经求出懂两种语言的总人数为90
人,所以被重复计算的既懂英语又懂中文的人数为
:122-90=32(人)。
(3)在第(2)小题已经求出既懂英语又懂中文的人数为3
2人,而懂中文的总人数
为70人,这32人是包含在这70人当中的。从懂中文的总人数中排除既懂英
语又懂中文
的人数,剩下的就是只懂中文不懂英语的人数:70-32=38(人)。
(4)与第(3)小题同理,从懂英文的52人中排除既懂英语又懂中文的32人,剩下
的就是只懂英
文不懂中文的人数:52-32=20(人)。