怎样克隆空间免费-战争故事

常见几何体的面积、体积求法与应用

要计算某材料的密度、重量，研究某物 体性能及其物质结构等，特别
对于机械专业的学生，必须要求工件的面积、体积等，若按课本上公式来< br>计算，而课本上公式不统一，不好记住，并且很繁杂，应用时要找公式，
对号入座很麻烦。笔者在 教学与实践中总结出一种计算常见几何体的面积、
体积方法。其公式统一，容易记住，且计算简单。对技 校学生来说，排除
大部分繁琐的概念、定理，以及公式的推导应用等。
由统计学中的用加权平 均数对估计未来很准确。比如，估计某商品下
个月销售量，若去年平均销售量为y，设本月权为4，上月 权数为1，下月
权数为1，各月权数分别乘销售量相加后除以6等于y。这样能准确地确定
下个 月销售量。能不能以这种思想方法用到求几何体的面积、体积呢？通
过推导与实践，对于常见的几何体确 实可用这种方法来求得其面积、体积。
下面分别说明求常见几何体的面积、体积统一公式的正确性与可用 性。
常见几何体的面积、体积统一公式：
A
V
h
0
6
h
0
6
(C
0
4C
1
C
2
)
(S
0
4S
1
S
2
)
< br>（其中A为几何体侧面积，C
0
为上底面周长，C
1
为中间横截面周长 ，C
2
为下底面周长，V为几何体体积，S
0
为上底面面积，S
1< br>为中间横截面面积，
S
2
为下底面面积，h为高，h
0
为斜高 或母线长。注：中间横截面为上、下底
等距离的截面。）
一、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的面积 、体积用统一公式
的正确性
1、棱柱：
⑴据棱柱上底周长、下底周长、中间横截面周长相等，即
CCC，
012
可得：
h
0
6
(C
0
4C
1
C
2
)
h
0
6
6C
2< br>h
0
C
2
，这与课本中的棱柱侧面积公式等同。
以下每个几何体都能推得与课本中相应公式等同，说明这统一公式的
正确性。
⑵据棱柱上底面、下底面、中间横截面相等，可知：
SSS
，即：
01 2
V
h
6
(S
0
4S
1
S
2
)
h
6
(S
2
4S
2
S
2
)S
2
h
。
2、棱锥
⑴设底边长为a
2< br>，边数为n，斜高为h
0
，侧面三角形中位线为a
1
，则

1

a
1

1
2
a
2，即
C
1

h
0
6
1
2
C< br>2
。
h
0
6
(04
1
2
C< br>2
C
2
)
1
2
C
2
h
0

A(C
0
4C
1
C
2
)< br>⑵设正棱锥底面n边形中心点与边分割成n块三角形，相应对应中间
横截面也分割成n块三角形， 而每块对应三角形底边
a
半，即
h'
1
n
1
< br>1
2
a
2
，且高也为一
1
2
h
2< br>'

S
1

n111n1
a
2
h
2
'a
2
h
2
'S
2

2222424
则
V
h
(S
0
4S
1
S
2
)
h
(04
1
S
2
S< br>2
)
h
2S
2

h
S
2

66463
a
1
h
1
'
3、棱台
⑴设上底面边长为a
0
，中间横截面边长为a
1
，下底面边长为a
2
，则
a
1

1
2
(a
0
a2
)
，即
C
1

h
0
6
1< br>2
(C
0
C
2
)
h
0
6
。
1
2
(C
0
C
2
)C
2
]
h
0
6
(3C
0
3C
2
)
1
A(C
0
4C
1
C
2
)
0
[C
0
4
h
0
2
(C
0
C
2
)

⑵设正棱台
h'
为上底面中点与边所分割成三角形的 高，
h'
为中间横截
面相应分割成三角形的高，
h'
为下底面相应分 割成三角形的高，则
2
h
0
'
h
2
'
< br>a
0
a
2
，
即
a
2
h
0< br>'a
0
h
2
'
，
S
1
V






n11n
(a
0
a
2
)(h
0
'h
2
')(a
0
h
0
'a
0
h
2
'a
2< br>h
0
'a
2
h
2
')
22228
hhn
(S
0
4S
1
S
2
)[S
0
4(a
0
h
0
'a
0
h
2
'a
2
h
0
'a
2
h
2
')S2
]

668
hnnnn
[S
0
a
0
h
0
'a
0
h
2
'a
2
h
0
'a
2
h
2
'S
2
]
< br>62222
hnn
[S
0
S
0
a
2h
0
'a
2
h
0
'S
2
S2
]

622
hn
(2S
0
2S
2
2a
2
h
0
')

62
hn
(S
0
S
2
a
2
h
0
')

32
na
1
h
1
'
h
3
h3
h
(S
0
S
2

(S
0
S
2

n
2
n
2
a
2
h
0

a
0
h
0

'
'
1

n
2
n
2
a
2
h
0
)

'
a
2
h
2
)

'

3
(S
0
S
2
S
0
S
2
)< br>
注：以上几何体若底边长不相等时，同理可推得。

2

< br>例：已知正四棱台容器量得斜高为1.3m，上、下底面边长分别为0.8m
和1.8m，求容器 能盛多少水？
解：
h
V
1.3(
2
1.80.8
2
)
2
1.2,a
1

2
1
2
(0.81.8)1.3

223
h
6
(S
0
4S
1
S
2
)
1.2
6
(0.8 41.31.8)2.128m2.128吨

则容器能盛2.128吨水。
4、圆柱
设母线长为h
0
，上底面半径为r
0
，下底面半 径长为r
2
，中间横截面半
径为r
1
，则r
0
=r
1
=r
2

A
h
0
6
(C< br>0
4C
1
C
2
)
h
0
62
(2

r
0
42

r
1
2

r
2
)
22
h
0
6
( 2

r
2
8

r
2
2
r
2
)2

r
2
h
0

2 2
V
h
6
(S
0
4S
1
S
2
)
h
6
(

r
0
4
r
1


r
2
)
h
6
(< br>
r
2
4

r
2


r
2
)
2
h
6
6

r
2


r
2
h
22

5、圆锥
若母线长 为h
0
，底半径为r
2
，中间横截面半径为r
1
，则
r
A
h
0
6
(C
0
4C
1
C
2
)
h
0
6
(042

r< br>1
2

r
2
)
22
1

1
2
h
0
6
r
2

6

r
2


r
2
h
0
2
h
0
6
(08


1
2
r
2
 2

r
2
)
2

V

h6
h
6
(S
0
4S
1
S
2
)
2

r
2

2
h
6
(0 4

r
1


r
2
)
h
6
(04

(
1
2
r
2
)

r
2
)
2
h
6
(

r
2


r
2
)
2

1
3

r
2
h

2
6、圆台 < br>若母线长为h
0
，高为h，上底面半径为r
0
，中间横截面半径为r< br>1
，下底
面半径为r
2
，则
r
A


1

1
2
(r
0
r
2
)
。
h
0
6
(2

r
0
42

r
1
2

r
2
)

h
0
6
h
0
6
h
0
6
h
0
2
(C
0
4C
1
C
2
)
[2

r
0
42


1
2< br>(r
0
r
2
)2

r
2
]
(2

r
0
4

r
0
 4

r
2
2

r
2
)

(2

r
0
2

r
2
)
h
0
2
(C
0
C
2
)

222< br>V


h
6
h
6
h
6
h
(S
0
4S
1
S
2
)
22
h
6
(

r
0
4

r
1


r
2
)
22
h
6
[
< br>r
0
4


2
1
4
(r
0
r
2
)

r
2
]

22
(

r
0


r
0
2< br>
r
0
r
2


r
2
< br>
r
2
)

(2

r
0
 2

r
0
r
2
2

r
2
)

22


3
(

r
0

r
2

22

r
0
< br>
r
2
)

22
3

h
3
(S
0
S
2
S
0
S
2
)

例：某圆台工件量得大头直径为36毫米，小头直径为24毫米，长为
180毫米，求体积。
解：∵
r
0
12,
180
6
r
2
18,
(

12
2
r
1

1
2
(1218)15,
22
h180

3
V 4

15

18)41040

41.04< br>
厘米

二、常见曲线围成面积与旋转体体积
1、一次函数、二次函数、三次函数的曲线所围成面积可用：
A
h
6(y
0
4y
1
y
2
)

⑴设一次函数：
yaxb在x[0,h]
的曲边梯形面积为：
A< br>
h
0
2

xa
2
h
(axb )dx

abx

hbh(3ah6b)
226
0
h
(1)

h
f(),f(h)
分别为
y
0
,y
1
,y
2

2
则
y
0
b,y
1
a
h
b,y
2
 ahb

2
h
y
0
4y
1
y2
b4(ab)ahb2b2ah4bah3ah6b
2
h
得
A(y
0
y
1
y
2
)

6
而这时
f(0),
，代入（1）可
⑵设二次函数：
y ax
A
2
bxc在x[0,h]
上的曲边梯形面积为：
h

h
0
3232

xxhha
2
b< br>2
(axbxc)dx

abcx

ab chh(hhc)

323232

0

h
6
(2ah3bh6c)
2
(1)

h
f(),f( h)
分别为
y
0
,y
1
,y
2
，
2
a
2
b
2
y
0
c,y
1
hhc,y
2
ahbhc

42
ab
则
y
0
4y
1
y
2
c4(h
2
 hc)ah
2
bhc

42
由
f(0),
代入（1）可得：
A
2cah2bh4cahbh2ah3bh6c，
222
h
6
(y
0
4y
1
y< br>2
)

⑶设三次函数：
yax
h
3
bx cxe在x[0,h]
的曲边梯形面积为：
2
h
432432

xxxhhh
32
A

(axbxcxe)dx< br>
abcex

abceh
0
432 432

0
a
3
b
2
ch3
32
h(hhhe)(ah2bh3ch6e)(1)

43262


4

由
f(0),
y
0
e,
h
f(),
2
y
1
a
h
f(h)
分别为
y
0
,
3
y
1
,y
2
，
32
8
b
h
2
4
h
c
3h
2
e,
h
2
y
2
ahbhche

h
2
e)ahbhche
32
即
y< br>0
4y
1
y
2
e4(a
8
3
b
2
4
c
32

3
2
h2bh 3ch6e
32
e
a
2
h
6
hbh2c h4eahbhche
(y
0
4y
1
y
2
)

，
代入（1）可得：
A
综上所述，可得出一个结论： 对于任何是由一次函数、二次函数、三
次函数的曲线所围成的面积都可用：
A
23< br>h
6
(y
0
y
1
y
2
)
。
例：求
f(x)x2x1与

(x)x1,x[0,2]
所围成的面积。
解：
yf(0)

(0)0,yf(1 )

(1)2,yf(2)

(2)0

012
面积A
2
6
(0420)
8
3

h
6
(S
0
4S
1
S
2
)
2、球、球缺、椭球、抛物面等几何体体积可用：
V
函数据对前面推导可知，其 体积都可用
V
如：球半径为R时，球的体积为
V
例：求
f(x)< br>解：
x0时S
x1时
x2时
V
2
6
x2x5,
2
0
3
在所有旋转体要求体积时，若被积函数为一次函数、 二次函数、三次

h
6
(S
0
4S
1
 S
2
)
。
2

2R
6
(04

R0)
4
3

R
3

x[0,2]
绕x轴旋转所成几何体体积。


f(0)5

2
S
1


f
S
2


f
2

(1)8


(2)17



2
(5

48< br>
17

)18

例：已知抛物面形水池，上口直径为< br>2
求体积。
解：
V
解：
V

4
6
8
6
[(2)

41

0]
22
m，中间直径为2m，深为4m，
3
2
3
6

4

m

例：椭球型汽油罐，长为8m，宽为6m，高为6m，求体积。
(043

0)48

m
23
1
总而言之，求常见几何体的面积、体积时，所用公式统一，只要记住：
“头尾量与中间量 4倍的和再与头尾距离的积”。且公式中所需要的数据
6
在实际中很容易得到，因此笔者认为很 实用。

5