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（适合高一）平面解析几何（直线与圆）所有公式
1.两点间距离公式 ：两点
A

x
1
,y
1

,
B< br>
x
2
,y
2

.

A B

x
2
x
1



y2
y
1


22
2.点到直线距离公式：
P

x
0
,y
0

，直线
AxByC 0
.
Ax
0
By
0
C

d

22
AB
x
1
y
1
x
2
y
2

3.中点坐标：
A(x,y)
和B

x,y

的中点坐标为

,


2

2
（xx）
4.斜率公式: ①已知两点
A

x
1
,y
1

，
B

x2
,y
2

，
1122
12
y
2
y
1
则
k

x
2
x
1
②已知倾斜角

，则
ktan


5.斜率的取值范围：
k

,


6.倾斜角范围：



0，180




7.直线方程的五种形式：
（1）点斜式方程：点
A

x
0
,y
0

， 斜率
k
.
yy
0
k

xx
0


（2）斜截 式方程：斜率
k
，截距
b
.[或给点

0,b
< br>].※截距
b
是坐标，
有+,有-,有0。
ykxb

（3）两点式方程:
A(x
1< br>,y
1
)
,
B

x
2
,y
2

(
x
1
x
2
且
y
1< br>y
2
)
yy
1
xx
1
则（
xx
,且
yy
）

y
2
y< br>1
x
2
x
1
1212
（4）截距式方程.横截距< br>a
，纵截距
b
[或给点

a,0

，

0,b

]
xy
则
1
（
a0
且
b0
）
ab

（5）一般式方程：适合与所有条件，最后统一写成方程形式
AxByC0(A
2
B
2
0)

8.两条直线的位置关系
（1）相交

（一般式）
A
1< br>B
2
A
2
B
1
0

A
1
B
1


（一般式）
(A
2
B
2
0)

A
2
B
2


（斜截式）
k
1
k
2

（2）平行< br>
（一般式）
A
1
B
2
A
2
B< br>1
0
且
B
1
C
2
C
1
B
2
0
或

A
2
C
1
A
1
C
2
0

A
1
B
1
C
1

（一般式）
(A
2
B
2
C
2
0)

A
2
B
2
C
2


（斜截式）
k
1
k
2
且
b
1
 b
2

（3）重合

（一般式）
A
1
< br>
A
2
,B
1


B
2
, C
1


C
2
(

0)

A
1
B
1
C
1


（一般式）


A
2
B
2
C
2

（一般式）
A
1
B
2
A
2
B
10
且
B
1
C
2
C
1
B
2
0
或

A
2
C
1
A
1
C
2
0



（斜截式）
k
1
k
2
且
b
1
b
2

（4）垂直

（一般式）
A
1< br>A
2
B
1
B
2
0



（斜截式）
k
1
k
2
1

9.一般式方程
AxByC0
（
B0
，保证斜率
k
存在）与斜截
AC
式方程
ykxb
关系：
k,b

BB

10.常用结论
（1）与
AxByC0
平行的直线方程为

AxByD0(DC)
※必须写
BxAyD0

（2）与
AxByC0
垂直的直线方程为

（3） 两条平行直线
AxByC
1
0
与
AxByC
2< br>0
之间的
C
1
C
2
距离
d

22
AB
11.圆的方程
（1）标准方程：

x a



yb

r
。适用于给圆心

a,b

，
22
2
半径
r
的情况
（2）一般方程：
x
2
y
2
DxEyF0< br>。适用于过三点的情
2

DE

况。是圆前提：
D E4F0
.圆心坐标

,

.半径

22

D
2
E
2
4F

r
2< br>22
2
12.点与圆的位置关系：点

x,y

.圆

xa



yb

r

2
00
（1）点在圆上


x
2
< br>aybr

00
22
（2）点在圆内

< br>x
0
（3）点在圆外


x
0
13.直线与 圆的位置关系
a



y
0
b
< br>r
2

22
a



y
0
b

r
2

22
由直线
l
与圆
C
的方程联立方程组
我们有如下结论：

相离
方程组无解
相切
方程组仅有一组解
相交
方程组有两组不同的
解
dr


dr


dr

其中
d
为圆心到直线的距离.
14.圆与圆的位置关系
外离 外切 相交 内切 内含
dr
1
r
2

dr
1
r
2

r
1
r
2
dr
1
r
2

dr
1
r
2

dr
1
r
2


其中
d
为两圆圆心的距离.
一、方法总结
1.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系的判定方法主要有两种.
判别式法：联立直线与圆的方程，根据方程组的解
的个数判断直线与圆的位置关系.
几何法:计算圆心到直线的距离
d
，与圆的半 径
r
比较大小，根据两
者的大小关系判断直线与圆的位置关系.

2.圆与圆的位置关系
判断圆与圆的位置关系一般用几何法，具体如下：
（1）把圆的方程化为标准方程，得到两圆的圆心和半径；
（2）计算两圆的圆心距；
（3）根据圆心距与半径的关系判断两圆的位置关系.
3.圆的切线
（1）求过圆
C
外一点
P

x
0
,y
0
的切线方程的方法：
设切线为
yy
0
k

x x
0

，由圆心
C
到切线的距离等于圆的半径
r
， 列方程求
k
，若有两解即得切线方程，若有一个解，则另一条为
xx
0
代数法：设切线为
yy
0
k

xx
0

，与圆的方程联立，消元，由
0
求出
k
，若有两解 即得切线方程，若只有一解，则另一条为
xx
0
.
（2）求过圆
C
上的一点
P

x
0
,y
0

的 切线方程的方法：圆心
C

a,b

，
1
k< br>，则切线方程为
yyk

xx

.特别的，如果直线< br>PC
k
PC
00
的斜率不存在，则切线方程为
yy
0
，如果直线
PC
的斜率为0，则
切线方程为
xx
0.
4.圆的弦长
求直线被圆所截得弦长的方法：
（1）代数法：对于容易 求出直线与圆的两个交点坐标的题目，我们
可以先求出这两个交点的坐标，再求这两点间的距离. （2）几何法：求出弦心距
d
和圆的半径
r
，利用勾股定理来求弦长

l2r
2
d
2
.
二、特别提示
1.判断直线与圆的、圆与圆的位置关系要注意数形结合，特别要突出
几何要素.
在用代数方法判断直线与圆、圆与圆的位置关系时，代数方法要
在几何要素的引导下使用，并且要回归到 几何上.对于两圆的位置关
系，只用代数方法不能准确判定.如只有一个公共点时，不能确定是
外切还是内切；没有公共点时，不能确定是外离还是内含.
2.理解用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量，将几何问题转化为
代数问题；
（2）进行有关代数运算，解决代数问题；
（3）把代数运算结果“翻译”成几何结论. < br>3.了解共点曲线系（直线系、圆系）方程：如果两曲线的方程是
f
1

x,y

0
和
f
2

x,y

0
，它们的交点是
P
0

x
0
,y
0

，那么方程
f
1

x,y



f
2

x,y

0
表示的曲线也经过点
P
0
（其中

R
）.
特别地，若两相交的圆的方程分别为：

C
1
:xyD
1
xE
1
yF
1
0
，
22

C
2
:xyD
2
xE
2
yF
2< br>0
，则方程
22
x
2
y
2
D
1
xE
1
yF
1



x
2
y
2
D
2
xE
2
yF
2

0
（其中

R
，

1
）表示 过圆
C
与圆
C
12
交点的圆系方程（不包括圆
C
2
）.
当

1
时，上述方程表示两圆公共弦所在直线的方程.