(word完整版)高中最全立体几何公式.docx
秋眉-萱草花图片
109．证明直线与直线的平行的思考途径
（
1）转化为判定共面二直线无交点；
（ 2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（
3）转化为线面平行；
（ 4）转化为线面垂直；
（ 5）转化为面面平行 .
110．证明直线与平面的平行的思考途径
（ 1）转化为直线与平面无公共点；
（ 2）转化为线线平行；
（ 3）转化为面面平行 .
111．证明平面与平面平行的思考途径
（ 1）转化为判定二平面无公共点；
（ 2）转化为线面平行；
（ 3）转化为线面垂直 .
112．证明直线与直线的垂直的思考途径
（ 1）转化为相交垂直；
（
2）转化为线面垂直；
（ 3）转化为线与另一线的射影垂直；
（
4）转化为线与形成射影的斜线垂直
.
113．证明直线与平面垂直的思考途径
（
1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（ 2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（ 3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（
4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（
5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直
.
114．证明平面与平面的垂直的思考途径
（ 1）转化为判断二面角是直二面角；
（ 2）转化为线面垂直 .
115. 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1) 加法交换律： a＋ b=b＋a．
(2) 加法结合律： ( a＋ b)
＋c=a＋ ( b＋c ) ．
(3) 数乘分配律：λ ( a＋b)= λ a＋λ b．
116. 平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，
以公共始点为始点的对角线所表示的向量
.
117.共线向量定理
对空间任意两个向量
a、b(b ≠ 0
)， a∥b
uuur
uuur
等于以这三个向量为棱的平行六面体的
P、A、B
三点共线
uuur
AP || AB
AP
存在实数λ使
a=λ b ．
uuur
uuur
uuur
t AB
OP
uuur
uuur
uuur
(1 t)OA tOB
.
AB ||CD
AB
、
CD
共线且
AB、CD
不共线
AB
tCD
且
AB、
CD
不共线
.
118.
共面向量定理
向量 p 与两个不共线的向量
推论
a、 b 共面的
存在实数对
x, y
,
使
p
ax
存在有序实数对
x, y
,
使
MP
uuur
uuuur
uuur
uuur
或对空间任一定点
O，有序实数对
x, y
，使
OP
OM
xMA
yMB
.
uuur
uuur
uuur
119. 对空间 任一 点
O
和 不共 线的 三点
A、 B、 C，满 足
OP xOA yOB
空间一点 P
位于平面 MAB内的
（
x y
时，若
O
面．
平面 ABC，则 P、 A、B、 C 四点共面；若
O
uuur
uuur
xMA
yMB
，
uuur
by
．
uuur
zOC
z k
），则当
k
1
时，对于空间任一点
O
，总有
P、A、
B、C
四点共面；当
k 1
平面 ABC，则 P、 A、 B、 C
四点不共
A、B、C、D
四点共面
uuur
uuur
uuur
AD
与
AB
、
AC
共面
uuur
AD
uuur
xAB
uuur
y AC
uuur
uuur
uuur
uuur
OD
(1 x y)OA
xOB
yOC
（
O
平面
ABC） .
120. 空间向量基本定理
如果三个向量
a、b、c 不共面，那么对空间任一向量
p，存在一个唯一的有序实数组
x，
y， z，使 p ＝xa＋ yb＋zc．
推论
设 O、A、 B、 C 是不共面的四点，则对空间任一点
P，都存在唯一的三个有序实
uuur
uuur
uuur
uuur
数 x， y，
z，使
OP xOA yOB zOC
.
121.
射影公式
uuur
已知向量
AB
=
a
和轴
l
，
e
是
l
上与
l
同方向的单位向量
点在上的射影
l
uuur
B
'
，则
. 作 A 点在
l
上的射影
A
'
，作
B
A
'
B
'
| AB | cos
〈
a
，e〉=
a
·
e
122.
向量的直角坐标运算
设
a
＝
(a
1
, a
2
,
a
3
)
，
b＝
(b
1
,b
2
, b
3
)
则
(1)
a
＋b＝
(a
1
b
1
,a
2
b
2
, a
3
b
3
)
；
(2)
a
－b＝
(a
1
b
1
, a
2
b
2
,
a
3
b
3
)
；
(3)
λ
a
＝
( a
1
, a
2
, a
3
)
( λ∈ R)；
(4)
a
·b＝
a
1
b
1
a
2
b
2
a
3
b
3
；
123. 设 A
( x
1
,
y
1
, z
1
)
，B
(
x
2
, y
2
,
z
2
)
，则
uuur uuur uuur
AB OB
OA
=
(x
2
x
1
,
y
2
y
1
, z
2
z
1
)
.
124．空间的线线平行或垂直
r
r
设
a
( x
1
,
y
1
, z
1
)
，
b
(
x
2
, y
2
, z
2
)
，则
r
a
r r
r
b(b
0)
r
r
a Pb
r
r
a
b
x
1
x
2
y
2
；
z
2
y
1
z
1
r
r
a b 0
x
1
x
2
y
1
y
2
z
1
z
2
0
.
125.
夹角公式
设
a
＝
(a
1
,
a
2
, a
3
)
，
b＝
(b
1
,b
2
,
b
3
)
，则
cos 〈
a
， b〉
=
ab
11
a
2
b
2
a
3
b
3
.
a
1
2
a
2
2
a
3
2
b
1
2
b
2
2
b
3
2
推论
(a
1
b
1
a
2
b
2
a
3
b
3
)
2
126.
四面体的对棱所成的角
四面体
ABCD
中 ,
(a
1
2
a
2
2
a
3
2
)(b
1
2
b
2
2
b
3
2
)
，此即三维柯西不等式
.
AC
与
BD
所成的角为
, 则
22
cos
|( AB
2
CD
)
( BC
2 AC BD
DA
2
) |
.
127．异面直线所成角
r r
cos
| cos
a,b
|
r
r
=
|
r
a b
r
|
| a | | b |
x
1
2
|
x
1
x
2
y
1
y
2
z
1
z
2
|
y
1
2
z
1
2
x
2
2
y
2
2
z
2
2
r r
o
90
o
）为异面直线
a,b
所成角，
a,b
分别表示异面直线
（其中
（
0
128.直线
AB
与平面所成角
a,b
的方向向量）
arc
sin
uuur
ur
| AB || m
|
129. 若
ABC
所在平面若
、
2
uuur
ur
AB
m
ur
(
m
为平面
的法向量 ).
成的角分别是
1 2
,
与过若
AB
的平面
成的角
,
另两边
AC
,
BC
与平面
A、B
为
ABC
的两个内角，则
.
sin
2
sin
2
1
sin
2
sin
2
、
(sin
2
A
sin
2
B)sin
2
特别地
,
当
ACB
1 2
90
o
时
,
有
sin
2
.
130. 若
成的角分别是
ABC
所在平面若
1 2
2
与过若
AB
的平面
成的角
, 另两边
AC
,
BC
与平面
,
A
'
、 B
'
为
ABO
的两个内角，则
(sin
2
A
'
sin
2
B
'
) tan
2
90
tan
2
sin
2
1
tan
2
sin
2
.
特别地 ,
当
AOB
1 2
o
时
,
有
sin
2
.
131.二面角
ur
r
l
的平面角
arc cos ur
m n
r
或
arc cos ur r
ur r
m n
ur
r
（
m
，
n
为平面
， 的法向量） .
| m ||
n |
| m ||n |
132.
三余弦定理
设 AC是α内的任一条直线，且 BC⊥ AC，垂足为 C，又设 AO与
AB所成的角为
1
，AB 与
AC所成的角为
2
， AO与
AC所成的角为 ．则
cos cos
1
cos
2
.
133. 三射线定理
若夹在平面角为
的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是
1
,
2
, 与二面
角的棱所成的角是θ，则有
sin
2
sin
2
2
)
(
当且仅当
sin
2
1
sin
2
2
2sin
1
sin
2
cos
;
|
1
2
|180
o
(
1
90
o
时等号成立
).
134. 空间两点间的距离公式
若 A
(x
1
, y
1
,
z
1
)
， B
(x
2
,
y
2
, z
2
)
，则
uuur
uuur uuur
d
A
,B
=
| AB |
AB AB( x
2
x
1
)
135. 点
Q
到直线
l
距离
1
(| a || b
|)
uuur
| a |
b=
PQ
).
h
2
( y
2
y
1
)
2
(
z
2
z
1
)
2
.
2
(a
b)
(
点
P
在直线
l
上，直线
2
l
的方向向量
uuur
a=
PA
，向量
136.异面直线间的距离
d
| CD
n |
r
uuur
uur
(
l
1
,l
2
是两异面直线，
其公垂向量为
n
，
C、D
分别是
l
1
, l
2
上任一点，
d
为
r
| n |
uuur
l
1
, l
2
间的距离
).
137.点
B
到平面
uur
的距离
d
| AB n
|
r
（
n
为平面
r
| n |
的法向量，
AB
是经过面
的一条斜线，
A
） .
138.异面直线上两点距离公式
d
d
h
2
h
2
m
2
n
2
m2mncos
.
m
2
n
2
uuur
uuur
2mn cos EA
'
, AF
.
dh
2
m
2
n
2
2mncos
（
E
AA
'
F
）
.
(
两条异面直线
a、b 所成的角为θ，其公垂线段
点 E、 F，
A
'
E m
,
AF n
,
EF d
).
139. 三个向量和的平方公式
AA
'
的长度为 h.
在直线 a、 b 上分别取两
r r
r
r
r r
2 | c | | a | cos c, a
、 、
，夹角分
140.
长度为
l
的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为
l
1
l
2
l
3
( a
b c)
r
r r
r
2
r
2
r
2
r
r
r r
a
b
c
2 |
a | | b |cos a, b
、
2
a b c
2a b 2b c 2c a
r
2
r
2
r
2
r r
r
r
r
r
r r
2 | b |
| c | cos b, c
、
别为
1
2 3
, 则有
l
2
l
1
2
l
2
2
l
3
2
cos
2
1
cos
2
2
cos
2
3
1
.
sin
2
1
sin
2
2
sin
2
3
2
.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）
141. 面积射影定理
S
S
'
cos
.
(
平面多边形及其射影的面积分别是
142. 斜棱柱的直截面
S
、
S
'
，它们所在平面所成锐二面角的为
).
已知斜棱柱的侧棱长是
l
,
侧面积和体积分别是
S
斜棱柱侧
和
V
斜棱柱
,
它的直截面的周长和面
积分别是
c
1
和
S
1
,
则
①
S
斜棱柱侧
cl
.
1
②
V
斜棱柱
S
1
l
.
143．作截面的依据
三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行
144．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，
的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比
那么所得的截面与底面相似，
.
截面面积与底面面积
（对应角相等，
对应边对应成比例的多边形是相
似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）
；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等
于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．
145. 欧拉定理 ( 欧拉公式 )
V F E 2
(
简单多面体的顶点数
V、棱数
E和面数
F).
（ 1）
E
=各面多边形边数和的一半
. 特别地 , 若每个面的边数为
n
的多边形，则面数 F
与棱数 E 的关系：
E
1
2
nF
；
（
2）若每个顶点引出的棱数为
m
，则顶点数
V
与棱数
E
的关系：
E
1
mV
.
146. 球的半径是
R，则
其体积
V
2
4
R
3
,
其表面积
S 4 R
2
．
147. 球的组合体
(1) 球与长方体的组合体 :
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长
.
(2)
球与正方体的组合体 :
正方体的内切球的直径是正方体的棱长
,
正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线
.
3
长,
正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长
(3)
球与正四面体的组合体
:
棱长为
a
的正四面体的内切球的半径为
148．柱体、锥体的体积
6
a
,
外接球的半径为
6
a
.
12
4
V
柱体
1
3
1
Sh
（
S
是柱体的底面积、
h
是柱体的高）
.
Sh
（
S
是锥体的底面积、
V
锥体
h
是锥体的高）
.
3