雷锋报-历史试题

解析几何中的基本公式
1、 两点间距离：若
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则
AB(x
2
x
1
)(y
2
y
1
)

22
特别地：
ABx
轴， 则
AB
。

ABy
轴， 则
AB
。
2、 平行线间距离：若
l
1
:AxByC
1
0,
则：
d
C
1
C
2
AB
22
l
2
:AxByC
2
0


注意点：x，y对应项系数应相等。
3、 点到直线的距离：
P(x

,y

),l:AxByC0

则P到l的距离为：
d
Ax

By
2

C
2

AB

ykxb
4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：


F(x,y)0

消y ：
ax
2
bxc0
，务必注意
0.

若 l与曲线交于A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y< br>2
)

则：
AB(1k)(x
2
x
1
)

22
5、 若A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，P（x，y）。P在直线AB上，且P分有向线段AB所成的比 为

，
x
1
x
2
x
1
 x
2


x
x



1 
2
则

，特别地：

=1时，P为AB中点且


yyyy
22

y
1

y
1


1 2


变形后：

xx
1
x
2x
或
yy
1
y
2
y

6、 若直线l
1
的斜率为k
1
，直线l
2
的斜率为k
2
，则l
1
到l
2
的角为
,(0,)
k
2
k
1
1k
1
k
2
]

适用范围：k
1
，k
2
都存在且k
1
k
2

－1 ，
tan

若l
1
与l2
的夹角为

，则
tan
k
1
k
2
1k
1
k
2
，
(0,

2注意：（1）l
1
到l
2
的角，指从l
1
按逆时针方向 旋转到l
2
所成的角，范围
(0,)

l
1
到l
2
的夹角：指 l
1
、l
2
相交所成的锐角或直角。
（2）l
1

l
2
时，夹角、到角=

2
。
（3）当l
1
与l
2
中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。

7、 （1）倾斜角

，
(0,)
；

（2）
a,b夹角，[0，]
；
（3）直线l与平面
的夹角，[0，]
；
2

（ 4）l
1
与l
2
的夹角为

，

[0， ]
，其中l
1
l
2
时夹角

=0；
2

（5）二面角
,
(0,]
；
（6）l
1
到l
2
的角
，(0，)

8、 直线的倾斜角

与斜率k的关系
a) 每一条直线都有倾斜角

，但不一定有斜率。
b) 若直线存在斜率k，而倾斜角为

，则k=tan

。
9、 直线l
1
与直线l
2
的的平行与垂直
（1）若l
1
，l
2
均存在斜率且不重合：①l
1
l
2

k
1
=k
2

②l
1

l
2

k
1
k
2
=－1
（2）若
l
1
:A
1
xB
1
yC
1
0,
若A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零
① l
1
l
2

A
1
A
2

B
1
B
2

C
1
C
2
l
2
:A
2
xB
2
yC
2
0
；

② l
1

l
2

A
1
A
2
+B
1
B
2
=0；
③ l
1
与l
2
相交

A
1
A
2A
1
A
2

B
1
B
2
B1
B
2

④ l
1
与l
2
重合


C
1
C
2
；
注意：若A
2或B
2
中含有字母，应注意讨论字母=0与

0的情况。
10、 直线方程的五种形式
名称 方程 注意点
斜截式： y=kx+b 应分①斜率不存在
②斜率存在

点斜式：
yy

k(xx

)
（1）斜率不存在：
xx


（2）斜率存在时为
yy

k(xx

)

两点式：


截距式：
x

y
1
其中l交x 轴于
(a,0)
，交y轴于
(0,b)
当直线l在坐标轴上，截距相等时应< br>yy
1
y
2
y
1

xx
1< br>x
2
x
1

ab
分：
（1）截距=0 设y=kx
（2）截距=
a0
设
x
a

y
a
1

即x+y=
a

一般式：
AxByC0
（其中A、B不同时为零）
10、确定圆需三个独立的条件
圆的方程 （1）标准方程：
(xa)
2
(yb)
2
r
2
，
(a,b)圆心，r半径
。
（2）一般方程：
x
2
y
2
DxEyF0
，（
D
2
E
2
4F0)


(
D
,
E
22
)圆心,

r
D
2
E
2
4F
2

11 、直线
AxByC0
与圆
(xa)
2
(yb)
2
r
2
的位置关系有三种
若
d
AaBbC
，
dr相离0

A
2
B
2

dr相切0


dr相交0

12、两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为 O
1
，O
2
，半径分别为r
1
，r
2
，< br>O
1
O
2
d

dr
1
r
2
外离4条公切线

dr
1
r
2
外切3条公切线

r
1
r
2
dr
1
r
2
相交2条公切线< br>
dr
1
r
2
内切1条公切线

0dr
1
r
2
内含无公切线

外离 外切


相交 内切 内含

13、圆锥曲线定义、标准方程及性质
（一）椭圆

定义Ⅰ：若F
1
，F
2
是两定点，P为动点，且
PF
1
PF
2
2aF
1
F
2
（
a
为常数）则P点的轨迹是椭圆。
定义Ⅱ：若F
1
为定点，l为 定直线，动点P到F
1
的距离与到定直线l的距离之比为常数e（0
标准方程：
x
a
2
2

y< br>b
2
2
1

(ab0)

定义域：
{xaxa}
值域：
{xbyb}

长轴长=
2a
，短轴长=2b
焦距：2c
准线方程：
x
a
2
c

a
2
焦半径
：
PF
1
e(x
c
)
，
PF< br>2
e(
a
2
c
x)
，
PF
1< br>2aPF
2
，
acPF
1
ac
等
（
注意涉及焦半径①用点P坐标表示，②第一定义。）
注意：（1）图中线段的几何特征：
A
1
F
1

A
2
F
2
 ac
，
A
1
F
2
A
2
F
1< br>ac


B
1
F
1

B
1
F
2
B
2
F
2
B
2
F
1
a
，
A
2
B
2
A
1
B
2

a,b,c
有关。
ab
22
等等。顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与
（2）
PF
1
F
2
中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段PF
1
．．．．．．．．．．．
PF
1
、
PF
2
、
2c，有关角
FPF
12
结合起来，建立
+
PF
2
、
PF
1

PF
2
等关系

xacos
（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：

； < br>ybsin

（4）注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，请补充当焦点在 y轴上时，其相应的性质。

二、双曲线

（一）定义：Ⅰ若F1
，F
2
是两定点，
PF
1
PF
2
2aF
1
F
2
（
a
为常数），则动点P的轨迹是双曲线 。
Ⅱ若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数e（e>1），则动点P的轨迹是双曲线。
（二）图形：
















（三）性质
方程：
x
a
2
2

y
b
2
2
1

(a0,b0)
< br>y
a
2
2

x
b
2
2
1

(a0,b0)

定义域：
{xxa或xa}
； 值域为R；
实轴长=
2a
，虚轴长=2b
焦距：2c
准线方程：
x
a
2
c

a
2
焦半径
：
PF
1
e(x
c
)
，
PF< br>2
e(
a
2
c
x)
，
PF
1< br>PF
2
2a
；
注意：（1）图中线段的几何特征：
AF
1
BF
2
ca
，
AF
2
BF1
ac

a
2
顶点到准线的距离：a
c
或a
a
2
c
；焦点到准线的距离：
c 
a
2
c
或c
a
2
c

两准线间的距离=
2a
c
x
a
2

2
2
（2）若双曲线方程为

y
b
b
a
2
2
1

渐近线方程：
x
a
2
2

y
b
2
2
0
y
b
a
x


若渐近线方程为
y
x
a
2
2
x

x
a

y
b
0

双曲线可设为
x
a
2
2

y
b
2
2


若双曲线与

y
b
2
2
1
有公共渐近线，可设为
x
a
2
2

y
b
2
2


（
0
，焦点在x轴上，
0
，焦点在y轴上）
（3）特别地当
ab时
离心率
e2

两渐近线互相垂直，分别 为y=
x
，此时双曲线为等轴双曲线，可设为

xy
22< br>
；
（4）注意
PF
1
F
2< br>中结合定义
PF
1
PF
2
2a
与余弦定理
cosF
1
PF
2
，将有关线段
PF
1
起来。
（5）完成当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质。
二、抛物线
（一）定义：到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。
即：到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e（e=1）。
（二）图形： < br>、
PF
2
、
F
1
F
2
和角结合

（三）性质：方程：
y
2

；
2px,(p0),p
焦点：
(
p
2
,0)
，
通径
AB
p
2
2p
；
准线：
x
；
p
2
,
过焦点弦长
CDx
1

p
2
x
2

p
2
x
1
x
2
p


焦半径：
CFx


注意：（1）几何特征：焦点到顶点的距离 =
p
2
；焦点到准线的距离=
p
；通径长=
2p

顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
y

2
（2）抛物线
y2px
上的 动点可设为P
(
2
2p
,y

)
或
P(2 pt,2pt)或
P
(x

,y

)其中y
2px


22