宁波九峰山-私房菜做法

向量法解立体几何公式总结
一、基本知识点
直线
l,m
的 方向向量分别为
a,b
，平面

,

的法向量分别为
n
1
,n
2
（若只涉及一个平面

，则用
n表示其
法向量）并在下面都不考虑线线重合、面面重合及线在面内的情况。
1、平行问题（结合图象，直观感觉）
1）线线垂直
lmabab0

1）线线平行
lmabakb

2）线面垂直
l

anakn

2）线面平行
l

anan0

3）面面垂直< br>3）面面平行



n
1
n
2
n
1
kn
2

2、垂直问题（结合图象，直观感觉）
3、夹角问题
1）异面直线
AB,CD
所成的角

（范围：
0



co

s



n
1
n
2
n
1
n
2< br>0

2


ABCD< br>
cosABC,D




（范围：
0


）
AB
C
D
2）线面角


2
），
si

ncosa,n
an
an



a, n
2

a,n

2

3）二面角

（范围：
0



）




n
1
,n
2

n
1
n
2
cos



n
1
n
2

n
1
,n< br>2


n
1
n
2
cos



n
1
n
2


1

4、距离问题
1）点A到点B的距离：
A B(x
A
x
B
)(y
A
y
B
) (z
A
z
B
)

2）点A到线l的距离
d

在直线
l
上任取点
B< br>cos

cosAB,a
222
ABa
ABa< br>
，
sin

1cos
2


dABsin


3）点A到面

，
的距离
d

在平面

上任取点
B

cos

cosAB,n
ABn
ABn
dABcos

AB
ABn
ABn

AB n
n

4）异面直线间
l,m
间的距离
d
在直线
l
上任取点
A
，在直线
m
上任取点
B< br>
向量
n
与异面直线
l,m
的方向向量
a,b
都垂直
cos

cosAB,n
ABn
ABn

dABcos

AB
ABn
ABn
< br>ABn
n

5）直线
l
到平面

的距离
在直线
l
上任取一点
A
，转化为点A到面

的距离
d

6）平面

到平面

的距离
在平面

上任取一点
A
，转化为点A到面

的距离
d
D
1
A
1
B
1
C
1
二、典例训练
例1、在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别是AD、AB的中点。
1）求异面直线
B
1
E
与
C
1
F
所成角的大小；
D

A
E
F
B
C
2

2）求证：异面直 线
AC
1
与
B
1
C
垂直；
3）求直线< br>BC
1
与面
EFB
1
D
1
所成角的大小。
0
例2、已知四棱锥
PABCD
的底面为直角梯形，ABCD，
 DAB90
，PA

底面ABCD，且
1
，AB=1，M是PB的 中点。
2
1）证明：平面PAD

平面PCD
PA=AD=DC=
P
M
2）求AC与PB所成的角余弦值的大小
3）求平面AMC与平面BMC所成二面角余弦值的大小
A

B


C
D

例3、在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，E是棱BC的中点。
（1）在棱
BB1
上是否存在一点M，使
D
1
M
平面
B
1< br>AE
，为什么？
（2）在正方体表面
ABB
1
A
1
上是否存在点N，使
D
1
N
平面
B
1
A E
，为什么？









D
1
A
1
B
1
C
1
A
A
1
D
A
B
C
B
C
B
1
D
C
1
例4、如图所示，在直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
ACB90
0
,AB2,BC 1,AA
1
3

（1）求三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的体积；（2）求证
A
1
C平面AB
1
C
1

（3）若
D
是
CC
1
的中点，在棱
AB
上是否存在一点
E
，使
DE平面AB1
C
1
，
证明你的结论


例5、已 知棱长为1的正方体
AC
1
,
E，F分别是
B
1
C
1
和
C
1
D
1
中点.
（1）求证：E、F、B、D共面；
（2）求点
A
1
到平面BDFE的距离；
（3）求直线
A
1
D
到平面BDFE所成的角.




3
D
1
A
1
F
B
1
E
C
1
D
A
B
C

例6、如图，
ABCA
1
B
1
C
1
是各条棱 长均为a的正三棱柱，D是侧棱
CC
1
的中点.
（1）求证：平面
AB
1
D
平面
ABB
1
A
1
；
（2）求点C到平面
AB
1
D
的距离；
（3）求平面
AB
1
D
与平面ABC所成二面角（锐角）的大小.



例7、（2007浙江卷理）在如图所示的几何体中，
EA
平面
ABC
，
DB
平面
ABC
，
AC BC
，且
ACBCBD2AE
，
M
是
AB
的 中点．
（I）求证：
CMEM
；
D

（II）求
CM
与平面
CDE
所成的角．
E









例8、（2008浙江卷理）如图,矩形ABCD和梯形BEFC
A

C

M


B

所在平面互相垂直，BE CF，

BCF=

CEF=
90
,AD=
3< br>,EF=2。
（Ⅰ）求证：AE平面DCF；
（Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为
60
？



例9、（2009浙江卷理）如图，平面
PAC
平面
ABC
，
ABC
是以
AC
为斜边的等腰直角三角形，
E, F,O
分
别为
PA
，
PB
，
AC
的中点，
AC16
，
PAPC10
．
（I）设
G
是
OC
的中点，证明：
FG
平面
BOE
；
（II） 证明：在
ABO
内存在一点
M
，使
FM
平面
B OE
，并求点
M
到
OA
，
OB
的距离．





4

例10、（2009宁夏海南卷理）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每
条侧棱的长都是地面边长的
2
倍，P为侧棱SD上的点。
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）若SD⊥
平面
PAC，求二面角P- AC-D的大小
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面
PA C。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。




例11、（2009江西卷理）在四棱锥
PABCD
中，底面
ABCD
是 矩形，
PA
平面
ABCD
，
PAAD4
，
A B2
. 点
M
为
PD
的 中点，
ANPC
于
N
点.
（1）求证：平面
ABM
⊥平面
PCD
；
P
（2）求直线
CD
与平面
ACM
所成的角的大小；
（3）求点
N
到平面
ACM
的距离.
NM

D

A


O

B
C



例12、（2009重庆卷理）如图，在四棱锥
SABCD
中 ，
ADBC
且
ADCD
；平面
CSD

平面ABCD
，
CSDS,CS2AD2
；
E
为
BS
的中点，
CE2,AS3
．求：
（Ⅰ）点
A
到平面
BCS
的距离；
（Ⅱ）二面角
ECDA
的大小．








w.w.w..s.5.u.c.o.m

5