高中解析几何基本公式
雷锋报-历史试题
解析几何中的基本公式
1、 两点间距离:若
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,则
AB(x
2
x
1
)(y
2
y
1
)
22
特别地:
ABx
轴,
则
AB
。
ABy
轴, 则
AB
。
2、
平行线间距离:若
l
1
:AxByC
1
0,
则:
d
C
1
C
2
AB
22
l
2
:AxByC
2
0
注意点:x,y对应项系数应相等。
3、 点到直线的距离:
P(x
,y
),l:AxByC0
则P到l的距离为:
d
Ax
By
2
C
2
AB
ykxb
4、
直线与圆锥曲线相交的弦长公式:
F(x,y)0
消y
:
ax
2
bxc0
,务必注意
0.
若
l与曲线交于A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y<
br>2
)
则:
AB(1k)(x
2
x
1
)
22
5、 若A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,P(x,y)。P在直线AB上,且P分有向线段AB所成的比
为
,
x
1
x
2
x
1
x
2
x
x
1
2
则
,特别地:
=1时,P为AB中点且
yyyy
22
y
1
y
1
1
2
变形后:
xx
1
x
2x
或
yy
1
y
2
y
6、
若直线l
1
的斜率为k
1
,直线l
2
的斜率为k
2
,则l
1
到l
2
的角为
,(0,)
k
2
k
1
1k
1
k
2
]
适用范围:k
1
,k
2
都存在且k
1
k
2
-1 ,
tan
若l
1
与l2
的夹角为
,则
tan
k
1
k
2
1k
1
k
2
,
(0,
2注意:(1)l
1
到l
2
的角,指从l
1
按逆时针方向
旋转到l
2
所成的角,范围
(0,)
l
1
到l
2
的夹角:指
l
1
、l
2
相交所成的锐角或直角。
(2)l
1
l
2
时,夹角、到角=
2
。
(3)当l
1
与l
2
中有一条不存在斜率时,画图,求到角或夹角。
7、
(1)倾斜角
,
(0,)
;
(2)
a,b夹角,[0,]
;
(3)直线l与平面
的夹角,[0,]
;
2
(
4)l
1
与l
2
的夹角为
,
[0,
]
,其中l
1
l
2
时夹角
=0;
2
(5)二面角
,
(0,]
;
(6)l
1
到l
2
的角
,(0,)
8、 直线的倾斜角
与斜率k的关系
a)
每一条直线都有倾斜角
,但不一定有斜率。
b)
若直线存在斜率k,而倾斜角为
,则k=tan
。
9、
直线l
1
与直线l
2
的的平行与垂直
(1)若l
1
,l
2
均存在斜率且不重合:①l
1
l
2
k
1
=k
2
②l
1
l
2
k
1
k
2
=-1
(2)若
l
1
:A
1
xB
1
yC
1
0,
若A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零
① l
1
l
2
A
1
A
2
B
1
B
2
C
1
C
2
l
2
:A
2
xB
2
yC
2
0
;
② l
1
l
2
A
1
A
2
+B
1
B
2
=0;
③
l
1
与l
2
相交
A
1
A
2A
1
A
2
B
1
B
2
B1
B
2
④ l
1
与l
2
重合
C
1
C
2
;
注意:若A
2或B
2
中含有字母,应注意讨论字母=0与
0的情况。
10、 直线方程的五种形式
名称 方程
注意点
斜截式: y=kx+b
应分①斜率不存在
②斜率存在
点斜式:
yy
k(xx
)
(1)斜率不存在:
xx
(2)斜率存在时为
yy
k(xx
)
两点式:
截距式:
x
y
1
其中l交x
轴于
(a,0)
,交y轴于
(0,b)
当直线l在坐标轴上,截距相等时应<
br>yy
1
y
2
y
1
xx
1<
br>x
2
x
1
ab
分:
(1)截距=0 设y=kx
(2)截距=
a0
设
x
a
y
a
1
即x+y=
a
一般式:
AxByC0
(其中A、B不同时为零)
10、确定圆需三个独立的条件
圆的方程
(1)标准方程:
(xa)
2
(yb)
2
r
2
,
(a,b)圆心,r半径
。
(2)一般方程:
x
2
y
2
DxEyF0
,(
D
2
E
2
4F0)
(
D
,
E
22
)圆心,
r
D
2
E
2
4F
2
11
、直线
AxByC0
与圆
(xa)
2
(yb)
2
r
2
的位置关系有三种
若
d
AaBbC
,
dr相离0
A
2
B
2
dr相切0
dr相交0
12、两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为
O
1
,O
2
,半径分别为r
1
,r
2
,<
br>O
1
O
2
d
dr
1
r
2
外离4条公切线
dr
1
r
2
外切3条公切线
r
1
r
2
dr
1
r
2
相交2条公切线<
br>
dr
1
r
2
内切1条公切线
0dr
1
r
2
内含无公切线
外离
外切
相交
内切 内含
13、圆锥曲线定义、标准方程及性质
(一)椭圆
定义Ⅰ:若F
1
,F
2
是两定点,P为动点,且
PF
1
PF
2
2aF
1
F
2
(
a
为常数)则P点的轨迹是椭圆。
定义Ⅱ:若F
1
为定点,l为
定直线,动点P到F
1
的距离与到定直线l的距离之比为常数e(0
标准方程:
x
a
2
2
y<
br>b
2
2
1
(ab0)
定义域:
{xaxa}
值域:
{xbyb}
长轴长=
2a
,短轴长=2b
焦距:2c
准线方程:
x
a
2
c
a
2
焦半径
:
PF
1
e(x
c
)
,
PF<
br>2
e(
a
2
c
x)
,
PF
1<
br>2aPF
2
,
acPF
1
ac
等
(
注意涉及焦半径①用点P坐标表示,②第一定义。)
注意:(1)图中线段的几何特征:
A
1
F
1
A
2
F
2
ac
,
A
1
F
2
A
2
F
1<
br>ac
B
1
F
1
B
1
F
2
B
2
F
2
B
2
F
1
a
,
A
2
B
2
A
1
B
2
a,b,c
有关。
ab
22
等等。顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与
(2)
PF
1
F
2
中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段PF
1
...........
PF
1
、
PF
2
、
2c,有关角
FPF
12
结合起来,建立
+
PF
2
、
PF
1
PF
2
等关系
xacos
(3)椭圆上的点有时常用到三角换元:
; <
br>ybsin
(4)注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上,请补充当焦点在
y轴上时,其相应的性质。
二、双曲线
(一)定义:Ⅰ若F1
,F
2
是两定点,
PF
1
PF
2
2aF
1
F
2
(
a
为常数),则动点P的轨迹是双曲线
。
Ⅱ若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数e(e>1),则动点P的轨迹是双曲线。
(二)图形:
(三)性质
方程:
x
a
2
2
y
b
2
2
1
(a0,b0)
<
br>y
a
2
2
x
b
2
2
1
(a0,b0)
定义域:
{xxa或xa}
;
值域为R;
实轴长=
2a
,虚轴长=2b
焦距:2c
准线方程:
x
a
2
c
a
2
焦半径
:
PF
1
e(x
c
)
,
PF<
br>2
e(
a
2
c
x)
,
PF
1<
br>PF
2
2a
;
注意:(1)图中线段的几何特征:
AF
1
BF
2
ca
,
AF
2
BF1
ac
a
2
顶点到准线的距离:a
c
或a
a
2
c
;焦点到准线的距离:
c
a
2
c
或c
a
2
c
两准线间的距离=
2a
c
x
a
2
2
2
(2)若双曲线方程为
y
b
b
a
2
2
1
渐近线方程:
x
a
2
2
y
b
2
2
0
y
b
a
x
若渐近线方程为
y
x
a
2
2
x
x
a
y
b
0
双曲线可设为
x
a
2
2
y
b
2
2
若双曲线与
y
b
2
2
1
有公共渐近线,可设为
x
a
2
2
y
b
2
2
(
0
,焦点在x轴上,
0
,焦点在y轴上)
(3)特别地当
ab时
离心率
e2
两渐近线互相垂直,分别
为y=
x
,此时双曲线为等轴双曲线,可设为
xy
22<
br>
;
(4)注意
PF
1
F
2<
br>中结合定义
PF
1
PF
2
2a
与余弦定理
cosF
1
PF
2
,将有关线段
PF
1
起来。
(5)完成当焦点在y轴上时,标准方程及相应性质。
二、抛物线
(一)定义:到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。
即:到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e(e=1)。
(二)图形: <
br>、
PF
2
、
F
1
F
2
和角结合
(三)性质:方程:
y
2
;
2px,(p0),p
焦点:
(
p
2
,0)
,
通径
AB
p
2
2p
;
准线:
x
;
p
2
,
过焦点弦长
CDx
1
p
2
x
2
p
2
x
1
x
2
p
焦半径:
CFx
注意:(1)几何特征:焦点到顶点的距离
=
p
2
;焦点到准线的距离=
p
;通径长=
2p
顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
y
2
(2)抛物线
y2px
上的
动点可设为P
(
2
2p
,y
)
或
P(2
pt,2pt)或
P
(x
,y
)其中y
2px
22