高中解析几何基本公式

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2020年12月06日 05:51
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雷锋报-历史试题

2020年12月6日发(作者:侯耀华)


解析几何中的基本公式
1、 两点间距离:若
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,则
AB(x
2
x
1
)(y
2
y
1
)

22
特别地:
ABx
轴, 则
AB


ABy
轴, 则
AB

2、 平行线间距离:若
l
1
:AxByC
1
0,
则:
d
C
1
C
2
AB
22
l
2
:AxByC
2
0


注意点:x,y对应项系数应相等。
3、 点到直线的距离:
P(x

,y

),l:AxByC0

则P到l的距离为:
d
Ax

By
2

C
2

AB

ykxb
4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式:


F(x,y)0

消y :
ax
2
bxc0
,务必注意
0.

若 l与曲线交于A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y< br>2
)

则:
AB(1k)(x
2
x
1
)

22
5、 若A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,P(x,y)。P在直线AB上,且P分有向线段AB所成的比 为


x
1
x
2
x
1
 x
2


x
x



1 
2


,特别地:

=1时,P为AB中点且


yyyy
22

y
1

y
1


1 2


变形后:

xx
1
x
2x
或
yy
1
y
2
y

6、 若直线l
1
的斜率为k
1
,直线l
2
的斜率为k
2
,则l
1
到l
2
的角为
,(0,)
k
2
k
1
1k
1
k
2
]

适用范围:k
1
,k
2
都存在且k
1
k
2

-1 ,
tan

若l
1
与l2
的夹角为

,则
tan
k
1
k
2
1k
1
k
2

(0,

2注意:(1)l
1
到l
2
的角,指从l
1
按逆时针方向 旋转到l
2
所成的角,范围
(0,)

l
1
到l
2
的夹角:指 l
1
、l
2
相交所成的锐角或直角。
(2)l
1

l
2
时,夹角、到角=

2

(3)当l
1
与l
2
中有一条不存在斜率时,画图,求到角或夹角。





















7、 (1)倾斜角


(0,)


(2)
a,b夹角,[0,]

(3)直线l与平面
的夹角,[0,]

2

( 4)l
1
与l
2
的夹角为



[0, ]
,其中l
1
l
2
时夹角

=0;
2

(5)二面角
,
(0,]

(6)l
1
到l
2
的角
,(0,)

8、 直线的倾斜角

与斜率k的关系
a) 每一条直线都有倾斜角

,但不一定有斜率。
b) 若直线存在斜率k,而倾斜角为

,则k=tan


9、 直线l
1
与直线l
2
的的平行与垂直
(1)若l
1
,l
2
均存在斜率且不重合:①l
1
l
2

k
1
=k
2

②l
1

l
2

k
1
k
2
=-1
(2)若
l
1
:A
1
xB
1
yC
1
0,
若A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零
① l
1
l
2

A
1
A
2

B
1
B
2

C
1
C
2
l
2
:A
2
xB
2
yC
2
0


② l
1

l
2

A
1
A
2
+B
1
B
2
=0;
③ l
1
与l
2
相交

A
1
A
2A
1
A
2

B
1
B
2
B1
B
2

④ l
1
与l
2
重合


C
1
C
2

注意:若A
2或B
2
中含有字母,应注意讨论字母=0与

0的情况。
10、 直线方程的五种形式
名称 方程 注意点
斜截式: y=kx+b 应分①斜率不存在
②斜率存在


点斜式:
yy

k(xx

)
(1)斜率不存在:
xx


(2)斜率存在时为
yy

k(xx

)

两点式:


截距式:
x

y
1
其中l交x 轴于
(a,0)
,交y轴于
(0,b)
当直线l在坐标轴上,截距相等时应< br>yy
1
y
2
y
1

xx
1< br>x
2
x
1

ab
分:
(1)截距=0 设y=kx
(2)截距=
a0

x
a

y
a
1

即x+y=
a

一般式:
AxByC0
(其中A、B不同时为零)
10、确定圆需三个独立的条件
圆的方程 (1)标准方程:
(xa)
2
(yb)
2
r
2

(a,b)圆心,r半径

(2)一般方程:
x
2
y
2
DxEyF0
,(
D
2
E
2
4F0)


(
D
,
E
22
)圆心,

r
D
2
E
2
4F
2

11 、直线
AxByC0
与圆
(xa)
2
(yb)
2
r
2
的位置关系有三种

d
AaBbC

dr相离0

A
2
B
2

dr相切0


dr相交0

12、两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为 O
1
,O
2
,半径分别为r
1
,r
2
,< br>O
1
O
2
d

dr
1
r
2
外离4条公切线

dr
1
r
2
外切3条公切线

r
1
r
2
dr
1
r
2
相交2条公切线< br>
dr
1
r
2
内切1条公切线

0dr
1
r
2
内含无公切线



外离 外切


相交 内切 内含

13、圆锥曲线定义、标准方程及性质
(一)椭圆

定义Ⅰ:若F
1
,F
2
是两定点,P为动点,且
PF
1
PF
2
2aF
1
F
2

a
为常数)则P点的轨迹是椭圆。
定义Ⅱ:若F
1
为定点,l为 定直线,动点P到F
1
的距离与到定直线l的距离之比为常数e(0
标准方程:
x
a
2
2

y< br>b
2
2
1

(ab0)

定义域:
{xaxa}
值域:
{xbyb}

长轴长=
2a
,短轴长=2b
焦距:2c
准线方程:
x
a
2
c

a
2
焦半径

PF
1
e(x
c
)

PF< br>2
e(
a
2
c
x)

PF
1< br>2aPF
2

acPF
1
ac


注意涉及焦半径①用点P坐标表示,②第一定义。)
注意:(1)图中线段的几何特征:
A
1
F
1

A
2
F
2
 ac

A
1
F
2
A
2
F
1< br>ac


B
1
F
1

B
1
F
2
B
2
F
2
B
2
F
1
a

A
2
B
2
A
1
B
2

a,b,c
有关。
ab
22
等等。顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与
(2)
PF
1
F
2
中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段PF
1
...........
PF
1

PF
2

2c,有关角
FPF
12
结合起来,建立
+
PF
2

PF
1

PF
2
等关系

xacos
(3)椭圆上的点有时常用到三角换元:

; < br>ybsin

(4)注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上,请补充当焦点在 y轴上时,其相应的性质。

二、双曲线


(一)定义:Ⅰ若F1
,F
2
是两定点,
PF
1
PF
2
2aF
1
F
2

a
为常数),则动点P的轨迹是双曲线 。
Ⅱ若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数e(e>1),则动点P的轨迹是双曲线。
(二)图形:
















(三)性质
方程:
x
a
2
2

y
b
2
2
1

(a0,b0)
< br>y
a
2
2

x
b
2
2
1

(a0,b0)

定义域:
{xxa或xa}
; 值域为R;
实轴长=
2a
,虚轴长=2b
焦距:2c
准线方程:
x
a
2
c

a
2
焦半径

PF
1
e(x
c
)

PF< br>2
e(
a
2
c
x)

PF
1< br>PF
2
2a

注意:(1)图中线段的几何特征:
AF
1
BF
2
ca

AF
2
BF1
ac

a
2
顶点到准线的距离:a
c
或a
a
2
c
;焦点到准线的距离:
c 
a
2
c
或c
a
2
c

两准线间的距离=
2a
c
x
a
2

2
2
(2)若双曲线方程为

y
b
b
a
2
2
1

渐近线方程:
x
a
2
2

y
b
2
2
0
y
b
a
x


若渐近线方程为
y
x
a
2
2
x

x
a

y
b
0

双曲线可设为
x
a
2
2

y
b
2
2


若双曲线与

y
b
2
2
1
有公共渐近线,可设为
x
a
2
2

y
b
2
2



0
,焦点在x轴上,
0
,焦点在y轴上)
(3)特别地当
ab时
离心率
e2

两渐近线互相垂直,分别 为y=
x
,此时双曲线为等轴双曲线,可设为


xy
22< br>

(4)注意
PF
1
F
2< br>中结合定义
PF
1
PF
2
2a
与余弦定理
cosF
1
PF
2
,将有关线段
PF
1
起来。
(5)完成当焦点在y轴上时,标准方程及相应性质。
二、抛物线
(一)定义:到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。
即:到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e(e=1)。
(二)图形: < br>、
PF
2

F
1
F
2
和角结合

(三)性质:方程:
y
2


2px,(p0),p
焦点:
(
p
2
,0)

通径
AB
p
2
2p

准线:
x

p
2
,
过焦点弦长
CDx
1

p
2
x
2

p
2
x
1
x
2
p


焦半径:
CFx


注意:(1)几何特征:焦点到顶点的距离 =
p
2
;焦点到准线的距离=
p
;通径长=
2p

顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
y

2
(2)抛物线
y2px
上的 动点可设为P
(
2
2p
,y

)

P(2 pt,2pt)或
P
(x

,y

)其中y
2px


22

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