mostrecent-只是因为寂寞

第三部分 解析几何常用公式、结论汇总
1. 斜率公式
k
y
2
y
1
x
2
x
1
（
P1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
( x
2
,y
2
)
）.
2 .直线的五种方程
（1）点斜式
（2）斜截式
yy
1
k(xx
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
ykxb
(b为直线
l
在y轴上的截距).
yy
1
xx
1

(
y
1
y
2
)(
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
x
2
)).
y
2
y
1
x
2
x
1
（3）两点式
(4)截距式
（5）一般式
xy
1
(
a、b
分别为直线的横、纵截 距，
a、b0
)
ab
AxByC0
(其中A、B不同时为0).
3. 两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1
:
①
l
1
||l
2
②
l
1
yk
1
xb
1
，
l
2
:yk
2
xb
2

k
1
k
2
,b
1
b
2
;
l
2
k
1
k
2
1
.
A
1
xB
1
yC
1
0
,
l
2
:A
2
xB
2
yC
2
0
,且A1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零, (2)若
l
1
:
①
l
1
||l
2

A
1
B
1
C
1

A
2
B2
C
2
；
②
l
1
l
2
 A
1
A
2
B
1
B
2
0
；
4. 夹角公式
(1)
tan

|
k
2k
1
|
.
1k
2
k
1
(
l
1
:yk
1
xb
1
，
l
2
:yk
2
xb
2
,
k
1
k
2
1
)
(2)
tan

|
A
1
B
2
A
2
B
1
|
.
A
1
A
2
B
1
B
2
(
l
1
:A< br>1
xB
1
yC
1
0
,
l
2< br>:A
2
xB
2
yC
2
0
,
A
1
A
2
B
1
B
2
0
). < br>l
2
时，直线l
1
与l
2
的夹角是直线
l
1

.
2

5.
l
1
到
l
2
的角公式
(1)
tan< br>

k
2
k
1
1k
2
k
1
.
(
l
1
:yk
1
xb
1，
l
2
:yk
2
xb
2
,
k1
k
2
1
)
(2)
tan


A
1
B
2
A
2
B
1
A
1
A
2
B
1
B
2
.
(
l1
:A
1
xB
1
yC
1
0
,< br>l
2
:A
2
xB
2
yC
2
0
,
A
1
A
2
B
1
B
2
0
).
l
2
时，直线l
1
到l
2
的 角是直线
l
1

.
2
6．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
yy
0
k(xx
0
)
(除直线
xx
0
),其中
k
是待定的系数; 经
A(xx
0
)B(yy
0
)0
,其中
A,B
是待定的系数．
l
1
:A
1
xB
1
yC< br>1
0
,(2)共点直线系方程：经过两直线
l
2
:A
2
xB
2
yC
2
0
的交点的直线系方程为
(A
1
xB
1
yC
1
)

(A2
xB
2
yC
2
)0
(除
l
2
)，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线
行的直线系方程是
ykxb
中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线
AxByC0< br>平
AxBy

0
(

0
)，λ是参 变量．
0
(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是
BxAy

0
,λ是参变量． (4)垂直直线系方程：与直线
AxByC
7 .点到直线的距离
d
|Ax
0
By
0
C|
AB
22
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：
AxB yC0
).
8.
AxByC0
或
0
所表示的平面区域
0
，则
AxByC0
或
0
所表示的平面区域是： 设直线
l:AxByC
若
B0
，当
B
与
Ax ByC
同号时，表示直线
l
的上方的区域；当
B
与
Ax ByC
异号时，表示直线
l
的下方
的区域.简言之,同号在上,异号在下 .
若
B0
，当
A
与
AxByC
同号时，表 示直线
l
的右方的区域；当
A
与
AxByC
异号时，表 示直线
l
的左方
的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
9.
(A
1
xB
1
yC
1
)(A
2
xB
2
yC
2
)0
或
0
所表示的平面区域

设曲线
C:(A
1
xB
1
yC
1< br>)(A
2
xB
2
yC
2
)0
（
A
1
A
2
B
1
B
2
0
），则
(A
1
xB
1
yC
1
)(A
2
xB
2
yC
2
)0
或
0
所表示的平面区 域是：
(A
1
xB
1
yC
1
)(A
2
xB
2
yC
2
)0
所表示的平面区域上下两部分；
(A
1
xB
1
yC
1
)(A
2
xB
2
yC
2
)0
所表示的平面区域上下两部分.
10. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程
(xa)
（2）圆的一般方程
x
2
2
(yb)
2
r
2
.
y
2
DxEyF0
(
D
2
E
24F
＞0).

xarcos

（3）圆的参数方程

.
ybrsin


（4）圆的直径式方程
(xx
1
)(xx
2
)(y
11. 圆系方程 < br>(1)过点
A(x
1
,y
1
)
,
B(x2
,y
2
)
的圆系方程是
y
1
)(yy< br>2
)0
(圆的直径的端点是
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
).
(xx
1
)(xx
2
)(yy
1
)(yy
2)

[(xx
1
)(y
1
y
2
)(yy
1
)(x
1
x
2
)]0

(xx
1
)(xx
2
)(yy
1
)(yy< br>2
)

(axbyc)0
,其中
axbyc0
是直线
AB
的方程,λ是待定的系
数．
(2)过直线
l< br>:
AxByC0
与圆
C
:
x
2
y< br>2
DxEyF0
的交点的圆系方程是
x
2
y
2
DxEyF

(AxByC)0
,λ是待定的系数．
(3) 过圆
C
1
:
x
2
y
2
D
1
xE
1
yF
1
0
与圆
C2
:
x
2
y
2
D
2
xE
2
yF
2
0
的交点的圆系方程是
x
2
y< br>2
D
1
xE
1
yF
1

< br>(x
2
y
2
D
2
xE
2
y F
2
)0
,λ是待定的系数．
12.点与圆的位置关系
点P(x
0
,y
0
)
与圆
(xa)
若
d
2
(yb)
2
r
2
的位置关系有三种
，则
(ax
0
)
2
(by
0
)
2
dr
点
P
在圆外;
dr
点
P< br>在圆上;
dr
点
P
在圆内.
13.直线与圆的位置关系
直线
AxByC0
与圆
(xa)
2
(yb)< br>2
r
2
的位置关系有三种:

dr相离0
;
dr相切0
;
dr相交0
.
其中
d
AaBbC
AB
22
.
14.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
，O
2，半径分别为r
1
，r
2
，
O
1
O
2
d

dr
1
r
2
外离4条公切线
;
dr
1
r
2
外切3条公切线
;
r
1
r
2
dr
1
r
2
相交2条公切线
;
dr
1
r
2
内切1条公切线
;
0dr
1
r
2
内含无公切线
.
15.圆的切线方程
(1)已知圆
x
2
y
2
DxEyF0
．
①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上，则切线只有 一条，其方程是
D(x
0
x)E(y
0
y)
F0
. < br>22
D(x
0
x)E(y
0
y)
当
(x
0
,y
0
)
圆外时,
x
0
xy
0
yF0
表示过两个切点的切点弦方程．
22

x0
xy
0
y
②过圆外一点的切线方程可设为
于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为
(2)已知圆
x
2
yy
0< br>k(xx
0
)
，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平 行
ykxb
，再利用相切条件求b，必有两条切线．
y
2
r
2
．
y
0
yr
2
;
.
①过圆上的
P0
(x
0
,y
0
)
点的切线方程为
x
0
x
②斜率为
k
的圆的切线方程为
ykxr1k
2

xacos

x
2
y
2
16.椭圆< br>2

2
1(ab0)
的参数方程是

. ab

ybsin


x
2
y
2
17.椭圆
2

2
1(ab0)
焦半径公式
ab
a
2
a
2
PF
1
e(x)
，
PF
2
e(x)
.
cc
18．椭圆的的内外部
22
x
0
y
0
x
2
y
2
（1）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
< br>2
1(ab0)
的内部

2

2
1
.
abab
22
x
0
y
0
x
2
y
2
（2）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2

2
1(ab0)
的外部

2
2
1
.
abab
19. 椭圆的切线方程
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
(1)椭圆
2

2
1(ab0)
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
2

2
1
.
ab
ab
x
2
y
2
x
0
xy0
y
（2）过椭圆
2

2
1(ab0)< br>外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程 是
2

2
1
.
ab
ab
x
2
y
2
22222
（3） 椭圆
2

2
1(ab0)
与直线
AxByC0
相切的条件是
AaBbc
.
ab
x
2
y2
20.双曲线
2

2
1(a0,b0)
的焦半 径公式
ab
a
2
a
2
PF
1
|e(x )|
，
PF
2
|e(x)|
.
cc
21.双曲线的内外部
22
x
0
y
0
x
2
y
2
(1)点
P(x
0
,y
0)
在双曲线
2

2
1(a0,b0)
的内部
2

2
1
.
abab
22
x< br>0
y
0
x
2
y
2
(2)点
P(x< br>0
,y
0
)
在双曲线
2

2
1( a0,b0)
的外部

2

2
1
.
abab
22.双曲线的方程与渐近线方程的关系
x
2
y
2
x
2
y
2
b
(1）若双曲线方程为
2

2
1

渐近线方程：
2

2
0yx
.
ab
ab
a
xy
xy
b
0

双曲线可设为
2

2

. ( 2)若渐近线方程为
yx

ab
ab
a
22