(29)包含与排除(上下)

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2020年12月05日 21:41
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2020年12月5日发(作者:荣晋)


(二十九)包含与排除(上)
《奥赛天天练》第二十一讲《包含与排除》。包含与排除 问题也叫重叠问题,从三年
级奥数课堂开始由浅入深逐步学习,此类问题说明及容斥原理具体内容,请查 阅:

三年级奥数解析(三十九)重叠问题与容斥原理
四年级奥数解析(二十九)容斥原理
这一讲将在三、四年级学习的基础上,进一步学习运用容 斥原理二解答稍复杂的包含
与排除问题。

【容斥原理二】

如果被计数的事物有A、B、C三类,则:

三类元素总个数= A类元素个数+B类 元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的
元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是 C类的元素个数+既是A类又
是B类又是C类的元素个数。

【原理证明】

如下图,三个圆片两两重叠,用红色圆片面积表示A类事物元素个数、黄色圆片面
积表示B类事 物元素个数、蓝色圆片面积表示C类事物元素个数,三个圆片覆盖的总面
积就表示三类元素的总个数:< br>

A、B、C三个圆片共同重叠的正中间的一块,覆盖了三层圆片,重叠了2次;剩下
的重叠部分都覆盖了两层圆片,重叠了1次。三个圆片覆盖的总面积就等于三个圆片的面
积之和 减去重叠部分的面积,重叠1次的减去重叠面积,重叠2次的减去重叠面积的2倍。

但用三个 圆片的总面积依次减去AB的重叠部分、AC的重叠部分和BC的重叠部分,
重叠1次的面积正好减去了 ,可三个圆片共同重叠的部分既属于AB的重叠部分,也属于
AC的重叠部分,同时属于BC的重叠部分 。这一块儿面积重叠2次,却减去了3次,多
减了1次,要补上去。所以:


三类元素总个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的
元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又
是B类又 是C类的元素个数。

《奥赛天天练》第21讲,模仿训练,练习1

【题目】:

在参加数学竞赛的46人中,做对第二题的有32人,做对第4题的有2 4人,两道题
都做对的有20人,两道题都没有做对的有几人?

【解析】:

如下图:


用做对第2题与做对第4题的人数和,减去两题都做对的人数( 重叠部分),求出的
就是这两题中至少做对了一题的人数:

32+24-20=36(人)。

所以这两道题都没有做对的人数为:

46-36=10(人)。

《奥赛天天练》第21讲,模仿训练,练习2

【题目】:

某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生,参加语文竞赛的有1 20名女生、80
名男生,该校总共有260名学生参加竞赛,其中75名男生两科都参加了,那么只参 加数
学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人?

【解析】:

先求出既参加了语文竞赛又参加了数学竞赛的男女生总人数:

(120+80)×2-260=140(人)。

所以既参加了语文竞赛又参加了数学竞赛的女生人数为:

140-75=65(人)。

即参加数学竞赛的女生中有65人同时参加了语文竞赛 ,则只参加数学竞赛而没有参
加语文竞赛的女生有:

80-65=15(人)。


(三十)包含与排除(下)
《奥赛天天练》第21讲,巩固训练,习题1

【题目】:

如图, 在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片,它们的面积都是50平方厘米,三个
圆片共同重叠的面积是12 平方厘米,三个圆片盖住桌面的总面积是92平方厘米。问图中
阴影部分面积是多少平方厘米?


【解析】:

三个圆片两两重叠,中间三个圆片共同重叠的部分重叠了2次 ;阴影部分只有两个圆
片叠放,这部分重叠了1次。

先求出重叠的总面积为:

50×3-92=58(平方厘米)。

再用重叠的总面积减去中间重叠了两次的面积,剩下的就是阴影部分面积:

58-12×2=34(平方厘米)。

《奥赛天天练》第21讲,巩固训练,习题2

【题目】:

如图,小飞骑自行车去游玩A,B,C三个景点,他如果从A地出发,经过B地到C
地,共行10千米;如果从B地出发,经C地到达A地,共行13千米;如果从C地出发,
经A地到达B 地,共行11千米,问哪两个景点之间的距离最短?最短的距离是多少千米?


【解析】:

由题意可知:

AB+BC=10千米;BC+AC=13千米;AC+AB=11千米;


这三条路线的长度之和就等于图中三角形三边和的2倍。所以:

AB+BC+AC=(10+13+11)÷2=17(千米)

根据三边总和和两边 之和,可以求出第三边,三边总和是一定的,根据题目给出的条
件,可知A、B两个景点之间的距离最短 ,最短距离是:

17-13=4(厘米)。

《奥赛天天练》第21讲,拓展提高,习题1

【题目】:

某单位 有64人订A,B,C三种杂志,订A种杂志的有28人,订B种杂志的有41人,
订C种杂志的有20 人,订A,B两种杂志的有10人,订B,C两种杂志的有12人,订A,C
两种杂志的有12人,问三 种杂志都订的有多少人?

【解析】:

假设三种杂志都订的有x人,根据容斥原理二,可得:

64=28+41+20-10-12-12+x

解得:x=9

所以,三种杂志都订的有9人。

《奥赛天天练》第21讲,拓展提高,习题2

【题目】:

体育课 上,50名学生面向老师站成一行,按老师的口令从左到右报数1,2,3,„„,
50,报完后老师让 所有报数是4的倍数的同学向后转,接着又让报数是6的倍数的同学向
后转,问现在仍然面向老师的有多 少同学?

【解析】:

报数是4的倍数的同学有:50÷4=12(人)„„2

报数是6的倍数的同学有:50÷6=8(人)„„2

12既是4的倍数,也是6的 倍数,所有12的倍数都是4的倍数,也是6的倍数。所
以这50名同学中报数即使4的倍数,又是6的 倍数的同学有:

50÷12=4(人)„„2

向后转的同学总人数就是报 数是4的同学人数与报数是6的同学人数之和减去重复计
算的既是4的倍数又是6的倍数的同学人数:< br>
12+8-4=16(人)。

所以,现在仍然面向老师的同学有:

50-16=34(人)。




四年级奥数解析(二十九)容斥原理
《奥赛天天练》第26讲《容斥原理》。
日常生活或数学问题中,在把一些数据按照某个标准分类时,常常出现其中的一部分
数据同时属于两 种或两种以上不同的类别,这样在计算总数时就会出现重复计算的情况,
这类问题就叫做重叠问题,容斥 原理就是重叠问题的解题原理,也叫包含与排除原理。在
三年级奥数课堂已经初步学习了运用容斥原理( 一)解决简单的重叠问题,相关知识点请
查阅:


本讲在三年级学习的《重 叠问题》的基础上,进一步学习运用容斥原理(一)解决稍
复杂一点的重叠问题。解答问题的关键是,画 出示意图,认真分析已知条件,找出哪些是
重复的,重复了几次?题目要求的又是哪一部分?借助示意图 进行思考,找到正确的解答
方法。

《奥赛天天练》第26讲,模仿训练,练习1

【题目】:

两个边 长分别为5厘米,3厘米的正方形重叠在一起,重叠部分的面积为1平方厘米。
求这个图所能覆盖的面积 。


【解析】:

先求出两个正方形 的面积,分别是:5×5=25(平方厘米);3×3=9(平方厘米)。根据
容斥原理一,可得所求覆 盖面积为:25+9-1=33(平方厘米)。

《奥赛天天练》第26讲,巩固训练,习题1

【题目】:

在一次 校运动会上,甲班参加田赛的有15人,参加径赛的有12人,既参加田赛又参
加径赛的7人,没有参加 比赛的有21人,那么这个班有多少人?


【解析】:

先画 出参赛情况示意图,如下图:用长方形的面积表示全班人数;字母A所在的椭
圆表示参加田赛的人数15 人;字母B所在的椭圆表示参加径赛的人数12人;字母C所
在区域即两个椭圆的重叠部分表示既参加田 赛又参加径赛的人数7人;字母D所在的空
白部分表示没有参加比赛的人数21人。


根据容斥原理一,可求出参赛总人数为:15+12-7=20(人)。

全班人数即参赛人数与没有参加比赛的人数之和:20+21=41(人)。

《奥赛天天练》第26讲,巩固训练,习题2

【题目】:

有50 个学生,他们穿的裤子是白色的或黑色的,上衣是蓝色的或红色的。若有14人
穿的是蓝色上衣白裤子, 31人穿黑裤子,18人穿红上衣,那么穿红上衣黑裤子的学生有
多少人?

【解析】:

根据题意,如果有人既没穿红上衣,又没穿黑裤子,就一定是穿了蓝上衣 白裤子,即
穿蓝上衣白裤子的人数就是既没穿红上衣又没穿黑裤子的学生总数。所以穿黑裤子或红上衣或两样都穿的学生总数为:50-14=36(人)。

其中有31人穿了黑裤子,有1 8人穿了红上衣,,那么穿红上衣黑裤子的学生就是前
面两类学生的重叠部分,人数为:

31+18-36=13(人)。

《奥赛天天练》26讲,拓展提高,习题1

【题目】:

在1到100的全部自然数中,既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个?

【解析】:

①100÷5=20;

②100÷6=16„„4;

③100÷(5×6)


=100÷30

=3„„10

1到100的全部 自然数中,5的倍数有20个,6的倍数有16个,有3个数既是5的倍
数又是6的倍数(既是5的倍数 又是6的倍数的数最小是30,则所有30的倍数也就是既
是5的倍数又是6的倍数的数)。

则1到100的全部自然数中,是6的倍数和5的倍数的数总共有:20+16-3=33(个)。
所以既不是6的倍数又不是5的倍数的数有:100-33=67(个)。

《奥赛天天练》第26讲,拓展提高,习题2

【题目】:

一批外 国旅游者,会说英语的有88人,会说法语的有60人,其中两种语言都能说的
有40人,还有16人这 两种语言都听不懂。这批旅游者一共有多少人?

【解析】:

这道题与前面 的“巩固训练,习题1”相似,可以画出与上题相似的示意图,先求出
会说英语、法语的这两类人的总数 :88+60-40=108(人)。

把前两类人的总数加上两种语言都不会说的人数,求出这批旅游者的总人数为:

108+16=124(人)。

三年级奥数解析(三十九)重叠问题与容斥原理
《奥赛天天练》第45讲《重叠问题》。

日常生活或数学问题中,在把一些数据按照 某个标准分类时,常常出现其中的一部分
数据同时属于两种或两种以上不同的类别,这样在计算总数时就 会出现重复计算的情况,
这类问题就叫做重叠问题,

解答重叠问题常用方法是:先不 考虑重叠的情况,把有重复包含的几个计数部分加
起来,再从它们的和中排除重复部分元素的个数,使得 计算的结果既无遗漏又不重复。
这个原理叫做包含与排除原理,也叫容斥原理。容斥原理包含以下两条基 本计算公式:

①容斥原理一,如果被计数的对象,被分为A、B两大类,则:
被计数对象的总个数=A类元素个数+B类元素个数—同时属于A类和B类的元素个
数。

②容斥原理二,如果被计数的对象,被分为A、B、C三大类,则:

被计数对象的总 个数=A类元素+B类元素个数+C类元素个数—同时属于A类和B类
的元素个数—同时属于A类和C类 的元素个数—同时属于B类和C类的元素个数+同时
属于A、B、C三类的元素个数。这条原理比较复杂 ,等到高年级再向孩子介绍。


本讲学习简单的重叠问题,只需孩子理解容斥原 理一就可以了。运用容斥原理解答重
叠问题应用题的关键是,画出示意图,认真分析已知条件,找出哪些 是重复的,重复了几
次?题目要求的又是哪一部分?借助示意图进行思考,找到正确的解答方法。

《奥赛天天练》第45讲,巩固训练,习题1

【题目】:

三 (1)班有48人,其中订《少年报》的有32人,订《数学报》的有38人,有25
人两份报都订,那 么:

(1)只订《少年报》而没有订《数学报》的有多少人?

(2)只订《数学报》而没有订《少年报》的有多少人?

(3)有多少人两种报都没订?

【解析】:

先画出订报情况示意 图,如下图:用长方形的面积表示全班人数;字母A所在的椭
圆表示订《少年报》的人数32人;字母B 所在的椭圆表示订《数学报》的人数38人;
字母C所在区域即两个椭圆的重叠部分表示同时订了两份报 的人数25人;字母D所在的
空白部分表示两种报都没有的订的人数。



(1)用订《少年报》的总人数A,减去重叠部分C,剩下来的就是只订《少年报》而
没有订《数学报》的人数:32-25=7(人);

(2)同理,(B-C)就是只订《数 学报》而没有订《少年报》的人数:38-25=13(人);

(3)先求出订报的总人数, 即图中所有阴影部分表示的人数,再用班级总人数减去
订报总人数,即是两种报都没订的人数D。这题有 两种解法。

解法一:在(1)、(2)两小题中已求出只订《少年报》的人数7人、只订《数 学报》
的人数13人,即图中纯黑色阴影部分和纯红色阴影表示的人数,中间重叠部分为25人,
所以订报总人数为:7+25+13=45(人)。

所以,两种报都没有订的人数为:48-45=3(人)。

解法二:不考虑重叠部分 ,订《数学报》和《少年报》的总人数为:32+38=70
(人)。有25人两份报都订了,这些人既 包含在32人之中,又包含在38人之中,我们


在求和时,这25人就加了两遍,重复计 算了一遍,要去掉多算的一遍。因此,订报总人
数为:70-25=45(人)。

两种报都没有订的人数就是:48-45=3(人)。

《奥赛天天练》第45讲,巩固训练,习题2

【题目】:

一次老 师给全班同学做两道智力趣题,结果全班10人两题都对,8人两题都错,第
二道题有15人错,问第一 道对而第二道错的同学有多少人?

【解析】:

解答这题要抓住题中的有效条件,避免受无效条件的干扰。

因为第二道题有15人错,全班只 有8人两题都错,而两题都错的人第二道题肯定错
了,所以两题都错的8个人包含在前面15人之中,从 15人里去掉这8个人还剩:15-8=7
(人)。

去掉两题都错的8人,剩下的7 人肯定只错了一道题,他们第二道题错了,第一道题
肯定是对的,所以第一道对而第二道错的同学有7人 。

《奥赛天天练》第45讲,拓展提高,习题2

【题目】:

100位旅游者中,70人懂中文,52人懂英语,还有10人两种语言都不懂。

(1)懂中文和英语的一共有多少人?

(2)既懂英语又懂中文的有多少人?

(3)只懂中文不懂英语的有多少人?

(4)只懂英文不懂中文的有多少人?

【解析】:

(1)100名旅游者中,有10人两种语言都不懂,所以懂 中文和英语的人一共有:10
0-10=90(人)。

(2)70人懂中文,52人 懂英语,不考虑重叠情况(即既懂英语又懂中文人数),懂
两种语言的共有:70+52=122(人) 。在第(1)小题已经求出懂两种语言的总人数为90
人,所以被重复计算的既懂英语又懂中文的人数为 :122-90=32(人)。

(3)在第(2)小题已经求出既懂英语又懂中文的人数为3 2人,而懂中文的总人数
为70人,这32人是包含在这70人当中的。从懂中文的总人数中排除既懂英 语又懂中文
的人数,剩下的就是只懂中文不懂英语的人数:70-32=38(人)。

(4)与第(3)小题同理,从懂英文的52人中排除既懂英语又懂中文的32人,剩下
的就是只懂英 文不懂中文的人数:52-32=20(人)。

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